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专题9 立体几何中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：截面问题
题型二：面积、周长问题
题型三：体积问题
题型四：长度问题
题型五：线段和最值问题
题型六：角度问题
【知识点梳理】
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
【典型例题】
题型一：截面问题
【例1】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A． B．18 C． D．9
【答案】B
【解析】如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与，
圆锥轴截面的顶角为，
则时，截面面积取最大值，
过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为，
故选：B．
【变式1-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形，
则，，则，
则在中利用余弦定理可得，，
则为钝角，
设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则，
则截面三角形的面积为，
则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为.
故选：B
【变式1-2】（2025·高一·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径，
设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，
设，
则，，
可得截面SCD的面积，
当且仅当，即时等号成立，
所以截面积的最大值为2.
故选：C.
题型二：面积、周长问题
【例2】（2025·高一·福建泉州·期中）如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是正三棱柱，且，令，
则三棱柱的表面积为，
由题有，解得，
设内切圆半径为，由，得到，
又，则正三棱柱的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为，
因为存在一个可以在正三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中，
则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱内切球的直径，
即，得到，解得，
故选：A.
【变式2-1】（2025·高一·河北邢台·期中）某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】B
【解析】
如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，，
所以，
在中，，，所以，
所以该木材的表面积平方厘米，
，所以，
所以体积立方厘米.
要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球.
设内切球的半径为厘米，则，所以.
设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米.
故选：B
【变式2-2】（2025·高一·湖南邵阳·期中）圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】D
【解析】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为，侧面展开图面积为
所以，解得，
作出圆锥的轴截面，如图所示：
则 ，
因为底面圆周上有两动点A，B，当时，则面积的最大，
最大值为，
故选：D
【变式2-3】（多选题）（2025·高一·广东广州·期中）如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A．四点共面
B．该几何体的体积为6
C．过四点四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
【答案】ACD
【解析】对于A，取中点，取靠近的三等分点，
由，得四边形为平行四边形，
则，
同理，于是，
四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形，
因此，，则，四点共面，A正确；
对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，
高为4的长方体体积的一半，所以，B错误；
对于C，过四点构造正方体，
外接球直径为正方体的体对角线，
因此过四点的外接球表面积为，C正确；
对于D，平面平面，平面平面，平面平面，
则，同理，四边形为平行四边形，
则周长，
将梯形、梯形置于同一平面内，当共线时，最小，
最小值为5，从而周长的最小值为，D正确，
故选：ACD
题型三：体积问题
【例3】（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为
D．若，则三棱锥的体积为
【答案】ABC
【解析】由圆锥的底面半径为1，侧面积为，得圆锥母线，圆锥的高，
对于A，，A正确；
对于B，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，圆心角为，B正确；
对于C，将圆锥的侧面沿母线剪开展成平面图形，连接，如图，
所求细绳长度最小值为，C正确；
对于D，当时，，，
，D错误.
故选：ABC
【变式3-1】（2025·高一·广东广州·期中）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点，现将底面水平放置，若打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意只需放入小铁球的总体积大于即可，
而小铁球的体积，
若放入个小铁球水从上底面溢出，所以，
则，而，故最小为3.
故选：C.
【变式3-2】（2025·高三·浙江台州·期末）在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由于为边长为2的等边三角形，故面积为,
也是边长为2的等边三角形，
故当平面平面时，此时到平面的距离最大，且最大值为,（其中为的中点），
故三棱锥的体积的最大值为,
故选:C
题型四：长度问题
【例4】（2025·高二·辽宁·开学考试）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
设BC的中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N，
易得，，
过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为，
又为GH的中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值．
设，，由，可得，
整理得，故当，
即F为的中点时，MG取得最小值，
同理可得NG的最小值也是，
此时，，G三点共线，．
故选：C
【变式4-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知正四面体的棱长为1，动点P在△ABC内（含边界），设点P到平面SAB的距离为，点P到平面SBC的距离为，点P到平面SCA的距离为.若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点A到平面SBC距离为h，由，知，，，
则P点在过△ABC的重心与BC平行且在△ABC内的线段DE上，
D，E分别为边AC，AB靠近C，B的三等分点，
由正四面体的性质可知点P到平面SAB的距离的最大值为.
故选：A.
