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7．4.1　二 项 分 布
1. 通过具体实例，理解伯努利试验．
2. 掌握二项分布公式及其数字特征．
3. 能利用二项分布解决一些简单的实际问题．
活动一 了解伯努利试验的概念
思考1
射击手射击1次，击中目标的概率为p(p＞0).现连续射击3次，记击中目标的次数为X，则随机变量X的分布列是什么？
思考2
各次试验的结果有无影响？
1. 伯努利试验定义：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
思考3
n次独立重复试验必须具备哪些条件？
例1　判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
(1) 依次投掷四枚质地不同的硬币；
(2) 某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3) 不透明的口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
活动二　了解二项分布的概念　
探究
①求“重复抛一枚质地均匀的硬币5次，其中有3次正面向上”的概率；
②求“重复抛掷一枚骰子3次，其中有2次出现1点”的概率．
思考4
这两个问题有什么共同点和不同点？
思考5
(1) 探究①的游戏是否可以看成独立重复试验？掷硬币游戏中，我们用随机变量X表示正面朝上的次数，请探求X的取值和相应的概率；
(2) 若游戏中重复抛一枚硬币n次，则正面朝上的次数X＝k的概率是多少？
2. 二项分布的定义：
(1) 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0说明：(q＋p)n＝Cp0qn＋Cpqn-1＋…＋Cpnq0可以看出，Pn(k)＝Cpkqn－k恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第(k＋1)项．
(2) 若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，0思考6
(1) 如何判断一个随机变量的分布是否为二项分布？
(2) 二项分布与两点分布有何关系？
活动三　二项分布的简单应用　
例2　将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率．
例3　甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
探究
假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50(次)正面朝上．根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想E(X)＝np.
我们不妨从简单开始，先考察n较小的情况．
(1) 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p.
均值和方差分别为E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2) 当n＝2时，X的分布列为P(X＝0)＝(1－p)2，P(X＝1)＝2p(1－p)，P(X＝2)＝p2.
均值和方差分别为E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2p，
D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
一般地，可以证明：
如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
下面我们对均值进行证明．
令q＝1－p，由kC＝nC，
可得E(X)＝kCpkqn－k＝nCpkqn－k＝npCpk-1qn-1-(k-1).
令k－1＝m，则E(X)＝npCpmqn-1-m＝np(p＋q)n-1＝np.
例4　从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，已知这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望和方差、标准差．
一般地， 当X～B(n, p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ(X)＝.
1. (2024白山期末)已知随机变量X～B(n，0.5)，当且仅当k＝4时，P(X＝k)取得最大值，则n的值为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. (2024马鞍山二中月考)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点(0，0)出发，每隔1s等可能地向上或向右移动一个单位长度，则质点移动6次后位于(2，4)的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
3. (多选)已知掷一枚不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现k次正面的概率记为Pk，则下列说法中正确的是(　　)
A. P1＝P5　　 B. P1C. Pk＝1　　 D. P0，P1，P2，…，P6中最大值为P4
4. “石头、剪刀、布”是一种流传多年的猜拳游戏，其游戏规则：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局时，小千胜出的概率是________．
5. (2024南充高级中学月考)某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为.
(1) 随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率；
(2) 从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
7.4.1　二 项 分 布
【活动方案】
思考1：略
思考2：无，因为各次试验相互独立．
思考3：①每次试验是在同样条件下进行；
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生；
③各次试验之间相互独立；
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．
例1　(1) 因为试验的条件不同(质地不同)，所以不是独立重复试验．
(2) 因为某人射击击中的概率是稳定的，所以是独立重复试验．
(3) 因为每次抽取，试验的结果有三种不同颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，所以不是独立重复试验．
探究：①因为是重复抛掷，所以相当于做了5次独立重复试验，
所以3次正面向上的概率为P＝C××＝.
②因为抛掷一枚骰子，出现1点的概率是，
所以所求概率为P＝C××＝，
所以重复抛掷一枚骰子3次，其中有2次出现1点的概率为.
思考4：略
思考5：(1) 能看成独立重复试验．
X的取值可以为0，1，2，3，4，5.
P(X＝0)＝C＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝C＝＝；
P(X＝3)＝C＝＝；
P(X＝4)＝C＝；
P(X＝5)＝C＝.
(2) P(X＝k)＝C.
思考6：(1) ①在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相独立的；
②每次试验是独立的，与其他各次试验结果无关；
③事件发生的概率在整个系列试验中保持不变．
(2) 两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
例2　设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则X～B(10, 0.5).
(1) 恰好出现5次正面朝上等价于X＝5，
于是P(X＝5)＝C×0.510＝＝.
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是P(4≤X≤6)＝C×0.510＋C×0.510＋C×0.510＝＝.
例3　方法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．
因为每局比赛的结果是独立的，
所以甲最终获胜的概率为p1＝0.62＋C×0.62×0.4＝0.648.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0, 3∶1或3∶2.
因为每局比赛的结果是独立的，
所以甲最终获胜的概率为p2＝0.63＋C×0.63×0.4＋C×0.63×0.42＝0.682 56.
方法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示 3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3, 0.6).
甲最终获胜的概率为p1＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.62×0.4＋C×0.63＝0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5, 0.6).
甲最终获胜的概率为p2＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C×0.63×0.42＋C×0.64×0.4＋C×0.65＝0.682 56.
因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利．
实际上， 比赛局数越多，对实力较强者越有利．
例4　由于批量较大，可以认为随机变量X～B(10, 0.05)，
由X～B(n，p)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，
得E(X)＝10×0.05＝0.5，D(X)＝10×0.05×(1－0.05)＝0.475，
标准差σ(X)＝≈0.689 2.
故随机变量X的均值为0.5，方差为0.475，标准差约为0.689 2.
【检测反馈】
1. B　因为X～B(n，0.5)，所以P(X＝k)＝C，k＝0，1，…，n.由题意，得在C，C，…，C中，最大值只有C，即在C，C，…，C中，最大值只有C，由二项式系数的对称性可知n＝8.
2. D　质点从原点(0，0)出发，移动6次后位于(2，4)，则质点向右移动2次，向上移动4次，故质点移动6次后位于(2，4)的概率为C××＝.
3. BD　因为P1＝C××5＝，P5＝C×5×1＝，所以P14. 　由题意，得每个人胜出的概率为，当小千和大年比赛至第四局时，小千胜出，则在前三局中，小千必赢两局，比赛至第四局时小千胜，则概率为C×××＝.
5. (1) 设事件A1＝“会员是男会员”，A2＝“会员是女会员”，B＝“对服务质量不满意”．
由题意，得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
(2) 由题意，得X～B，则P(X＝0)＝C××＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C××＝.
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X～B，所以E(X)＝3×＝.

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