资源简介

第六章　计数原理 本 章 复 习
1. 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2. 理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题．
3. 能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质．
活动一　知识梳理　
1. 分类加法计数原理
如果完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2. 分步乘法计数原理
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3. 排列数与组合数公式及性质
排列与排列数 组合与组合数
公式 排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 组合数公式C＝＝＝
性质 当m＝n时，A为全排列；A＝n！； 0！＝1 C＝C＝1；C＝C；C＋C＝C
备注 n，m∈N*，且m≤n
4. 二项式定理
(1) 二项式定理的内容：
(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*).
(2) 通项：Tk＋1＝Can－kbk，k∈{0，1，2，…，n}．
(3) 二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
②若n为偶数，中间一项的二项式系数Cn最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等且最大．
③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n-1.
活动二　数学思想方法在求解计数问题中的应用　
例1　车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
活动三　排列与组合的综合应用　
例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(1) 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
(2) 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
(3) 若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，则有多少种不同的节目演出顺序？
活动四　二项式定理及其应用　
例3　已知在(－)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1) 求展开式中的所有有理项；
(2) 求展开式中系数绝对值最大的项；
(3) 求n＋9C＋81C＋…＋9n-1C的值．
例4　若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1) 求a2；
(2) 求a1＋a2＋…＋a10；
(3) 求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
1. (2024东莞月考)如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，则不同的摘法共有(　　)
A. 70种 B. 35种 C. 21种 D. 14种
2. 若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
3. (多选)n边形对角线的条数为(　　)
A. n(n－3) B. C C. C－n D.
4. (2024佛山模拟)已知a＝1＋C2＋C22＋C23＋…＋C220，则a被10除所得的余数为________．
5. 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法个数．
(1) 甲、乙两人相邻；
(2) 甲、乙之间隔着2人；
(3) 原7人顺序不变，再加入3人；
(4) 甲、乙、丙3人中从左向右看从高到低(3人身高不同)；
(5) 甲、乙两人不相邻且都不在排头或排尾．
第六章　计 数 原 理 本 章 复 习
【活动方案】
例1　设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，
A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，
A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，
A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，
所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种).
例2　(1) 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；
第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．
(2) 第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法；
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于在7个“×”中选4个来排，一共有A＝840(种)方法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)安排顺序．
(3) 若所有节目没有演出顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，
所以节目演出的顺序有＝A＝132(种).
例3　(1) 由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，
解得n＝10(负值舍去)，
通项为Tk＋1＝C()10-k＝(－2)kC，
当5－为整数时，k可取0，6，
所以所有的有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2) 设第k＋1项系数的绝对值最大，
则解得
又k∈N*，
所以k＝7，当k＝7时，T8＝－15 360，
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360.
(3) 原式＝10＋9C＋81C＋…＋910-1C＝
＝＝＝.
例4　(1) (x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展开式中x2的系数，
则a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4·C(－2)4＋C(－1)3C(－2)5＝800.
(2) 令x＝1，代入原式可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝32，
所以a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3) 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65.
又(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
将这两个等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
【检测反馈】
1. B　如果将7个桃子全排列有A种方法，但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为1－2－3－4和5－6－7，所以共有＝35(种)方法．
2. B　令x＝0，则a0＝1，再令x＝，则a0＋＋＋…＋＝＝0，所以＋＋…＋＝－1.
3. CD　在n边形的n个顶点中任取2个，共有C种方法，其中包括n条边，应去掉，所以n边形对角线的条数为C－n＝－n＝，故A，B错误，C，D正确．故选CD.
4. 1　由题意，得a＝1＋C2＋C22＋C23＋…＋C220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10，由(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋C＝10(C109－C108＋…－C)＋1，故a被10除所得的余数为1.
5. (1) 把甲、乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有AA＝1 440(种).
(2) 先从5人选2人放在甲、乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有AAA＝960(种).
(3) 原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有CCC＝720(种).
(4) 先全排列，再除以顺序数，故有＝840(种).
(5) 先对其余的5人全排列，再对甲插空，再对乙插空，故有ACC＝1 440(种).

展开更多......

收起↑