【变式4-2】（2025·高一·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取上靠近点的四等分点，连接、，
由是棱的中点，点是棱的中点，易得，
则平面，
取、中点、，取上靠近点的四等分点，
连接、、、，
由正方体的性质易得，，则，
又平面，平面，所以平面，
同理，平面，
又，平面，故平面平面，
又平面，平面，故，
即点的轨迹为线段，设点到的距离为，
有，故，
又，故的长度范围为.
故选：C.
.
题型五：线段和最值问题
【例5】（多选题）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】BD
【解析】在中，，则圆锥的母线长，半径.
对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误；
对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，可得，
即，当且仅当时，等号成立，
则三棱锥体积为：，
即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：因为，故，
当点与点重合时，；当点与点重合时，，
又因为点与、不重合，则，
又，可得，故选项C错误；
对于选项D：因为，，，
由可得.
又，所以为等边三角形，则.
将以为轴旋转到与共面，
得到，则为等边三角形，.
如图，当、、三点共线时，取最小值.
因为，，
所以，
，故选项D正确.
故选：BD.
【变式5-1】（多选题）（2025·高一·湖南·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2
C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直
【答案】AC
【解析】对于A，取的中点G，连接，GM，，
因为M为的中点，所以，
在正方体中，，所以，
则正方体被平面所截得的截面为四边形，
且四边形为等腰梯形，，，，
在等腰梯形中，过点，分别作，垂足为，，
则，所以，
所以等腰梯形的面积为，故A正确；
对于B，计算的最小值，将平面以为轴旋转展开，
与平面在同一个平面内，如图所示，
由于，，，，
则，则，
则为直角，所以当E，F都到达时，的值取得最小值2，但E，F不能取端点，故B错误．
对于C，由，故C正确．
对于D，若直线与平面垂直，则必有，此时E为的中点，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
而平面与平面相交，矛盾，
所以与平面不可能垂直，故D错误．
故选：AC.
【变式5-2】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（ ）
A．与是异面直线
B．过，，三点的平面截该正方体所得的截面是四边形
C．到平面的距离是
D．若是线段上的动点，则的最小值是
【答案】ABC
【解析】在正方体中，过作分别交于，连接，则，
对于A，平面，点平面，点，又点平面，
因此是异面直线，A正确；
对于C，由平面，平面，得平面平面，
平面平面，在平面内过作于，
则平面，到平面的距离，C正确；
对于B，连接，由为正方形的中心，得，
延长与的延长线交于点，过点画直线交分别于，
连接并延长交于，连接，因此四边形是所求截面，B正确；
对于D，将置于同一平面内，，
连接，则，当且仅当是与的交点时取等号，
在中，，
因此，D错误.
故选：ABC
【变式5-3】（2025·高二·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长.
【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，
∵母线长，∴圆柱的高，
∴圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）如图，延长线段至，使得，
作，垂足为，交与，
因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线，
所以，
则，∴，
所以，
此时，取得最小值，
因为，，所以，
所以在中，，
所以，
所以的最小值为.
又在中，，
所以，
则在中， .
题型六：角度问题
【例6】（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角正切的最大值.
【解析】（1）设等边三角形的边长为2，
则，连接交于点.
因为是等腰三角形，所以，即，
因为，，.
所以，，
，面，
所以面，因为面，
所以面面.
（2）在中，，，，
由余弦定理得，所以，
所以三棱锥为正三棱锥.
因为是的重心，
所以面，则，
连接并延长交于，
连接，可得，，
所以面，
所以面面，过作，
因为面面，面，
所以面.
取的中点为，由题意知是的中点.
所以，所以为所求线面角.
在中，，，
所以.
（3）因为，设，过作.
因为，可得平面，
所以平面平面，所以平面，
可得，，
过作，连接，
易得，可得为所求夹角.
在中，，，
所以，
，
所以，解得，
所以平面与平面夹角正切的最大值.
【变式6-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
【解析】（1）过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为.
②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
设，，且，则，所以，，
所以，，，
因为平面，平面，所以，，
因为为的中点，则，所以，，
所以，，
所以，，
在直角中，，其中，
因为二次函数在上单调递增，
当时，，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，故二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，即为的中点，所以，，
，故二面角的正切值为.
