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4.6 解直角三角形及其应用
一、选择题
1．（2024·山东日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2024·四川雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
4．（2024·广东深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
6．（2023·浙江衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·江苏南通）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·山东日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A． B． C． D．
9．（2023·吉林长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
10．（2023·湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
11．（2024·四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A．20 B．15 C．12 D．
二、填空题
12．（2024·江苏南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m．
13．（2024·山东泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，）
14．（2024·内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
15．（2024·黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
16．（2024·湖北武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
17．（2024·湖南）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
18．（2024·四川眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
19．（2024·江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）

20．（2023·青海西宁）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
21．（2023·浙江湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．

22．（2023·江苏盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）

23．（2023·山东泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）

24．（2023·内蒙古赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．

25．（2023·山东济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．

26．（2023·湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）

27．（2023·广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）

三、解答题
28．（2024·江苏徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
29．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

30．（2024·山东青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
31．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
32．（2024·黑龙江大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
33．（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度．
测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
34．（2024·江苏宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
35．（2024·四川巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
36．（2024·四川资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
37．（2024·甘肃兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
38．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
39．（2024·内蒙古通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
40．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
41．（2024·内蒙古呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
42．（2024·青海）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）．
43．（2024·广东广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
44．（2024·黑龙江牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）
45．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）
46．（2024·甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
47．（2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
48．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
49．（2024·河南）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
50．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
51．（2024·江苏苏州）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
52．（2024·甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
53．（2024·江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
54．（2024·山东烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，，
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
55．（2024·四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

56．（2024·四川广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）

57．（2024·四川成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

58．（2024·四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
59．（2024·浙江）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
60．（2023·四川资阳）如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内）
(1)求两点之间的距离；
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01）
61．（2023·江苏南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：）
62．（2023·辽宁丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

63．（2023·湖北襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

64．（2023·四川甘孜）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

65．（2023·西藏）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）
66．（2023·江苏淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点 在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1） 求出古塔的高度．
（2） 求出古塔底面圆的半径．
67．（2023·海南）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．

(1)填空： 度， 度；
(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；
(3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
68．（2023·山东青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
69．（2023·内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

70．（2023·青海）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中，两处分别向处铺设，现测得，，，求，两点间的距离．（结果取整数，参考数据：，，）

71．（2023·辽宁盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）

72．（2023·辽宁阜新）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．

(1)求两楼之间的距离．
(2)求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
73．（2023·山东潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

74．（2023·辽宁）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；
(2)求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
75．（2023·湖南娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．

76．（2023·江苏泰州）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

77．（2023·黑龙江大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

78．（2023·湖南）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

(1)求点离地面的高度；
(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据： )
79．（2023·辽宁营口）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）

80．（2023·山东威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．

81．（2023·辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
82．（2023·江苏徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）

83．（2023·贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；
(2)求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
84．（2023·甘肃兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

85．（2023·内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；
(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
86．（2023·内蒙古通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）

87．（2023·湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

88．（2023·辽宁大连）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）

89．（2023·湖南）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）

90．（2023·湖南郴州）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．

参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·山东日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故选B．
2．（2024·山东淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：在中，，，
∴；
计算器的按键为 ；
故选A．
3．（2024·四川雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．
【详解】解：设米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
∵米，
∴，即，
解得：，
侧这栋楼的高度为米．
故选：A．
4．（2024·广东深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答．
【详解】解：如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，
∴
∴设，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
5．（2024·甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
6．（2023·浙江衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，

在中，，
在中，，
点到桌面的最大高度，
故选：D．
7．（2023·江苏南通）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．

8．（2023·山东日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
设，则，，
在中，，
，
，
灯塔的高度AD大约是．
故选：B．
9．（2023·吉林长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解： 表示的是地面，表示是图书馆，
，
为直角三角形，
（米）.
故选：D.
10．（2023·湖北十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
【详解】解：在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
11．（2024·四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A．20 B．15 C．12 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可．
【详解】解：如图，过作于，
依题意，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
故选B
二、填空题
12．（2024·江苏南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可．
【详解】解：由题意：，
∴；
故答案为：．
13．（2024·山东泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，）
【答案】74
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题知,
∴,
在，
∴,
∴,
在中，,
∴,
∴．
故答案为：74．
14．（2024·内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
15．（2024·黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．
【详解】解：依题意，．
在中，，
在中，，
∴．
故答案为：．
16．（2024·湖北武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
【答案】51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解．
【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
17．（2024·湖南）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】/
【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
18．（2024·四川眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】/
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
19．（2024·江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）

【答案】17
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
20．（2023·青海西宁）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，

∵,
∴，
则，
故选：
21．（2023·浙江湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．

【答案】4.1
【分析】
过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】
过点作水平线交于点，交于点，如图，

∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：．
22．（2023·江苏盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）

【答案】
【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
解得，
故答案为：．
23．（2023·山东泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）

【答案】55
【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：55．

24．（2023·内蒙古赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．

【答案】
【分析】如图所示，过点作于点，分别解，求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（千米）
改造后公路的长是千米，
故答案为：．
25．（2023·山东济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．

【答案】/
【分析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形．
【详解】解：由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，

∴，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，，即，
解得，
∴
故答案为：．
26．（2023·湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）

【答案】13.8//
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
27．（2023·广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）

【答案】21
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需钢材约为；
故答案为21．
三、解答题
28．（2024·江苏徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到 ，判定是等腰直角三角形，因此 ，得到 ，求出，即可得到的长．
【详解】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
29．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

【答案】米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
30．（2024·山东青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
31．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
32．（2024·黑龙江大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴ ．
答：大桥的长度约为米．
33．（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度．
测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
“测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可．
【详解】解：选择“测角仪”方案：
如图：过C作于F，则，，
在中，，，
，
．
选择“平面镜”方案：
由题意得，，
．
又，
，
，即，
．
34．（2024·江苏宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
【答案】73.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得，
（米，
答：塔的高度为73.2米．
35．（2024·四川巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
36．（2024·四川资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．

