资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球
【题型归纳目录】
题型一：正方体、长方体外接球
题型二：正四面体外接球
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
题型四：直棱柱外接球
题型五：直棱锥外接球
题型六：正棱锥外接球
题型七：台体模型
题型八：锥体内切球
题型九：棱切球
【知识点梳理】
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
题型一：正方体、长方体外接球
【例1】（2025·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径，
所以外接球半径，
所以正方体外接球的表面积为，
故选：C.
【变式1-1】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由长方体的体积为16可得：
，即，
长方体外接球的半径为，
所以，
当且仅当“”时取等，所以，
当，长方体外接球表面积的最小值为.
故选：C.
【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知长方体的对角线长为.
所以外接球半径为，
体积为.
故选：A.
题型二：正四面体外接球
【例2】（2025·高二·湖南·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.
在中，.易知点为等边的中心，
所以.
易知，所以.
所以，点即为球心，球的半径为，
表面积为.
故选：D.
【变式2-1】（2025·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，
令正的中心为，连接，
显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，，
即，，
而，
则，
在中，，解得，，
所以它的外接球与内切球的表面积之比为.
故选：C
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
【例3】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥每对异面的棱长度都相等，且的边长分别为，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】三棱锥每对异面的棱长度相等，
该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线上分别为，设该长方体的长、宽、高分别为，，，
且不妨设，，，
，
三棱锥外接球的直径为，
外接球的体积为.
故选：B.
【变式3-1】（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图：
则有，所以，所以，即，
所以球的体积为，
故选：A.
【变式3-2】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：先将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.
因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得
因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为
因此四面体的外接球的表面积为，
选D.
题型四：直棱柱外接球
【例4】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以的外接圆的圆心为的中点,且，
取的中点，连接，则，所以平面；
设三棱锥的外接球的球心为，则在上，
设，，球半径为，
因为，所以，所以，
因为，所以，因为，所以，
即外接球半径的最大值为，
所以三棱锥的外接球的体积的最大值为.
故选：C.
【变式4-1】如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论错误的是（ ）

A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
【答案】C
【解析】直三棱柱中，，，，如图所示，
直三棱柱的体积为，故A选项正确；
直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，点为三棱柱外接球的球心，外接球的半径为，外接球表面积是，
故B选项正确；
因为O是与的交点，则的面积为定值，由，平面，平面，
可得平面，所以到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确.
故选：C
【变式4-2】（2025·高三·云南楚雄·期末）在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，即，
则外接圆的半径为，
则直三棱柱外接球的半径为，
外接球的表面积为.
故选：B.
题型五：直棱锥外接球
【例5】（2025·青海西宁·一模）如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在长方体中，连接，，
三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，
在中，取中点，连接，则为边的垂直平分线，
所以的外心在上，设为点，连接．
同理可得的外心，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，设为点．
由图可得，，又，，解得，
所以，所以.
故选：B．
【变式5-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，底面的外接圆半径，
又平面，且，则三棱锥的外接球半径，
所以外接球表面积为.
故选：B
【变式5-2】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，
则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得：
，
因此外接圆半径，球的半径，
所以球O的表面积.
故选：C
题型六：正棱锥外接球
【例6】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：
取线段的中点，连接，则，
因为，，
设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，
，
设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，
设球的半径为，则，
由勾股定理可得，即，解得，
因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
【变式6-1】已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为．
故选：B．
【变式6-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得正六棱锥的高为，
设正六棱锥的外接球的球心到底面的距离为，
设外接球半径为，则， ，
解得，
设外接球的球心为，则即为正六边形的中心，连接，
过作交于，过作交于，
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，即为球心到平面的距离，
因为，，
所以在中由等面积法可得，解得，
因此点到平面的最大距离为，
因为，所以三棱锥体积的最大值为，
故选：B
题型七：台体模型
【例7】正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，，
设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知，
又侧棱长为，则，又易知，
设，则，，
故，解得：，
故，所以球的表面积为，
故选：B.
【变式7-1】（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为，
故，
则，，
连接、相交于点，、相交于点，
设外接球的球心为，若在台体外，
设到底面的距离为，
则半径为，
即，解得，所以球心与点重合，
若在台体内，到底面的距离为，
则半径为，
即，解得， 所以球心与点重合，
综上所述，，故，所以.
故选：C.
【变式7-2】（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过作圆台的轴截面，如图所示
为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，
不妨设圆的半径，则圆的半径
依题意，
，，
，
故选：D.
题型八：锥体内切球
【例8】（2025·高二·重庆·期末）正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面，
外接球半径为，内切球半径为，设棱长为，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，由，
即解得（负值舍去）；
由等体积法得到，所以，
所以.
故选：C.
【变式8-1】正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，
所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是.
故选：B
【变式8-2】已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正三棱柱内切球半径即为内切圆半径，
由等面积法可知，，所以，
所以，
设分别为和外接圆的圆心，
则，
由正弦定理可得，所以，
设，
则，所以，解得，
所以，圆锥轴截面面积，
当且仅当，即时等号成立，即轴截面面积的最小值是.
故选：C
题型九：棱切球
【例9】（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD.
因为平面ABC，所有 .
因为平面，平面，，所有平面.
因为平面，所有
.过O作，交PA于点F.
球O的半径为r，则.
由题意：为正三角形，因为，所以，，.
因为，，所以，所以.
设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为．
故答案为：
【变式9-1】（2025·高一·河南商丘·期中）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为 ．
【答案】/
【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h，，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球O的表面积为；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球O的表面积为
故答案为：
【变式9-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为 .
【答案】
【解析】如图，
正三棱柱的各棱长均为，
以A为球心与棱相切的球的半径为，
则以平面为截面的上半球的体积为.
又，
球A位于正三棱柱内的部分的体积为.
故答案为：.
【变式9-3】（2025·高三·全国·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【答案】
【解析】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：
则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，
设正方体棱长为，则，解得：，
所求的球的半径，球的体积.
故答案为：.
【强化训练】
1．（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）

