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第五单元 数学广角—鸽巢问题
（思维导图+易错精讲+易错训练）
易错点一：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。
判断:把3个苹果放在2个盒子里,盒子里至少放了2个苹果。( )
【错误答案】正确
【错解分析】本题错没有分清限制条件。把3个苹果放在2个盒子里，共有两种不同的放法，无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子里至少放了2个苹果”。而不是所有盒子里至少放了2个苹果。
【正确答案】错误
【易错例题一】盒子里有5个红球，6个黄球，每次摸一个，至少摸（ ）次一定会摸到红球。
A．7 B．6 C．5
【分析】考虑最不利情况：假设先拿出来的都是黄球，拿出6个黄球后，盒子里只剩下5个红球，此时随意摸一个球一定是红球，至少摸球的次数＝黄球的个数＋1，据此解答。
【详解】6＋1＝7（次）
所以，至少摸7次一定会摸到红球。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查抽屉原理的简单应用，从最不利情况考虑是解答题目的关键。
【易错例题二】一个不透明的袋子里装有6颗白珠子，3颗红珠子，2颗蓝珠子，1颗黑珠子，珠子颜色不同、形状大小相同，一次摸出( )颗珠子才能保证至少有两颗白珠子。
【分析】考虑最差情况，把红珠子、蓝珠子和黑珠子都摸完，再加上两个白珠子，那么就可以保证至少有两颗白珠子。
【详解】3＋2＋1＋2
＝5＋1＋2
＝8（颗）
在把所有不符合情况全部摸出，再加上需要达到目标的数量，所以一次摸出8颗珠子才能保证至少有两颗白珠子。
【点睛】此题考查了抽屉原理，能熟练考虑最不利情况是解答的关键。
易错点二：对“鸽巢原理(二)”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。】
判断:因为21÷3=6.....3,所以21个梨放进6个盘子里，总有1个盘子至少放进6个。( )
【错误答案】正确
【错解分析】此题错在把这个盘子至少放的梨的个数用“3(商)+3(余数)”计算得出,应该是“3(商)+1"
【正确答案】错误
【易错例题一】六年级甲班59名同学中至少有（ ）名同学是同一个月份出生的。
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】把59名同学看作被分放物体，一年中的12个月份看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】一年一共有12个月。
59÷12＝4……11
4＋1＝5（名）
所以，至少有5名同学是同一个月份出生的。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，找出被分放物体数和抽屉数是解答题目的关键。
【易错例题二】六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数）
【分析】得分为整数，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5种分数。从最不利的情况考虑，如果前5名同学得分都不相同，那么第6名或第7名无论得分是多少，都至少有2人成绩相同。
【详解】如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数；
6÷5＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
7÷5＝1（名）……2（名）
1＋1＝2（名）
答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。
一、选择题
1．一个袋中装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，至少要摸出（ ）个小球，肯定有10个颜色相同的。
A．10 B．11 C．21 D．28
2．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（ ）粒。
A．6 B．9 C．12 D．18
3．六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（ ）个人的分数是相同的。
A．9 B．10 C．2
4．六年级有学生367人，他们同一天过生日的人数至少有（ ）。
A．2人 B．5人 C．30人
5．一次航模大赛，甲、乙、丙、丁四人中有一人获金奖，老师问他们谁获得金奖时，甲说：我不是金奖；乙说：丁获得了金奖；丙说：获金奖的不是我：丁说：获金奖的是甲。他们四人只有一人说了真话。获金奖的是（ ）。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出（ ）只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
A．5 B．8 C．11
二、填空题
7．有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出( )只袜子。
8．一副扑克牌包括大、小王共有54张，为了保证抽出的牌有两张同花色，至少要抽取( )张牌。
9．鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出( )条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。
10．东风小学有367位同学出生于2012年，至少有( )人在同一天过生日。
11．13个苹果放入4个盘子，总有一个盘子里至少放( )个苹果。
12．从52张扑克牌（没有王牌）中任意抽出10张，至少有( )张是同花色的。
三、判断题
13．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
14．某地一年有新生婴儿368人，总有一天他们中至少有2个人出生。( )
15．把20个苹果放进3个果篮，总有一个果篮中至少要放进8个苹果。( )
16．某次智力竞赛有8个学生参加，总分是737分，则至少有一个学生的得分不低于95分。( )
四、作图题
17．在圆圈中画●，把这个●放在两个信封里，不管怎么放，总有一个信封里至少有4个●。
五、解答题
18．一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚。
①从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？
②从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？
③从中至少摸出几枚，才能保证有7枚颜色相同？
19．五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问：至少有几名学生的成绩相同？
20．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？
21．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
22．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？
23．从如图8张卡片中，任意抽出几张。要使抽出的卡片中一定有2张图案相同的，至少要抽出几张？
24．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。