37．（2024·甘肃兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】的长为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案；
【详解】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为；
38．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
39．（2024·内蒙古通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
40．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
【答案】处距离处有140海里．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
41．（2024·内蒙古呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
【答案】楼的高度为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴楼的高度为米．
42．（2024·青海）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）．
【答案】最远点与最近点之间的距离约是11m
【分析】本题考查解直角三角形．根据题意，先在中求，再在中求，最后求差即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，，
∴，
在中
∵
∴
∴
在中,，
∴
∴
∴．
答：最远点与最近点之间的距离约是11m．
43．（2024·广东广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
(1)求的长；
(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长约为8米；
(2)模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可；
（2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
44．（2024·黑龙江牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）
【答案】17.5米
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形是矩形，则．解直角三角形得到，进而得到，据此求出即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知四边形是矩形，
．
如图，．
，
．
，
．
（米）
答：建筑物的高度约为米．
45．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．
先解得到，再解，，即可求解．
【详解】解：延长交于点G，由题意得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：吉塔的高度约为．
46．（2024·甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】乾元塔的高度约为米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设平移后得到，延长交于点，则：，，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
47．（2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设，在中，．在中，．则．解方程即可；
（2）求出，根据即可得到答案．
【详解】（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
48．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
49．（2024·河南）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
【答案】(1)见解析
(2)塑像的高约为
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
50．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
【答案】(1)7米；3米
(2)18平方米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；
（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
51．（2024·江苏苏州）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
52．（2024·甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则．
【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
53．（2024·江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】(1)“大碗”的口径的长为；
(2)“大碗”的高度的长为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；
（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
答：“大碗”的口径的长为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵矩形碗底，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：“大碗”的高度的长为．
54．（2024·山东烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，，
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．
任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作于F，利用正切定义求得
【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即，
故答案为：冬至，；
任务二：过E作于F，则，米，，
在中，，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
55．（2024·四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

【答案】．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高为．
56．（2024·四川广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）

【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案.
【详解】解：过点作于点，作于点

由题意得：，
在中，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中.
，
答：该风力发电机塔杆的高度为.
57．（2024·四川成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
58．（2024·四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作于点，
由题意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
59．（2024·浙江）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
60．（2023·四川资阳）如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内）
(1)求两点之间的距离；
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01）
【答案】(1)6千米
(2)1.06分钟
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而利用平角定义可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，
∴，，
在中，千米，
∴（千米），
在中，（千米），
∴两点之间的距离为千米；
（2）解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，千米，
∴（千米），
在中，（千米），
∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟），
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟．
61．（2023·江苏南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：）
【答案】
【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可．
本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：过点C作于点M， 设， 则，
在中， ，
则，
则；
在中， ，
则
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：无人机在C处时离地面．
62．（2023·辽宁丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为
【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解．
【详解】解：过点B作于点D，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．

63．（2023·湖北襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
64．（2023·四川甘孜）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

【答案】该建筑物的高度约为米
【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知，，，，
，
，
米，
在中，米，
米，
答：该建筑物BC的高度约为米．

65．（2023·西藏）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）
【答案】海里小时．
【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作于，
在中，，（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
轮船乙的速度为海里小时．
66．（2023·江苏淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点 在同一条直线上．
参考数据
项4.5 相似三角形
一、选择题
1．（2024·山东东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
5．（2024·江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
6．（2024·内蒙古赤峰）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
7．（2024·内蒙古包头）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江大兴安岭）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
9．（2024·湖南）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024·四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·江苏南京）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·黑龙江哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
16．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
17．（2023·山东东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
18．（2023·山东聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）

A． B． C． D．
19．（2023·四川内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
20．（2023·四川巴中）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
21．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
22．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·山东淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
二、填空题
24．（2024·湖北）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
25．（2024·湖北武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ．
26．（2024·甘肃临夏）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
27．（2024·四川眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
28．（2024·山东淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
29．（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
30．（2024·江苏无锡）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
31．（2024·辽宁）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
32．（2024·吉林）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
33．（2024·四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
34．（2024·江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
35．（2024·云南）如图，与交于点，且．若，则 ．

36．（2024·江苏盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
37．（2023·江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .

38．（2023·江苏镇江）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

39．（2023·江苏泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
40．（2023·黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

41．（2023·山东泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

42．（2023·辽宁营口）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

43．（2023·山东东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．

44．（2023·内蒙古）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．

45．（2023·湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

46．（2023·湖北武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

47．（2023·湖北十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

48．（2023·山东临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．

49．（2023·四川乐山）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

50．（2023·江苏南通）中，，分别是，的中点，连接，则 ．
三、解答题
51．（2024·山东德州）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
52．（2024·山东东营）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
53．（2024·江苏无锡）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
54．（2024·四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
55．（2024·内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：；
(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
56．（2024·黑龙江齐齐哈尔）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
57．（2024·湖北武汉）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

58．（2024·广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
59．（2024·甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
60．（2024·湖北）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．
(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
61．（2024·四川乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

62．（2024·江苏盐城）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
63．（2024·山东济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
64．（2024·海南）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
65．（2024·江苏宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
66．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
67．（2024·内蒙古赤峰）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
68．（2024·上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
69．（2024·四川内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积．
70．（2024·四川南充）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)求证：．
(2)当是直角三角形时，求t的值．
(3)连接，当时，求的面积．
71．（2023·江苏盐城）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径长．
72．（2023·湖北黄石）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
73．（2023·内蒙古）已知正方形，是对角线上一点．

(1)如图1，连接，．求证：；
(2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下，．求的值．
74．（2023·山东潍坊）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

75．（2023·湖南湘西）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
76．（2023·四川德阳）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．

(1)求证：是的平分线；
(2)求的度数；
(3)求的值．
77．（2023·山东泰安）如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；
(2)求证：；
(3)求证：．
78．（2023·湖南）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
79．（2023·湖南常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．

(1)求证：；
(2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：
①；
②．
80．（2023·湖北荆州）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．