A．
B．若，则该正方体外接球表面积为
C．直线和直线异面
D．如果平面平面，那么直线直线.
【答案】BD
【解析】如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.
在正方体中，由正方体的性质知，，
所以四边形是平行四边形，则，
故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；
由正方体的性质知，，所以四边形是平行四边形，
所以，故C项错误；
正方体外接球的半径，所以表面积，故B项正确；
在正方体中，平面，平面，
所以平面，，平面，平面，
可得平面，，平面，
则平面平面，
平面平面于直线，
平面平面，故直线直线，故D项正确.
故选：BD.
2．（多选题）（2025·高一·河北石家庄·期末）在长方体中，，是棱的中点，过点，，的平面交棱于点，点为线段上一动点，则（ ）

A．当且仅当点重合于时，三棱锥的体积取得最大值
B．不存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．三棱锥外接球表面积的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，因为平面平面，根据面面平行的性质，平面与这两个平面的交线互相平行，即，
因为面，面，所以平面，
又点P在线段上,所以三棱锥的体积为定值，故A错误；
对于B，若存在点P，使得，因为，则，
因为平面，平面，则，
又因为，平面，所以平面，与题意矛盾，故不存在点，使得，B正确；
对于C，如图1所示，取BC的中点Q，连接，
则点P在平面内的射影在上，
所以直线PE与平面所成角即，且有
由已知可得，
而当时，最小，最小为，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，如图2，取的中点G，连接AG，分别取BE，AG的中点，
连接，因为是等腰直角三角形，
所以三棱锥外接球的球心O在直线上，
设三棱锥外接球的半径为R，则，
所以，
设，则，
所以,
当点P与F重合时，取最小值，此时，
三棱锥外接球的表面积为，
当点P与重合时，取最大值，
此时，三棱锥外接球的表面积为，故D正确．
故选：BCD
3．（多选题）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得平面
B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】BD
【解析】
对于A，当为中点时，由中位线可得，
因为平面，平面，所以平面.故A错误；
对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为梯形，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故D正确.
故选：BD.
4．（多选题）（2025·高一·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为正四面体的外接球的球心的投影在底面正的中心，
底面正的高为，故正四面体的高为，
设外接球的半径为，则，
如图所示，取中点，连接，因为，所以，
球心到的距离，
则，
因为点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，所以，
即，所以，
分析各个选项，发现B，C在该范围内，即B，C正确.
故选：BC.
5．（2025·高一·江苏无锡·期中）已知正四棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，点是底面（含边界）上一个动点，直线与平面所成的角的正切值为2，则的取值范围为 ；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】从点向底面作垂线，垂足为,连接，则为直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角的正切值为2，所以，
因为,所以，由对称性可知，，即点的轨迹是底面内，以为圆心，1为半径的圆弧，
如图，当位于与圆弧的交点处时，最小，最小值为；
当位于或时，最大，最大值为1，所以的取值范围为.
设交于点，交于点，连接，则球心在上，
连接，设，球半径为，则,，
有勾股定理可得，
解得，所以球的表面积为.
故答案为：；.
6．（2025·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：
三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，
所以三棱锥外接球的表面积为，
过点的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心的大圆，此时截面圆的面积为，
最小截面为过点垂直于球心与连线的圆，此时截面圆半径（其中MN长度为长方体前后面对角线长度），
故截面圆的面积为，
所以过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为．
故答案为：;
7．（2025·高一·河北邯郸·期末）在正三棱锥中，，，点在棱上，且，设正三棱锥的外接球为球，过顶点作球的截面，则所得截面面积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，
因为，，，
所以，，，
设外接球的半径为，则，在中由勾股定理可得，解得，
所以，又，，所以，
所以，
所以过点作球的最小的截面为与垂直的圆面，所以最小截面圆的半径，
所以.
故答案为：
8．（2025·高二·湖南岳阳·开学考试）已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是 ．
【答案】
【解析】取三角形的中心，连接，过点作平面，
因为为边长为的等边三角形，所以球心在上,不妨设为三棱锥外接球球心，