25．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。
（1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？
（2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？
（3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？
（4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？
参考答案
1．D
【分析】典型的抽屉原理中最不利原则，需要颜色相同，则拿出的球都是不同的颜色，红色拿出9个，蓝色的拿出9个，黄色的也拿出9个，就摸出了27个，那么取出28个球，无论取的球是什么颜色取出的球都有10个颜色相同。
【详解】9×3＋1
＝27＋1
＝28（个）
则至少要摸出28个小球，肯定有10个颜色相同的。
故答案为：D
2．B
【分析】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。
【详解】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种）
珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1
＝2×4＋1
＝8＋1
＝9（粒）
所以至少要取出9粒。
故答案为：B
【点睛】此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
3．C
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：把m个物体放进n个抽屉里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由题意可知，一共有100－60＋1＝41（个）分数，即抽屉数是41个；六（一）班有50人，即物体数是50人；用50÷41求出商几余几，再用商数＋1求出至少数。
【详解】100－60＋1
＝40＋1
＝41（个）
50÷41＝1（人）……9（人）
1＋1＝2（人）
所以至少一定有2个人的分数是相同的。
故答案为：C
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
4．A
【分析】假设这一年是闰年，全年有366天；考虑最不利原则，把367人平均分给366天，即平均每天有1人过生日，还余1人，无论把这1人放进哪一天，这一天都有2人过生日，据此解答。
【详解】367÷366＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
他们同一天过生日的人数至少有2人。
故答案为：A
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
5．C
【分析】由题意可知，甲说：我不是金奖；丁说：获金奖的是甲，则甲和丁之间必然一真一假，又因为他们四人只有一人说了真话，则乙和丙说的是假话。据此选择即可。
【详解】由分析可知：
因为乙和丙说的是假话，所以获金奖的是丙。
故答案为：C
【点睛】根据题意分析甲、丁两人有一个是真话，从而得出乙和丙说的是假话是解答题目的关键。
6．C
【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头8只袜子是同一种颜色，再取2只是剩下的两种颜色的各一只，然后再取1只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子，据此解答即可。
【详解】8＋2＋1＝11（只）
至少拿出11只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
故答案为：C
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
7．13
【分析】因为袜子的颜色有3种，最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的，又取了2只颜色还是不同的，所以只要再取1只，就能跟第二次取的配成一双袜子了；所以至少要取10＋2＋1＝13只，据此解答。
【详解】10＋2＋1＝13（只）
故至少要取13只。
【点睛】本题考查的是处理抽屉原理问题最基本和常用的方法，运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。
8．7
【分析】一副扑克牌包括大、小王共有54张，有四种花色，每种花色有13张，运气最差的情况为前4次抽取的是四种不同花色的牌各一张，再抽2张大、小王，这时再从剩下的牌中任意抽取一张，一定有2张花色相同的牌，据此解答。
【详解】4＋2＋1＝7（张）
至少要抽取7张牌。
9．11
【分析】考虑最倒霉的情况，捞出5种鱼，每种鱼都是2条，再捞一条，无论什么品种，都可保证有3条鱼的品种相同，据此分析。
【详解】5×2＋1
＝10＋1
＝11（条）
鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出11条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。
【点睛】因为要保证有3条鱼的品种相同，此题应从最极端的情况进行分析。
10．2
【分析】先根据平年和闰年的判断方法，用2012年除以4，能整除，说明2012年是闰年，一年有366天。
把367位同学平均分给366天，每天有1位同学，还余1位，这1位无论放在哪一天，总有一天至少有2名同学过生日。
【详解】2012÷4＝503
2012年是闰年，有366天。
367÷366＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
至少有2人在同一天过生日。
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
11．4
【分析】根据题意，先将13个苹果平均放到4个盘子里，每个盘子里放3个，还剩下1个，这1个苹果，无论放在哪个盘子里，总有一个盘子里至少有4个苹果。
【详解】13÷4＝3（个）……1（个）
3＋1＝4（个）
总有一个盘子里至少放4个苹果。
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
12．3
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。52张扑克牌（没有王牌）中有4种花色，相当于4个抽屉。任意抽出10张，即物体数为10张。根据抽屉原理解答即可。
【详解】10÷4＝2（张）……2（张）
2＋1＝3（张）
所以至少有3张是同花色的。
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
13．×
【分析】由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
【详解】4＋1＝5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为：×
14．√
【分析】在此类抽屉问题中，至少数等于被分配的物体数除以抽屉数的商加1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是婴儿数368人，抽屉数是一年的天数，是365或366，据此计算即可。
【详解】368÷365＝1（人）……3（人）
1＋1＝2（人）
368÷366＝1（人）……2（人）
1＋1＝2（人）