(1)求证：
①是的切线；
②；
(2)若，，求．
81．（2023·湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
82．（2023·上海）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·山东东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④．
【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分，
则，
∵，则，
∴，故②不正确；
∵，则，，
∴，
∴，故①不正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵与互相垂直且平分，
∴，
∴，则，
∴，
∴平分，故③正确；
由上可知，，
∴，
∴，则，
又∵，
∴，故④正确；
综上，正确的有③④，共2个，
故选：B．
2．（2024·湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．
【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
（法二：同理，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故选：D．
4．（2024·江苏南通）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
【答案】C
【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可．
【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，
当点E落在边上时，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，故小明的说法是正确的；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
∴当时，的长最小，
∴当的长最小时，，
又∵，
∴，
∴，
∴；故小丽的说法正确；
故选C．
5．（2024·江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，
根据题意得到，
，
，
，
，
，
米，
，
返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
6．（2024·内蒙古赤峰）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确；
②∵，∴；②说法正确；
③∵，
∴，
∴；③说法正确；
④∵，，
∴，
∴．④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
7．（2024·内蒙古包头）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
8．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．（2024·湖南）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
10．（2024·河南）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
11．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
12．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形面积的比是，
故选：D．
13．（2024·四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，
故选B．
14．（2023·江苏南京）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题．
【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h，
根据相似得：
，
由得：，解得，
故选：A．
15．（2023·黑龙江哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故选：B．
16．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
17．（2023·山东东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
18．（2023·山东聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．
【详解】根据题意，补图如下：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴侧面展开图的面积为，
故选C．
19．（2023·四川内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
20．（2023·四川巴中）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
21．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
22．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴相似三角形的对应边比为，
故选．
23．（2024·山东淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【详解】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故选：C
二、填空题
24．（2024·湖北）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得；
（2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：(已知)，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，，
如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
25．（2024·湖北武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ．
【答案】
【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到．
【详解】解：作交于点，不妨设，设
四边形是正方形
在和中，，
由题意可知，
正方形的面积，
正方形的面积
；
故答案为：.
26．（2024·甘肃临夏）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，
∵为中线，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿其底边中线向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
27．（2024·四川眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
28．（2024·山东淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
29．（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
【答案】80
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：过点B作交的延长线于N，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
30．（2024·江苏无锡）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
故答案为：2，．
31．（2024·辽宁）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
32．（2024·吉林）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
33．（2024·四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
34．（2024·江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
35．（2024·云南）如图，与交于点，且．若，则 ．

【答案】/0.5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
36．（2024·江苏盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，
∴它们的周长的比为，
故答案为：．
37．（2023·江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .

【答案】6
【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值.
【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ，
∵，
∴，

∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积是，
∴，
∴，
∴，
则，
即，
解得，
故答案为：6
38．（2023·江苏镇江）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

【答案】18
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
故答案为：18．
39．（2023·江苏泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为．
故答案为：．
40．（2023·黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

【答案】
【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为：．
41．（2023·山东泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

【答案】
【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
42．（2023·辽宁营口）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
43．（2023·山东东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．

【答案】－1
【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解．
【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F

由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
44．（2023·内蒙古）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．

【答案】5
【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．
【详解】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．

45．（2023·湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

【答案】/0.8
【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
46．（2023·湖北武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

【答案】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
47．（2023·湖北十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

【答案】6
【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
设，则有，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，即，
∴，
∴；
故答案为6．
48．（2023·山东临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．

【答案】14
【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，

∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形纸片的周长是，
故答案为：14．
49．（2023·四川乐山）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

【答案】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
50．（2023·江苏南通）中，，分别是，的中点，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，先由三角形中位线定理得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
51．（2024·山东德州）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
52．（2024·山东东营）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)一致；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论；
（2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出．
【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
53．（2024·江苏无锡）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
54．（2024·四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；
（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案；
（3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∵
∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，
∴设，
∵，
∴，，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作于点，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
55．（2024·内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：；
(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①②，证明见解析
(3)
【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论；
（3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
（3），理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
由（2）知，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
56．（2024·黑龙江齐齐哈尔）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)或
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
（4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

，
，
，
，
，
又且
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点作于点，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
设，则，
解得：
∴；
（4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点

∵
∴，设，则，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，

∵
∴
∵
∴
设，则，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
综上所述， 或．
57．（2024·湖北武汉）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形是矩形，
∴，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，

∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵，是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，

∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
58．（2024·广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②或
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可；
②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
∴，，，
根据垂线段最短知，
又，
∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，
此时，
∴面积的最大值为；
②∵，，
∴，
同理
∴为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
∴为直角三角形，
此时旋转角；
当和C重合时，如图，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
又
∴为直角三角形，
此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形．
59．（2024·甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为，则：，
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
60．（2024·湖北）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．
(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明；
（2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以；
（3）由折叠性质，得直线， ，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）解：如图：延长交于一点M，连接
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴直线
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵为中点，
∴设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
61．（2024·四川乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】
【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可；
【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解；
【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明；
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解；
【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连接．

由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展应用】．
证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．

由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
62．（2024·江苏盐城）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
63．（2024·山东济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案；
（3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
64．（2024·海南）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②；③．
【分析】（1）利用即可证明；
（2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立；
②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①证明：连接，

由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴点P在的平分线上；
②，理由如下：
由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，

∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，

∴，
同理四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形的对角线的交点为，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
65．（2024·江苏宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【答案】[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此；
[深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故．
【详解】[操作判断] 解：如图，
由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究] 解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
66．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
67．（2024·内蒙古赤峰）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【详解】（1）证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
68．（2024·上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
69．（2024·四川内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）连接，证明，可得，再进一步可得结论；
（3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案.
【详解】（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、

∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，是的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
70．（2024·四川南充）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)求证：．
(2)当是直角三角形时，求t的值．
(3)连接，当时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)秒或2秒
(3)
【分析】（1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到；
（2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可；
（3）过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．由此得到，由已知得到进而得到，由题意，则，再依次证明、，得到，从而证明，即是等腰直角三角形．则，再用求出的面积．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
．
，
．
（2）解：过点E作于点M，过点E作于点N．
由题意知，
∵
∴，
∵
∴
由已知，
．
，即，
，即，
，即．
①当时，有．
即，整理得．
解得（不合题意，舍去）．
②当时，有．
即，整理得，解得．
③当时，有．
即，整理得，该方程无实数解．
综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．
（3）解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
，
71．（2023·江苏盐城）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径长为．
【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
（2）解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
72．（2023·湖北黄石）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；
（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
73．（2023·内蒙古）已知正方形，是对角线上一点．