【变式6-2】（多选题）（2025·高一·湖南张家界·期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．可能为直角三角形
D．平面与平面所成的锐二面角的范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，取、的中点、，连接、、.
因为、分别为、的中点，所以，则，
且，
所以四边形为平行四边形，，
为等边三角形，为的中点，则，
平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
平面，因此平面平面，故A正确；
对于B，因为的面积为定值，
，平面，平面，所以平面，
因为，所以点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，平面，平面，，
为的中点，则，
若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则，
设正三棱柱的棱长为，则，则，
因为，故，所以不可能为直角三角形，故C错误.
当、分别为，中点时，平面与平面所成的角为，
当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；
延长交于，连接，则平面平面，
由于为的中点，，所以且，
故在中，为中点，为中点，
在中，为中点，为中点，故，由于平面，
所以平面，平面，所以，，
所以平面与平面所成锐二面角最大为，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确．
故选：ABD．
【强化训练】
1．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为，
因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中，
若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即，
此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求.
故选：D
2．在金属丝制作的的长方体框架中放置着一个球，则该球的半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】显然，球的直径不能超过的长方形外接圆的直径，即它的直径不超过，故该球半径的最大值为.
故选：B.
3．（2025·高一·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作出圆台的轴截面，
要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，
设圆的半径为，则，
因为，所以，
作，因为，所以，
而，由勾股定理得，
则，且，
而，
即得到，解得，
设圆台内正方体的棱长最大值为，则，
．
故选：B.
4．（2025·陕西榆林·二模）育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2，底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图1所示，要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最大，
则该正方体的外接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，圆锥的轴截面如图2所示，
为正三角形且，此时内切球的截面圆与内切，
，设正方体边长为，由图3得，，得.
故选：C.
5．（2025·高一·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示，
故选：C
6．（2025·高三·山西·期中）已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球.
设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为，
则，化简得，又圆台母线长为，
联立，解得.
设圆台上、下底面圆半径分别为，则，
解得.
如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为，
在中，，又为锐角，则.
由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为，
故圆台的高.
如图2，圆锥轴截面为正三角形，
则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为，
因为正三角形内切圆直径，
故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为.
设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得，
，解得，
此时正方体的体积最大，最大为.
故选：B.
7．（多选题）（2025·黑龙江大庆·三模）在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值
C．棱锥的外接球的体积为
D．若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于选项A，若平面，根据线面垂直的性质，可得.
因为，根据平行线的传递性，所以. 又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以. 但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面，故A错误.
对于选项B，易知平面，根据线面平行的性质，可知上的点到平面的距离相等. 三棱锥的体积（为点到平面的距离），由于上点到平面距离相等，所以不变.
又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确.
对于选项C，分别以，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同.
设外接球半径为，已知，，的值，根据长方体体对角线公式（为体对角线，分别为长方体的长、宽、高），可得，则.
根据球的体积公式，可得，故C正确.
对于选项D，取的中点，取的中点，连接，，，易知平面平面.
因为点为长方形内一点，所以点的运动轨迹为线段.
在中，过点作，此时取得最小值.
由题意可知，，，.
根据余弦定理.
再根据，可得.
所以，故D错误.
故选：BC.
8．（多选题）（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线DP与直线所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
【答案】AB
【解析】，平面，平面，则平面，
则点到平面的距离为定值，故 为定值，故A正确；
如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确；
如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误；
如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误.
故选：AB.
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为正方体的表面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的轨迹长度为
B．若，则的最小值为
C．若在上，在上，则的最小值为
D．若为的中点，为的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形
【答案】AB
【解析】
对于A，由，得点的轨迹为以点为球心，为半径的球面与正方体表面的交线，如图①，
其中，，等长，，，等长，，
所以，同理，所以，
所以的长为，，，
所以的长为，所以的轨迹长度为，故A正确；
对于B，如图②，连接，，，，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，又，平面，所以平面，
因为为侧面上的动点，，所以在线段上，
又是边长为的等边三角形，所以的最小值为边上的高，即，故B正确；
对于C，如图③，取的中点为，连接，，
易知平面，平面，所以，所以，
当点与点重合，点与点重合时，与均取得最小值，
此时取得最小值，故的最小值为，故C错误；
对于D，如图④，若为的中点，为的中点，
取上靠近点的四等分点，连接，，，，
取线段的中点，连接，，
则，，则四边形为梯形，
则梯形为过，，三点的平面截正方体所得的截面，
，，，
所以，即，
同理可得，所以梯形不是直角梯形，故D错误.
