资源简介

8．3.2　独立性检验
1. 理解独立性检验的基本思想．
2. 了解随机变量χ2的含义．
3. 理解独立性检验的基本步骤．
活动一 随机变量χ2和独立性检验
问题：最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍．青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力．研究人员对1 323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月内玩电脑游戏的习惯，同时教师记下了这些孩子出现注意力不集中问题．统计获得下列数据：
注意力不集中 注意力集中 合计
不玩电脑游戏 268 357 625
玩电脑游戏 489 209 698
合计 757 566 1 323
从这则新闻中可以得到什么结论？
思考1
用什么量刻画玩电脑游戏与注意力不集中有关系？
1. 独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
2. 临界值
统计学家们根据统计数据得到了如下的χ2临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例如，对于一个小概率值α＝0.05，我们有如下的具体检验规则：
(1) 当χ2≥x0.05＝3.841时，我们推断H0不成立，即认为X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；
(2) 当χ2思考2
依据小概率值0.001的卡方独立性检验，分析本节开头问题中的数据，能否据此推断玩电脑游戏与注意力不集中之间有关系？
思考3
用频率的差异和用χ2独立性检验分别推断两个分类变量的关联性，哪个更理性、更全面？理由是什么？
活动二　实际应用　
例1　某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良. 采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名. 试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
例2　为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9 965人， 得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下表所示. 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险．
单位：人
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 7 775 42 7 817
吸烟者 2 099 49 2 148
合计 9 874 91 9 965
应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：
(1) 提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2) 根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3) 根据检验规则得出推断结论．
(4) 在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
思考4
独立性检验的思想类似于反证法，能说明二者之间的相同和不同之处吗？
1. 对于分类变量X与Y的随机变量χ2的值，下列说法中正确的是(　　)
A. χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B. χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C. χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D. χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
2. (2024湛江期末)某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，得到如下的2×2列联表，通过数据分析，下列说法中正确的是(　　)
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生 5 20 25
女生 15 10 25
合计 20 30 50
参考数据及公式如下：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
A. 不能根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为喜欢课外阅读与学生性别之间有关联
B. 根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，认为喜欢课外阅读与学生性别之间有关联
C. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，认为喜欢课外阅读与学生性别之间有关联
D. 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为喜欢课外阅读与学生性别之间无关联
3. (多选)(2024天津和平期末)为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示(单位：人)，根据数据计算得χ2≈22.161，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，小概率值α＝0.001相应的临界值为x0.001＝10.828，则下列结论中正确的是(　　)
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 25 10 35
吸烟者 15 m 65
合计 40 60 100
A. m＝50
B. 若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为
C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌之间有关联
D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌之间无关联
4. 为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下的2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01.根据表中的数据，计算得到χ2＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________．
5. (2024济南期末)长时间近距离看电子产品会影响视力．泉泉调查了某校1 000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%.
(1) 请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联；
近视 每天近距离看电子产品的时间超过1h 合计
是 否
是
否
合计 1 000
(2) 研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力．高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.如图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6～16岁的眼轴生长发育散点图．
①根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋d ln x哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况(给出判断即可，不必说明理由)
②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y(单位：mm)关于年龄x(6≤x≤16，且x∈N*)的经验回归方程；
③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄(结果保留整数).
参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
在经验回归方程＝＋x中，＝，＝－，散点图1中＝23.9，＝34.1；散点图2中 ＝23.09，＝10.725.
8．3.2　独立性检验
【活动方案】
问题：不玩游戏的儿童的注意力比玩游戏的儿童的注意力更集中．
思考1：假设H0表示玩电脑游戏与注意力不集中没有关系(通常称H0为零假设)；用事件A表示玩电脑游戏，B表示注意力不集中．
若H0成立，则事件A与B独立，所以P(AB)＝P(A)·P(B).
因为P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
所以＝·，即(a＋b＋c＋d)c＝(c＋d)·(a＋c)，即ad＝bc，所以 |ad－bc|越小，说明玩电脑游戏与注意力不集中之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明玩电脑游戏与注意力不集中之间的关系越强．
思考2：由卡方计算公式得到
χ2＝≈99.494＞10.828＝x0.001.
因此，可以推断玩电脑游戏与注意力不集中之间有关系，该推断犯错误的概率不超过0.1%，即有99.9%的把握认为玩电脑游戏与注意力不集中之间有关系．
思考3：由于样本的随机性可能导致用频率的差异而得出的结论是错误的，而用χ2独立性检验是对零假设H0进行了检验，用临界值来推断H0在小概率发生的可能性，所以用χ2独立性检验得到的结果更理性、更全面．
例1　零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如下表所示．
单位：人
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合计 21 115 136
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈4.881＜7.879＝x0.005.
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．
例2　零假设为H0：吸烟与患肺癌之间无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝≈56.632＞10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
根据表中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为≈0.994 6 和 ≈0.005 4；
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为≈0.977 2 和 ≈0.022 8.
由≈4.2可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上.于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌．
思考4：简单地说，反证法是在某种假设H0之下，推出一个矛盾结论，从而证明H0不成立；而独立性检验是在零假设H0之下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率．另外，在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误．
【检测反馈】
1. B　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大；χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
2. B　由题意，得χ2＝＝.因为6.635<<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，认为喜欢课外阅读与学生性别之间有关联．
3. ABC　对于A，由列联表，得m＝50，故A正确；对于B，2人都是非肺癌患者的概率为P＝＝＝，故B正确；对于C，D，因为χ2≈22.161>10.828＝x0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌之间有关联，故C正确，D错误．
4. 0.05　因为χ2≈4.844>3.841，故判断出错的概率约为0.05.
5. (1) 由题意，补充2×2列联表如下：
近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计
是 否
是 100 300 400
否 100 500 600
合计 200 800 1000
零假设为H0：近视与每天近距离看电子产品时间超过1h无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝＝≈10.417，
因为10.417>x0.005＝7.879，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2) ①y＝a＋bx适宜每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况．
②由题意可得(xi－)2＝110，
则b∧＝＝＝0.31.
又＝11，＝23.9，
所以＝－＝23.9－0.31×11＝20.49，
故该类近视儿童眼轴长度y关于年龄x的经验回归方程为＝0.31x＋20.49.
③由＝0.31x＋20.49>26，解得x>17，
所以该类近视儿童开始高度近视时的年龄大约为18岁．

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