(1)如图1，连接，．求证：；
(2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下，．求的值．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质得出，，进而即可得到；
（2）先判断出，进而判断出，即可得到结论；
（3）先求出的长，可证明是等腰直角三角形．从而得到的长，再利用，，可证得，进而得到，从而可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中
∴．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．

（3）解：∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
74．（2023·山东潍坊）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得．
【详解】证明：如图，延长交于，

∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
75．（2023·湖南湘西）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

（2）如图，连接，
∵的平分线交于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴．

76．（2023·四川德阳）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．

(1)求证：是的平分线；
(2)求的度数；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析．
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，可得到，根据等腰三角形的性质可得到，进而可证明结论．
（2）连接，设，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将的各角分别用含的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得的值，进而可求得答案．
（3）设的半径为，，可证得，根据，可得，用含有和的代数式表示出该等式，求解即可得到和的关系，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
（2）如图所示，连接．

设．
根据（1）证明可知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）设的半径为，，则．
∵，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
变形，得
．
解得
．
．
77．（2023·山东泰安）如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明；
（3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
（2）在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过H点作于点K，如图，

∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
78．（2023·湖南）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
79．（2023·湖南常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．

(1)求证：；
(2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：
①；
②．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析，②见解析
【分析】（1）先证出是的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，最后由证得；
（2）①连接，由三角形中位线的性质得到，从而，再由，，得到，可证得，从而，又，等量代换即可；
②先证明，再由为的中位线，得到，从而为中点，由于为中点，故得证.
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）证明：①连接，

∵分别是和的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②在和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分别为和中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，即为中点，
又∵，
∴为中点，
∴.
80．（2023·湖北荆州）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．

(1)求证：
①是的切线；
②；
(2)若，，求．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)
【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证；
（2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解．
【详解】（1）证明：①四边形是菱形，
，
，则
又为的半径的外端点，
是的切线．
②连接，

∵
∴
为直径，
，
而
，
又
．
（2）解：连接交于．

菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
由得：，
．
81．（2023·湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
82．（2023·上海）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
试卷第1页，共3页4.2 三角形及其性质
一、选择题
1．（2024·山东德州）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
2．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2024·四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
4．（2024·江苏无锡）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肃兰州）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
8．（2023·江苏宿迁）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
9．（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
10．（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
11．（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·江苏扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
13．（2023·浙江金华）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·辽宁丹东）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江苏盐城）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
16．（2023·山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）

A． B． C． D．
17．（2023·辽宁大连）如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·山东聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）

A． B． C． D．
20．（2023·湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
21．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
22．（2023·四川眉山）如图，中，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
23．（2023·四川宜宾）如图， ，且，，则等于（　　）

A． B． C． D．
24．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
25．（2023·浙江）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
26．（2023·山东威海）在中，，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
27．（2023·浙江嘉兴）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
28．（2023·江苏无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
29．（2024·四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
30．（2024·四川内江）如图，在中，，，，则的度数为 ；

31．（2023·江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
32．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
33．（2023·江苏连云港）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
34．（2023·安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

35．（2023·四川遂宁）若三角形三个内角的比为，则这个三角形是 三角形．
36．（2023·青海西宁）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
37．（2023·辽宁阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．

38．（2023·辽宁锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

39．（2023·江苏徐州）如图，在中，若，则 °．

40．（2023·浙江杭州）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．

41．（2023·新疆）如图，在中，若，，，则 ．

三、解答题
42．（2023·湖南益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．

43．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
44．（2024·黑龙江绥化）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
45．（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·山东德州）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
2．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得，，，为直角三角形，
共有4个直角三角形．
故选：C．
3．（2024·四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
4．（2024·江苏无锡）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，
由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2024·甘肃兰州）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
6．（2024·四川广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D
7．（2023·江苏盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
8．（2023·江苏宿迁）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；
D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
9．（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．
【详解】解：，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
10．（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
11．（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意，
故选D．
12．（2023·江苏扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E

∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
13．（2023·浙江金华）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为，
则第三边的取值范围是，
只有选项C符合，
故选：C．
14．（2023·辽宁丹东）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
15．（2023·江苏盐城）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：设交于点，

∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
16．（2023·山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴ ，
故选：B．
17．（2023·辽宁大连）如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
18．（2023·山东聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
19．（2023·湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，

，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
20．（2023·湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
，
故选：C．
21．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
22．（2023·四川眉山）如图，中，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
23．（2023·四川宜宾）如图， ，且，，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
24．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
25．（2023·浙江）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，

点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
26．（2023·山东威海）在中，，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴即，故A说法正确；
当时，，
若以为底，高，
∴，故B说法正确；
设内切圆的半径为r，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故C说法错误；
当时，，
∴是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
27．（2023·浙江嘉兴）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．
【详解】解：如图所示，连接，
，
点是的重心，点是边的中点，
点在一条直线上，且，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
28．（2023·江苏无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
二、填空题
29．（2024·四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
30．（2024·四川内江）如图，在中，，，，则的度数为 ；

【答案】/100度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
31．（2023·江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
【答案】4
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：设第三边的长为x，则有，即，
∵该三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为3、4、5、6、7，
故答案为4（答案不唯一）．
32．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
33．（2023·江苏连云港）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
则，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
34．（2023·安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
35．（2023·四川遂宁）若三角形三个内角的比为，则这个三角形是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
设这个三角形最小的内角是x，则另外两内角的度数分别为，，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
【详解】解：设这个三角形最小的内角是x，则另外两内角的度数分别为，，
根据题意得，
解得，
∴，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
36．（2023·青海西宁）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；
②当时，如图2，

综上可知的度数是或．
故答案为：或．
37．（2023·辽宁阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．

【答案】/50度
【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
38．（2023·辽宁锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
39．（2023·江苏徐州）如图，在中，若，则 °．

【答案】/55度
【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
40．（2023·浙江杭州）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．