过球心作，交于点，则球的半径为，
因为在三棱锥中，底面，且是边长为的等边三角形，,
所以，
因为，所以，所以，
所以球的半径，
所以该三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球
【题型归纳目录】
题型一：正方体、长方体外接球
题型二：正四面体外接球
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
题型四：直棱柱外接球
题型五：直棱锥外接球
题型六：正棱锥外接球
题型七：台体模型
题型八：锥体内切球
题型九：棱切球
【知识点梳理】
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
题型一：正方体、长方体外接球
【例1】（2025·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二：正四面体外接球
【例2】（2025·高二·湖南·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2025·高一·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为
A． B． C． D．
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
【例3】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥每对异面的棱长度都相等，且的边长分别为，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2025·高一·河南·期中）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积
A． B． C． D．
题型四：直棱柱外接球
【例4】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论错误的是（ ）

A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
【变式4-2】（2025·高三·云南楚雄·期末）在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：直棱锥外接球
【例5】（2025·青海西宁·一模）如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型六：正棱锥外接球
【例6】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
题型七：台体模型
【例7】正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A． B． C． D．
【变式7-2】（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
题型八：锥体内切球
【例8】（2025·高二·重庆·期末）正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式8-2】已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型九：棱切球
【例9】（2025·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【变式9-1】（2025·高一·河南商丘·期中）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为 ．
【变式9-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为 .
【变式9-3】（2025·高三·全国·阶段练习）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【强化训练】
1．（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）

A．
B．若，则该正方体外接球表面积为
C．直线和直线异面
D．如果平面平面，那么直线直线.
2．（多选题）（2025·高一·河北石家庄·期末）在长方体中，，是棱的中点，过点，，的平面交棱于点，点为线段上一动点，则（ ）

A．当且仅当点重合于时，三棱锥的体积取得最大值
B．不存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．三棱锥外接球表面积的取值范围是
3．（多选题）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得平面
B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
4．（多选题）（2025·高一·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·高一·江苏无锡·期中）已知正四棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，点是底面（含边界）上一个动点，直线与平面所成的角的正切值为2，则的取值范围为 ；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为 ．
6．（2025·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 ．
7．（2025·高一·河北邯郸·期末）在正三棱锥中，，，点在棱上，且，设正三棱锥的外接球为球，过顶点作球的截面，则所得截面面积的最小值为 .
8．（2025·高二·湖南岳阳·开学考试）已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