所以，某地一年有新生婴儿368人，总有一天他们中至少有2个人出生。
故答案为：√
【点睛】先建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
15．×
【分析】从最坏的情况分析，3个果篮目前尽可能的平均放，即20÷3＝6（个）……2（个），即每个果篮放6个苹果，还剩下2个苹果，这两个苹果任意放2个果盘里，即总有一个果盘至少放6＋1＝7（个），据此判断。
【详解】由分析可知：
20÷3＝6（个）……2（个）
6＋1＝7（个）
总有一个果篮中至少要放进7个苹果。
故答案为：×
【点睛】此题考查的是抽屉原理，一定要从从最不利情况考虑。
16．×
【分析】用总分除以人数，求出商，再用商加1就是所求的至少数。
【详解】（分）……1（分）
（分）
则至少有一个学生的得分不低于93分，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
17．见详解
【分析】至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）；本题中，抽屉数是2，不管怎么放，总有一个信封至少有4个●，则被分配的物体数是2×（4－1）＋1，据此求出●的数量，画图即可。
【详解】2×（4－1）＋1
＝2×3＋1
＝6＋1
＝7（个）
【点睛】本题考查抽屉原理的应用，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
18．①3枚；②5枚；③13枚
【分析】①把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
②把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
③把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需要12个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
【详解】①2＋1＝3（枚）
答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同。
②2×2＋1
＝4＋1
＝5（枚）
答：从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同。
③6×2＋1
＝12＋1
＝13（枚）
答：从中至少摸出13枚，才能保证有7枚颜色相同。
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于n＋1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。”
19．3名
【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，解题的关键是弄清抽屉数量，根据条件“ 成绩都是整数，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间”，可以计算出75～95之间的整数有几个，也就是有几个抽屉，然后用总人数－3＝剩下的学生总数，将剩下的学生总数放入抽屉中，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n＝b……c，那么有一个抽屉至少放（b＋1）个物体，据此解答。
【详解】75～95之间的整数有95－75＋1＝21（个）
47－3＝44（名）
44÷21＝2……2
2＋1＝3（名）
答：至少有3名学生的成绩相同。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
20．4个
【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，共有3种组合；把10个小朋友平均分配给3种游乐设施组合，那么每种组合有3个小朋友，还剩下1个小朋友，无论把他放在哪个组合，总有一个组合至少有4个小朋友。
【详解】10÷3＝3（个）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。
21．76张
【分析】根据题意，要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡，按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张；根据最不利原则即运气最差，把数量多的卡依次摸出来，即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡，此时再任意摸一张，一定是黄卡，这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡；据此解答。
【详解】30＋25＋20＋1
＝55＋20＋1
＝75＋1
＝76（张）
答：最少要从箱子里摸出76张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采取最不利原则解题。
22．49张
【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。
【详解】5－1＝4（张）
4×12＝48（张）
48＋1＝49（张）
答：老师至少要准备49张贺卡。
【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。
23．5张
【分析】考虑最差情况，抽出的前4张卡片是相同的，那么第5张卡片一定是不同的。据此解题。
【详解】1×4＋1
＝4＋1
＝5（张）
答：至少要抽出5张，才能保证抽出的卡片中一定有2张图案相同的。
【点睛】本题考查了抽屉原理，解题关键在于要有一定逻辑推理能力，同时要掌握最差原则的解题方法。
24．见详解
【分析】把3人看作是3个抽屉，19块巧克力看做19个元素，考虑最差情况：把19块巧克力平均分配在3个抽屉中：19÷3＝6（块） 1（块），那么每个抽屉都有6块，那么剩下的1块，无论放到哪个抽屉都会出现7块在同一个抽屉里。
【详解】19÷3＝6（块） 1（块）
6＋1＝7（块）
答：所以一定有人至少拿到7块巧克力，那么此时其他两个人分得6块，所以不能保证一定有人拿到8块。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
25．（1）14张
（2）5张
（3）5张
（4）41张
【分析】（1）因为共有13种点数，要想保证有2张牌的点数相同，考虑最不利原则，先取的13张牌的点数都不相同，再任意取一张就有2张牌的点数相同。
（2）因为有4张相同的点数，要想保证有2张牌的点数不同，考虑最不利原则，先取的4张牌的点数都相同，再任意取一张就有2张牌的点数不同。
（3）因为有4种花色，要想保证有2张花色相同，考虑最不利原则，先取的4张牌都是不同花色的，再任意取一张就有2张牌的花色相同。
（4）因为有4种花色，每种花色都是13张，要想保证有2张红桃，考虑最不利原则，先把其它三种花色取完，再取2张就有2张牌是红桃。
【详解】（1）13＋1＝14（张）
答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同。
（2）4＋1＝5（张）
答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同。
（3）4＋1＝5（张）
答：至少取5张牌，保证有2张花色相同。
（4）13×3＋2
＝39＋2
＝41（张）
答：至少取41张牌，保证有2张红桃。
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