【答案】/90度
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
41．（2023·新疆）如图，在中，若，，，则 ．

【答案】
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
三、解答题
42．（2023·湖南益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．

【答案】
【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
43．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；
（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
44．（2024·黑龙江绥化）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；
（1）分别作的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面积等于，
∴
又∵是的中点，
∴
故答案为：．
45．（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
试卷第1页，共3页4.4 等腰三角形与直角三角形
一、选择题
1．（2024·辽宁）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2024·广东广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
4．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．（2024·安徽）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2024·四川自贡）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川广元）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
11．（2023·浙江衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·海南）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B．4 C． D．
13．（2023·内蒙古）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广东广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A． B． C．20 D．
15．（2023·宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A． B． C．2 D．
16．（2023·四川德阳）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A． B． C．2 D．1
17．（2023·江苏徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2
18．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
19．（2023·河北）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A． B． C．12 D．16
20．（2023·湖北黄冈）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ）

A． B． C． D．
21．（2023·湖南）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A． B． C． D．
22．（2023·湖南岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
23．（2024·云南）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
24．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·山东德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
27．（2024·江苏南通）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
28．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
29．（2024·四川雅安）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
30．（2024·四川资阳）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
31．（2024·甘肃兰州）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ．
32．（2024·浙江）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

33．（2024·江苏盐城）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ．
34．（2024·四川德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ．
35．（2024·重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
36．（2024·湖南）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度．
37．（2023·湖南）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为 ．

38．（2023·江苏淮安）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
39．（2023·江苏宿迁）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

40．（2023·辽宁沈阳）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．

41．（2024·江苏徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
42．（2024·黑龙江牡丹江）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
43．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
44．（2024·四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．

45．（2023·湖南郴州）在中，，则边上的中线 ．
46．（2023·江苏盐城）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .

47．（2023·四川攀枝花）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

48．（2023·江苏常州）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．

49．（2023·黑龙江哈尔滨）如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为 ．

50．（2023·湖南湘西）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．

51．（2023·辽宁）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

52．（2023·内蒙古通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．

53．（2023·湖北荆州）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．

54．（2024·湖北）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
55．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
三、解答题
56．（2024·江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
57．（2024·山东泰安）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
58．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
59．（2024·江西）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个　B．4个　C．5个　D．6个
②已知，，求的长．
60．（2024·四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
61．（2024·四川自贡）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，请直接写出的形状．
62．（2023·四川甘孜）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
63．（2023·辽宁）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．

(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．
64．（2023·江苏泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
65．（2023·宁夏）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

66．（2023·四川德阳）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
67．（2024·黑龙江牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
68．（2023·辽宁丹东）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．
(1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值；
(2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
69．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
　　
70．（2023·湖南）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长和的面积．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·辽宁）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·青海）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
3．（2024·广东广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
4．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
5．（2024·安徽）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．

6．（2024·甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】根据矩形的性质，得，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
解得．
故选C．
7．（2024·四川自贡）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵等边，于点D，长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
8．（2023·江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：等腰三角形的腰长为3，
等腰三角形的底长，
即等腰三角形的底长，
等腰三角形的周长，
故选：B．
9．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故选：D．
10．（2024·四川广元）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由旋转得，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
11．（2023·浙江衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
12．（2023·海南）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
13．（2023·内蒙古）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据尺规作图可得，是的平分线，可得，由三角形内角和定理可得，由等腰三角形性质可得，根据直角三角形的性质可得，可推出，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故选：A．
14．（2023·广东广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，

由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：D
15．（2023·宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，

∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
16．（2023·四川德阳）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵，
∴为直角三角形．
∴．
∵点为的斜边的中点，
∴．
∵，，
∴．
故选：A．
17．（2023·江苏徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
①当点E为的中点时，如图，

∴，
②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，
综上所述：或2；
故选D．
18．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
中,，，
，
，
，
故选B．
19．（2023·河北）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
20．（2023·湖北黄冈）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解；
【详解】 ，
,
又
故选择：C
21．（2023·湖南）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：由图可知，
在中，，点D为边的中点，
,
故选：B．
22．（2023·湖南岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
23．（2024·云南）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解： 如图，
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故选：C．
24．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A. ，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
25．（2024·山东德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解．
【详解】解：∵，
设，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，
∴，即，
故选：A．
26．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
【详解】解：中，，，，
，
连接，如图所示：
∵于点，于点，，
∴，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴此时．
故选：B．
二、填空题
27．（2024·江苏南通）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
28．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
，
能构成三角形，
第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
，
不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
29．（2024·四川雅安）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；
【详解】解：如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴；
如图，当时，延长交于，
∵，，
∴,
∴，
故答案为：或
30．（2024·四川资阳）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果．
【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，，
∴，
∴以为直径作半圆时，圆心为点，
设弓形，连接，，即，如图：
∴为等边三角形，
∴，
故阴影部分面积为，
代入数值可得，
故答案为．
31．（2024·甘肃兰州）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
32．（2024·浙江）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
33．（2024·江苏盐城）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴在中，，
∵将绕点旋转得到，
∴，
∴，，，
如图所示，过于点，
∵∥，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴，
当点D运动点F′时，此时，
同理可得，，
∴
故答案为：或．
34．（2024·四川德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键．
作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案．
【详解】解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点．
设，，
∵是以为底的等腰三角形，
∴在上，
∴到的距离即为，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
35．（2024·重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
36．（2024·湖南）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．
【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角．
故答案为：100．
37．（2023·湖南）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为 ．

【答案】2
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可．
【详解】解：∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
38．（2023·江苏淮安）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：三角形的底边长为
故答案为：
39．（2023·江苏宿迁）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
40．（2023·辽宁沈阳）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．

【答案】或
【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可
【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于，

当在线段上时，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在延长线上时，则，

是线段的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或．
故答案为：或．
41．（2024·江苏徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
42．（2024·黑龙江牡丹江）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
【答案】13或
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．当时，利用三角形中位线定理求得，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当时，同理求解即可．
【详解】解：当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：13或．
43．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
44．（2024·四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，

∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
45．（2023·湖南郴州）在中，，则边上的中线 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
46．（2023·江苏盐城）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .

