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7．4.2　超几何分布
1. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值．
2. 通过对实例的分析，掌握超几何分布，并能进行简单的应用．
活动一　背景引入　
问题1：已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件产品．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．
问题2：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件产品，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．
思考1
如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品数X是否也服从二项分布？
活动二　超几何分布　
1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}, r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2. 说明：
(1) 超几何分布的模型是不放回抽样；
(2) 超几何分布中N是总体中的个体总数，M是次品数，n是样本容量，k是样本中的次品数．
活动三　超几何分布的应用　
例1　 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率．
某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两所学校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，所以从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
思考2
超几何分布的求解步骤有哪些？
例2　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同. 一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数．
(1) 求获一等奖的概率；
(2) 求E(X).
思考3
服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
例3　一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数．
(1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
1. 已知一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是(　　)
A. B. C. 1－ D. 1－
2. (2023涟水一中月考)《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
3. (多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3，则下列说法中正确的是(　　)
A. 随机变量X服从二项分布 B. 随机变量Y服从超几何分布
C. P(X＝k)4. 一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用(用完视为旧的)，用完后装回盒中，记此时盒中旧球的个数为X，则P(X＝4)的值为________．
5. (2024西安期末)当前，以ChatGPT为代表的AIGC(利用AI技术自动生成内容的生产方式)领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT(百度、阿里、腾讯3个企业的简称)、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．
7．4.2　超几何分布
【活动方案】
问题1：由题意，得每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08)，
所以P(X＝0)＝C×0.080×(1－0.08)4，
P(X＝1)＝C×0.08×(1－0.08)3，
P(X＝2)＝C×0.082×(1－0.08)2，
P(X＝3)＝C×0.083×(1－0.08)，
P(X＝4)＝C×0.084×(1－0.08)0.
分布列略．
问题2：由题意，得X可能的取值为0，1，2，3，4.
从100件产品中任取4件，样本空间包含C个样本点，且每个样本点都是等可能发生的，其中4件产品中恰有k件次品的结果数为CC.
由古典概型的知识，得X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4.
分布列略．
思考1：采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，故X不服从二项分布．
例1　设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且N＝30，M＝3，n＝10.
X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
至少有1件不合格的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋≈0.719 2.
也可以按如下方法求解：P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－≈0.719 2.
跟踪训练　(1) 由题意，得参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
所以A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2) 由题意，得X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
思考2: ①辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分. 具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
②算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
③列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
例2　(1) 由题意，得X服从超几何分布且N＝30，M＝10，n＝5，
所以P(X＝4)＝＝≈0.029 5.
故获一等奖的概率约为2.95%.
(2) X的分布列如下表所示．
X 0 1 2 3 4 5
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
思考3：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数. 令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X)＝np.
例3　(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4, 且各次试验之间的结果是独立的，
因此X～B(20, 0.4)，X的分布列为p1k＝P(X＝k)＝C×0.4k×0.620-k, k＝0, 1, 2, …， 20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为p2k＝P(X＝k)＝， k＝0, 1, 2, …， 20.
(2) 利用统计软件可以计算出两个分布列的概率值(精确到0.000 01)，如下表所示．
k p1k p2k
0 0.000 04 0.000 01
1 0.000 49 0.000 15
2 0.003 09 0.001 35
3 0.012 35 0.007 14
4 0.034 99 0.025 51
5 0.074 65 0.065 30
6 0.124 41 0.124 22
7 0.165 88 0.179 72
8 0.179 71 0.200 78
9 0.159 74 0.174 83
10 0.117 14 0.119 24
11 0.070 99 0.063 76
12 0.035 50 0.026 67
13 0.014 56 0.008 67
14 0.004 85 0.002 17
15 0.001 29 0.000 41
16 0.000 27 0.000 06
17 0.000 04 0.000 01
18 0.000 00 0.000 00
19 0.000 00 0.000 00
20 0.000 00 0.000 00
样本中黄球的比例f20＝是一个随机变量，根据上表，计算得：
有放回摸球：P(|f20－0.4|≤0.1)＝P(6≤X≤10)≈0.746 9.
不放回摸球：P(|f20－0.4|≤0.1)＝P(6≤X≤10)≈0.798 8.
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
【检测反馈】
1. A　一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，共有C 种取法，其中恰有1件不合格品的取法有CC种，故恰有1件不合格品的概率是.
2. A　由题意，得10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，则任取3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.
3. ABD　对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D，设该批产品有M件，则X～B，则E(X)＝3×＝，E(Y)＝＝＝＝，故D正确；对于C，假设C正确，可得E(X)4. 　由X＝4知，取出的3个球必为2个旧球一个新球，故P(X＝4)＝＝.
5. 由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，
此时P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
此时E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

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