故选：AB.
10．（多选题）（2025·高三·山西太原·期末）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点，连接，
所以，又易证，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确；
对于B，又易得，所以为的中点时，，
此时，所以的最小值为，故B正确；
对于C，，其中为到的距离，
所以最小时，最小，显然在点处时，最小，
此时，故C错误；
因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，
设外接球的球心为，由，可得，
所以，解得，
解得，所以外接球的表面积为，故D正确》
故选：ABD.
11．（多选题）（2025·高一·湖南·期中）圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ）

A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．存在点在圆锥上，使得直线平面
【答案】AC
【解析】由题，即分别为的中点，
对于A，当时，则，
圆锥沿展开的侧面展开图如图扇形所示，
则该扇形所对圆心角弧度数为，
所以当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为途中所示线段的长，
该长度为，故A正确；
对于B，当时，，，
所以，如图为过圆锥顶点和两母线的截面三角形，则由题意，
过顶点和两母线的截面三角形的面积为，
当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为，故B错误；
对于C，当时，，则，所以圆锥的外接球球心在线段上，
设外接球半径为R，则，即，
所以该圆锥的外接球表面积为，故C正确；
对于D，如图，分别延长至使得，
连接，则由题意，，
又在平面外，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
所以过点B与平面平行的直线均在平面内，显然该平面上的点只有点B在圆锥上，
所以不存在点在圆锥上，使得直线平面，故D错误.
故选：AC
12．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ）

A．三棱锥体积的最大值为
B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为
C．当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，而等边的面积为定值，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，
易知点是正方体到平面距离最大的点，
所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，
其高为，所以，A错误；
对于B，取中点，中点，连结，
易证，因为，所以，即，又，，所以平面，
因为，所以点的轨迹为矩形，，所以动点P的轨迹长度为，故B正确；
对于C：连接，，以为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
易知平面，FT不含于平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.
故选：BCD
13．（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为
B．该圆锥表面积为
C．该圆锥的体积为
D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50
【答案】ACD
【解析】对于A，扇形的圆心角的弧度数为，故A正确；
对于B，圆锥表面积为，故B错误；
对于C，圆锥的体积为，故C正确；
对于D，设圆锥轴截面的顶角为，则，
而为三角形内角，故为钝角，
而过该圆锥顶点的截面面积为，
截面等腰三角形的顶角，而，
故面积的最大值为，当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ACD.
14．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．动点的轨迹是一条线段
B．直线与的夹角为
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为
【答案】ABD
【解析】A：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．
由正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，对；
B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，
所以直线与的夹角，即直线与的夹角为，对；
C：由B知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，错；
D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，截面平面，平面平面，
所以，同理，所以截面为平行四边形，则点N为的中点．
在四棱锥中，侧棱最长，且，对.
故选：ABD
15．（多选题）（2025·高一·浙江·期中）我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．中的长为
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为
C．四面体的体积最大值为8
D．半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
因为圆柱的高为4，所以底面直径为4，
设下底面圆的圆心为，因为底面圆为等边的外接圆，
所以点为等边的中心，所以，又，
所以，故不正确；
设底面圆的半径为，则，
设圆柱的外接球的半径为，所以，
所以，，
所以，
即圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，故正确；
四面体的体积可看作三棱锥和三棱锥的体积之和，
且，
当平面时，三棱锥和三棱锥的体积最大，即四面体的体积最大，
所以最大值为，
故正确；
连接，当平面时，因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
此时为半平面与半平面所成二面角，
又，
所以，
当趋于与平行时，此时半平面与半平面所成二面角趋于，
所以二面角的余弦值趋于，
所以当在上底面运动且不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是，故正确.
故选：.