【答案】
【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
，
∴是等边三角形，
∴，
∴点的运动路径的长为．
故答案为：．
47．（2023·四川攀枝花）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

【答案】/10度
【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
48．（2023·江苏常州）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合），
∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∵P为的中点，
∴为的中点，
∴，
∵，
∴，
故，
∵点M与点B、C不重合，
∴的取值范围是，
故答案为：．
49．（2023·黑龙江哈尔滨）如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为 ．

【答案】
【分析】根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：正方形
，
F为的中点，
设
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（负值舍去）
故答案为：．
50．（2023·湖南湘西）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．

【答案】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
51．（2023·辽宁）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点P，如图，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴,
∴是等边三角形，
∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴垂直平分，，
∴点F在射线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；

故答案为：．
52．（2023·内蒙古通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．

【答案】1
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，
，

∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
53．（2023·湖北荆州）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．

【答案】3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
54．（2024·湖北）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【答案】 /30度 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
55．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
三、解答题
56．（2024·江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
57．（2024·山东泰安）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明；
（2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论；
②根据得到即可得到结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，，，
，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
．
是中点，是中点，
是中位线，
．
，
，
．
，
．
故答案为：；
②证明： ∵，
，
，
．
58．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
59．（2024·江西）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个　B．4个　C．5个　D．6个
②已知，，求的长．
【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键；
（1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形；
（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；
②由①得，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①∵中，
∴，，
同（1），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
即、、、是等腰三角形；共有四个，
故选：B．
②∵中，，，
∴，，
由①得，
∴．
60．（2024·四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
61．（2024·四川自贡）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，请直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰直角三角形．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
62．（2023·四川甘孜）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可证明；
（2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．
63．（2023·辽宁）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．

(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)仍然成立，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；
（2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出， ，进一步得出结果．
【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴， ，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，

∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，

∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，

由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
64．（2023·江苏泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，

，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
65．（2023·宁夏）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：
【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；
（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；
拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
拓展应用：
如图，连接，延长至点，使，连接，

∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
66．（2023·四川德阳）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)正方形，见解析
【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可．
（2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【详解】（1）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，

∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
67．（2024·黑龙江牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
68．（2023·辽宁丹东）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．

(1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值；
(2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)（1）中结论成立，证明见解析；
(3)或
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）证明，即可求解；
（3）证明、均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据，在中，用解直角三角形的方法即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
在中，，
则，
点D是的中点，
，
则，
,
为等边三角形，
；
（2）解：（1）的结论成立，理由：
证明：延长交于点T，交于点N，

，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接，

根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是的中点，
则F、G、C共线，分别过点G、E作的垂线，垂足分别为H、M，交于点P，
，
则，
则,
即，均为等边三角形，
，
由（1）知为等边三角形，
则，则A、M、P、G共线，
由（1）、（2）知，，
则，
在等边三角形中，，
则，
，
；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：

在中，，
，
由（1）、（2）可知，，
，
设，则，
，
，
即，
解得：，
；
综上，的面积为：或．
69．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
　　
【答案】粮袋上升的高度是cm
【分析】先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，

则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
70．（2023·湖南）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长和的面积．
【答案】(1)见解析
(2)；的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
试卷第1页，共3页4.3 全等三角形
一、选择题
1．（2024·山东济南）如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·山东东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ）

A．为矩形两条对角线的交点 B．
C． D．
3．（2024·广东广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
5．（2024·四川遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．（2023·四川凉山）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）

A． B． C． D．
7．（2023·四川甘孜）如图，与相交于点， ，只添加一个条件，能判定的是( )

A． B． C． D．
8．（2023·宁夏）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·吉林长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
10．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
11．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
12．（2024·山东德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
13．（2024·黑龙江牡丹江）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
14．（2024·四川成都）如图，，若，，则的度数为 ．
15．（2023·浙江）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．

16．（2023·黑龙江牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）

17．（2023·福建）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．

18．（2023·四川成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．

19．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

三、解答题
20．（2024·西藏）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
21．（2024·江苏南通）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
22．（2024·江苏镇江）如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
23．（2024·山东济南）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
24．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．（2024·福建）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
26．（2024·吉林）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．
27．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．
28．（2024·云南）如图，在和中，，，．
求证：．
29．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
30．（2024·四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
31．（2024·四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
32．（2024·四川泸州）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
33．（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
34．（2024·四川广安）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
35．（2023·四川乐山）如图，已知与相交于点，，，求证：．
36．（2023·江苏南京）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
37．（2023·浙江衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
38．（2023·西藏）如图，已知，，．求证：．

39．（2023·江苏淮安）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．

40．（2023·广东广州）如图，B是的中点，，.求证：．

41．（2023·江苏南通）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
42．（2023·陕西）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

43．（2023·江苏宿迁）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
44．（2023·辽宁营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
45．（2023·吉林）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

46．（2023·辽宁大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．

47．（2023·山东）如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．

48．（2023·福建）如图，．求证：．
49．（2023·江西）（1）计算：
（2）如图，，平分．求证：．

50．（2023·云南）如图，是的中点，．求证：．

51．（2023·浙江嘉兴）如图，在菱形中，于点，于点，连接

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
52．（2023·四川宜宾）已知：如图，，，．求证：．

53．（2023·四川南充）如图，在中，点，在对角线上，．求证：

(1)；
(2)．
54．（2023·四川泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．

55．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ① ．
∵垂直平分，
∴ ② ．
又___________③ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
56．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
57．（2024·山东淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
58．（2024·江苏无锡）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
59．（2024·四川德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)证明：．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·山东济南）如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
2．（2024·山东东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ）

