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第 2 课时 直角三角形的两锐角互余
13.3.1 三角形的内角
第十三章 三角形
1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.
3.发展学生的推理能力，感受从特殊到一般的思想.
重点：直角三角形的性质与判定.
难点：应用直角三角形的性质与判定计算或推理.
如图所示是我们常用的一副直角三角板，量一量自己手上的这两个三角板，它们两锐角的度数之和分别是多少？对于任意直角三角形，这个结论还成立吗？
探究点一： 直角三角形的性质
猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，你发现了什么？
动手操作：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数.
两锐角的度数之和为 90°.
65°
25°
36°
54°
∠B + ∠C = 90°
∠E + ∠F = 90°
拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，你发现了什么？
演绎推理：
如图，在直角三角形ABC 中，
∠C = 90°，
由 ，
得∠A +∠B + ∠C= ，
即∠A +∠B +90° = ，
所以∠A + ∠B = .
三角形内角和定理
180°
180°
90°
A
B
C
探究点一： 直角三角形的性质
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角_____.
互余
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C＝90°，
∴∠A +∠B＝90°．
“Rt△”
探究点一： 直角三角形的性质
知识要点：
例1 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE 中，
∠CAE = 90°－∠AEC.
在Rt△BDE 中，
∠DBE = 90°－∠BED.
∵∠AEC =∠BED，
∴∠CAE =∠DBE.
探究点一： 直角三角形的性质
解法一 (利用平行线的判定和性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴ AB∥CD.
∴∠A＝∠D.
解法二 (利用直角三角形和对顶角的性质)：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A + ∠AOB＝90°，∠D + ∠COD＝ 90°.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠D.
变式 如图，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？
探究点一： 直角三角形的性质
通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
8 字形
∠A＝∠D
∠A + ∠B＝∠C + ∠D
∠A＝∠C
探究点一： 直角三角形的性质
解：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，
∴∠BEA＝∠BDF＝90°.
∴∠ABE +∠A＝90°，
∠ABE +∠DFB＝90°.
∴∠A＝∠DFB.
∵∠DFB +∠BFC＝180°，∴∠A +∠BFC＝180°.
练一练 1. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 又有什么关系？为什么？
探究点一： 直角三角形的性质
是直角三角形.
理由如下：
如图，在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，
根据三角形内角和定理，可知
∠A +∠B +∠C = 180°，
于是得∠C = 180°－90°=90°，
∴△ABC 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.
A
B
C
直角三角形的判定：
有两个角_____的三角形是直角三角形.
互余
几何语言：
尝试翻译成几何语言.
在△ABC 中，
∵∠A +∠B＝90°，
∴△ABC 是直角三角形．
探究点二： 直角三角形的判定
知识要点：
例2 如图，∠C = 90°，∠1 =∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
证明：在△ABC 中，∵∠C = 90°，
∴∠A +∠2 = 90°，
∵∠1 =∠2，∠A+∠2 = 90°.
∴∠A +∠1 = 90°.
∴△ADE 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 62°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，AD⊥BC 于点 D，∠ADF = 74°.
(1) 求∠DAE 的度数；
(1) 解：由三角形内角和定理，得
∠BAC = 180°－∠B－∠C = 88°.
∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE = ∠BAC = 44°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC = 90°，
∴∠CAD = 90°－∠C = 28°.
∴∠DAE =∠CAE－∠CAD = 44°－28°=16°.
探究点二： 直角三角形的判定
(2)求证：△ADF 是直角三角形.
(2) 证明：由 (1) 知∠DAE = 16°，
又∠ADF = 74°，
∴∠DAE +∠ADF = 90°，
∴△ADF 是直角三角形.
探究点二： 直角三角形的判定
1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝36°，则
∠ A 的度数为 .
54°
2. 在下列条件中：①∠ A ＝50°，∠ B ＝40°；
②∠ B ＋∠ C ＝90°；③∠ A ＝∠ B ＝∠ C ；
④∠ A ＋∠ B ＝∠ C . 能判定△ ABC 是直角三角形的条件有 .（填序号）
①②④　
3.[典图通关]如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是△ABC 的高，∠1，∠2 如图中所示.
(1) 已知 ∠ 1＝30°，则∠B＝ °；
30
(2) [作图通关] 过点 B 作 BE∥AC，过点 C 作 CF∥AB，BE 与 CF 相交于点 G，补全图形并证明∠CGB 与∠1 互余.
解：补图如图所示.
证明如下：∵ CD 是△ ABC 的 高，
∴∠ADC = 90°，∴∠A＋∠1 = 90°.
∵ BE∥AC，
∴ ∠ACG＋∠CGB = 180°.
∵ CF∥AB，
∴ ∠ACG＋∠A = 180°.
∴∠CGB =∠A.
∴∠CGB＋∠1 = 90°,
即∠CGB 与∠1 互余.
判定
直角三角形的性质和判定
有两个角_____的三角形是直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角_____
互余
互余

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