A．为矩形两条对角线的交点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，，
A、∵O为矩形两条对角线的交点，
∴，
在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
B、在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定，
故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·广东广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可．
【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，
故选：C．
4．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
5．（2024·四川遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
在中，，
在中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
6．（2023·四川凉山）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
7．（2023·四川甘孜）如图，与相交于点， ，只添加一个条件，能判定的是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意；
B、由 可得，，可利用证明，故此选项符合题意；
C、不能证明，故此选项不合题意；
D、不能证明，故此选项不合题意；
故选：B．
8．（2023·宁夏）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故选B．
9．（2023·吉林长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
10．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
11．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵，∴．
∵，，，
∴①．
又∵，，
∴（②）．
∴．∴四边形是平行四边形．
故选：D．
二、填空题
12．（2024·山东德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
【答案】或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，
∵，
∴添加或，
可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：或．
13．（2024·黑龙江牡丹江）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵
∴，，
∴添加条件，可以使得，
添加条件，也可以使得，
∴；
故答案为：或（答案不唯一）．
14．（2024·四川成都）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
15．（2023·浙江）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．

【答案】或或
【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定．
【详解】解：∵在与中，，，
∴添加，则；
或添加，则；
或添加，则；
故答案为：（答案不唯一）．
16．（2023·黑龙江牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）

【答案】或或
【分析】根据三角形全等的判定方法处理．
【详解】∵
∴，
若，则 ；
若，则 ；
若，则 ；
故答案为：或或．
17．（2023·福建）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．

【答案】10
【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．
【详解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案为：10．
18．（2023·四川成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．

【答案】3
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，
故答案为：3．
19．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
三、解答题
20．（2024·西藏）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵点C是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21．（2024·江苏南通）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．（2024·江苏镇江）如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用即可证得；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
23．（2024·山东济南）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出．
【详解】证明：四边形是菱形
24．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
所以；
（2）解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
25．（2024·福建）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
26．（2024·吉林）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴．
27．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
28．（2024·云南）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明： ，
，即，
在和中，
，
．
29．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：①或③（答案不唯一）
30．（2024·四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
31．（2024·四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【详解】（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
32．（2024·四川泸州）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
33．（2024·四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
34．（2024·四川广安）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
35．（2023·四川乐山）如图，已知与相交于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是灵活运用全等三角形的判定定理与性质．由平行线的性质可得，，利用即可判定，从而得．
【详解】证明：，
，，
在和中，
，
，
．
36．（2023·江苏南京）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
连接交于O，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
37．（2023·浙江衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
38．（2023·西藏）如图，已知，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
．
39．（2023·江苏淮安）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．

【答案】证明见详解；
【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
40．（2023·广东广州）如图，B是的中点，，.求证：．

【答案】见解析
【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．
【详解】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
41．（2023·江苏南通）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
42．（2023·陕西）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
43．（2023·江苏宿迁）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
44．（2023·辽宁营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
45．（2023·吉林）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

【答案】证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
46．（2023·辽宁大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】由，，可得，证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
47．（2023·山东）如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
48．（2023·福建）如图，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
即．
在和中，
．
49．（2023·江西）（1）计算：
（2）如图，，平分．求证：．

【答案】（1）2；（2）证明见解析
【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
50．（2023·云南）如图，是的中点，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．
【详解】证明： 是的中点，
，
在和中，
，
51．（2023·浙江嘉兴）如图，在菱形中，于点，于点，连接

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
（2）解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
52．（2023·四川宜宾）已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
53．（2023·四川南充）如图，在中，点，在对角线上，．求证：

(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案．
（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
（2）证明：由（1）得，
．
，，
．
．
54．（2023·四川泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
55．（2023·重庆）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ① ．
∵垂直平分，
∴ ② ．
又___________③ ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分
【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
【详解】解：如图，即为所求；

证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴ ．
∵垂直平分，
∴．
又 ．
∴．
∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
56．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件．
（1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
57．（2024·山东淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：①（或②）
58．（2024·江苏无锡）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．
（1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证；
（2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴．
59．（2024·四川德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键．
（1）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴
∵，
∴．
（2）证明：∵是等边三角形，，，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
试卷第1页，共3页4.1 线、角、相交线与平行线
一、选择题
1．（2024·山东日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024·北京）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·甘肃）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·四川泸州）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A． B． C． D．
12．（2024·内蒙古赤峰）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
13．（2024·甘肃兰州）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）
A．100° B．80° C．40° D．10°
14．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
15．（2023·湖北襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）

A． B． C． D．
16．（2023·江苏淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
17．（2023·内蒙古呼和浩特）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
18．（2023·内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·山东济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）

A． B． C． D．
20．（2023·四川德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）

A． B． C． D．
21．（2023·辽宁营口）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
22．（2023·山东日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
23．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
24．（2023·黑龙江绥化）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
25．（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
26．（2023·湖南张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
27．（2023·山东菏泽）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）

A． B． C． D．
28．（2023·山东临沂）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·四川达州）如图，，平分，则（ ）

A． B． C． D．
30．（2023·辽宁盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为
31．（2023·内蒙古通辽）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（2023·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式的次数是4
33．（2023·浙江台州）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
34．（2023·四川达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
35．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
36．（2024·江苏南通）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
37．（2024·内蒙古）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·江苏宿迁）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·山东东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·江苏常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
41．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·四川雅安）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
43．（2024·甘肃兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
44．（2024·四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
45．（2024·湖南长沙）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
46．（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
47．（2024·青海）如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
48．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
49．（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
50．（2024·黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
51．（2024·湖北）如图，直线，已知，则（ ）
A． B． C． D．
52．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
53．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
55．（2024·四川凉山）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
56．（2024·四川内江）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
57．（2024·四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
58．（2024·重庆）如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
59．（2024·重庆）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
60．（2023·西藏）如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
61．（2023·海南）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）

A．60° B．50° C．45° D．40°
62．（2023·山东青岛）如图，直线，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
63．（2023·山东淄博）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
64．（2023·青海）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
65．（2023·江苏南通）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
66．（2023·四川雅安）如图，，于点C，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
67．（2023·山东泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
68．（2023·湖北恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）

A． B． C． D．
69．（2023·辽宁）如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
70．（2023·贵州）如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
71．（2023·甘肃兰州）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
72．（2023·内蒙古）如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
73．（2023·湖北鄂州）如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
74．（2023·广东深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
75．（2023·河南）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
76．（2023·湖南）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
77．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
78．（2024·江苏宿迁）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ．
79．（2023·内蒙古通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．

80．（2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．

81．（2023·四川乐山）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

82．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．

83．（2024·山东济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
84．（2024·黑龙江绥化）如图，，，．则 ．
85．（2024·广东广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
86．（2024·广西）已知与为对顶角，，则 °．
87．（2024·四川乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
88．（2024·江苏连云港）如图，直线，直线，，则 ．
89．（2023·四川资阳）如图，，交于点F，则 ．

90．（2023·江苏镇江）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·山东日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答．
【详解】解：，
．
故选：B．
2．（2024·山东淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可．
【详解】解：，
，；
平分，
．
．
故选：C
3．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
4．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、 即可求解.
【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴
故选：B
5．（2024·内蒙古通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出．
【详解】解：如图，∵

∴，
∵在三角板中，，
∴．
故选：B
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶C．
7．（2024·内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
故选∶C．
8．（2024·北京）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
9．（2024·甘肃）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
10．（2024·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
11．（2024·四川泸州）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：如图，

直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故选：B．
12．（2024·内蒙古赤峰）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得，根据即可求解．
【详解】解：如图所示：

由题意得：
∴
故选：B．
13．（2024·甘肃兰州）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　）
A．100° B．80° C．40° D．10°
【答案】A
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选A．
14．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
15．（2023·湖北襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
，
∵，
，
，
故选：C．
16．（2023·江苏淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
17．（2023·内蒙古呼和浩特）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：如图，

由题意可知，
∴，
∴．
故选C．
18．（2023·内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平行线的性质，得到，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
19．（2023·山东济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，

，
，
，
故选：．
20．（2023·四川德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明，，结合角平分线可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
故选B
21．（2023·辽宁营口）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】根据邻补角求出，利用角平分线求出，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】解：∵，
∴
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
22．（2023·山东日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
在中，，
∵，
故，
故选：B．
23．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
24．（2023·黑龙江绥化）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
故选：C．
25．（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，

，
，
又，
，
故选：B．
26．（2023·湖南张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得， ，，推得，根据角平分线的性质可求出的度数，即可求得的度数．
【详解】∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故选：A．
27．（2023·山东菏泽）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得出，进而．
【详解】由图知，
∴
故选：B

28．（2023·山东临沂）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得，
故选：C．
29．（2023·四川达州）如图，，平分，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
30．（2023·辽宁盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为
【答案】D
【分析】根据方差的意义，中心对称图形的定义，矩形的性质，正多边形的外角和定理逐项判断即可．
【详解】解：方差越小则数据波动越小，故A选项错误；
等边三角形不是中心对称图形，故B选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误；
正多边形的外角和为，故D选项正确，
故选D．
31．（2023·内蒙古通辽）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：①，故①是真命题；
②，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
32．（2023·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式的次数是4
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解．
【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
D. 单项式的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．
33．（2023·浙江台州）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故选：A．
34．（2023·四川达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设，
∵三角形内角和为，
∴，
∴
∴，则为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
35．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
36．（2024·江苏南通）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
37．（2024·内蒙古）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
故选：B．
38．（2024·江苏宿迁）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：C．
39．（2024·山东东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
40．（2024·江苏常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
41．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
42．（2024·四川雅安）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．
【详解】解：∵，
，
，
故选：A．
43．（2024·甘肃兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行．
【详解】解：∵，
∴福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：B．
44．（2024·四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】∵过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，
可得，
故选．
45．（2024·湖南长沙）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
46．（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
47．（2024·青海）如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．
【详解】
故选：C
48．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
49．（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．
【详解】解：如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，
∴，
则，
∵光线是平行的，
即，
∴，
故选：B．
50．（2024·黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
51．（2024·湖北）如图，直线，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
52．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
．
故选B．
53．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解．
【详解】∵ ，
∴，
∵ ，则，
∴，
故选：A．
54．（2024·江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
55．（2024·四川凉山）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
56．（2024·四川内江）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
57．（2024·四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故选C．
58．（2024·重庆）如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
59．（2024·重庆）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
60．（2023·西藏）如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由题可知：，
∴，
∴．
故选：C．
61．（2023·海南）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）

A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可．
【详解】延长交直线n于点D，如图所示．

∵，
∴．
在中，．
故选：D．
62．（2023·山东青岛）如图，直线，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
63．（2023·山东淄博）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C

64．（2023·青海）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
65．（2023·江苏南通）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，

，，
，
，
，
，
故选A．
66．（2023·四川雅安）如图，，于点C，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
67．（2023·山东泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．

68．（2023·湖北恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案．
【详解】解：过点H作，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
69．（2023·辽宁）如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．

70．（2023·贵州）如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可直接得出答案．
【详解】解： ，，
，
故选B．
71．（2023·甘肃兰州）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对顶角相等得到，即可求解．
【详解】解：读取量角器可知：，
∴，
故选：B．
72．（2023·内蒙古）如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
73．（2023·湖北鄂州）如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出．
【详解】解：延长，与交于点，

∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
74．（2023·广东深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
75．（2023·河南）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
76．（2023·湖南）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等，计算即可．
【详解】如图，∵，

∴，
∵，
∴，
故选B．
二、填空题
77．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
78．（2024·江苏宿迁）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行
79．（2023·内蒙古通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．

【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：105．
80．（2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．

【答案】/100度
【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可．
【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，，
∵，
∴，
．

故答案为：．
81．（2023·四川乐山）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

【答案】/20度
【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
82．（2023·江西）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．

【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
83．（2024·山东济南）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【答案】/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
84．（2024·黑龙江绥化）如图，，，．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
85．（2024·广东广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：
86．（2024·广西）已知与为对顶角，，则 °．
【答案】35
【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵与为对顶角，，
∴．
故答案为：35．
87．（2024·四川乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．
根据两直线平行同位角相等得到，再根据平角的定义得到，从而可计算出．
【详解】解：如图，
，
，
而，
，
故答案为：．
88．（2024·江苏连云港）如图，直线，直线，，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：30．
89．（2023·四川资阳）如图，，交于点F，则 ．

【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数．
【详解】解：
是的外角，
故答案为：
90．（2023·江苏镇江）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

【答案】
【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，
∴．
故答案为：．
试卷第1页，共3页

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