16．（多选题）（2025·高一·全国·期中）如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的正弦值为
B．当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．三棱锥外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为，
，，
，
所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；
对于B，连接交于点，连接，
在菱形中，，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以平面，
所以线段的长度即为点到平面的距离，
在等边三角形中，，
则直线与平面所成角的正弦值为，
当点与点重合时，取得最小值，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；
对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，
则的最小值即为，故C正确；
对于D，，，是边长为的正三角形，
的外接圆半径，
三棱锥外接球半径，
三棱锥外接球表面积，故D正确.
故选：BCD.
17．（多选题）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．存在点，使得
C．平面截正方体所得截面面积为9
D．平面与平面所成锐二面角的大小是
【答案】ABD
【解析】在正方体中，取的中点，连接，
四边形是正方体的对角面，则，
四边形是平面截正方体所得截面，
取的中点，连接，显然 ，，
则四边形为平行四边形，，平面，平面，
于是平面，而，平面，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，
而平面，则平面，又平面，平面平面，
从而点的轨迹是线段，
对于A，在中，，
则，又，因此直线与所成角的范围是，A正确；
对于B，，当为线段的中点时，，又，因此，B正确；
对于C，四边形中，，
显然四边形为等腰梯形，高，
，C错误；
对于D，由平面，平面，得平面平面，
在平面内过作于，而平面平面，
则平面，连接，显然是平面与平面的交线，
于是，过作于，连接，而平面，
则平面，又平面，于是，是二面角的平面角，
又，在中，，
由余弦定理得，则，，
在中，，则，
所以平面与平面所成锐二面角的大小是，D正确.
故选：ABD
18．（多选题）（2025·高二·河北唐山·期末）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）

A．四面体的体积是定值
B．直线与平面所成角的范围是
C．若P，Q分别是棱，的中点，则
D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
【答案】ABC
【解析】对A，因为四面体的体积为，h为到底面的距离，且为定值2，
为定值，故四面体的体积是定值，A正确；
对B，连接，易得平面，
故平面，则到平面的距离即为到平面的距离；
又，平面，
则平面，则到平面的距离为，
易得，则直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的范围是，故B正确；
对C，若P，Q分别是棱，的中点，易得，故C正确；
对D，取中点M,中点N,连接，
易知故四边形为平行四边形，则，
易知，故，故经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面为梯形，
如图：
又易得，，
作易得为矩形，
设，则，
由则，解得，
故，
故四边形的面积为，故D错误.
故选：ABC
19．（多选题）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A．时，平面
B．不存在，使得平面
C．任意，三棱锥的体积为定值
D．过点的平面分别交于，则的范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，是的中点，而是的中点，则，
而平面，平面，于是平面，A正确；
对于B，当，即点与重合时，由平面，平面，
则，又平面，则平面，
而平面，于是，又，则，同理，
又平面，因此平面，B错误；
对于C，显然，而平面，平面，则平面，
因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值，
因此三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，直线与直线和分别交于点，则，，
而有，，
当时，有，，
则，，
从而，，
当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合， ，亦成立，
则，，所以的取值范围是，D正确.
故选：ACD.
20．（多选题）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，平面平面
C．任意，三棱锥的体积为定值
D．过点的平面分别交于，则的范围是
【答案】ACD
【解析】
如图，设的中点为，的中点为，直线与直线和分别交于点.
对于A，当时，是的中点，而是的中点，
所以，而在平面内，不在平面内，
所以平行于平面，A正确；
对于B，假设平面平行于平面，
由于在平面内，故平行于平面.
由于是的中点，是的中点，所以，.
这就得到四边形是平行四边形，
所以，且该平行四边形确定一个平面.
由于在平面内，平行于平面，平面和平面有公共点，
所以平面和平面有一条过的交线，且该直线平行于.
又因为，所以该交线就是，这意味着在平面内，
再由在直线上，知四点共面，这与正方体的性质矛盾.
故平面与平面不平行，B错误；
对于C，由于，在直线上，所以到直线的距离恒为定值.
同样因为，可知一对平行线和确定一个平面，
设到平面的距离为，则由在直线上，可知到平面的距离为.
从而，恒为定值，C正确；
对于D，由于均在平面上，故是和的交点，是和的交点.
同时，我们有，.
当时，由相似三角形知识可得，.
所以，.
从而，.
注意到的中点为，则当时，分别与重合；
当时，分别与重合，容易验证知，亦成立.
所以，而，所以的取值范围是，D正确.
故选：ACD.
21．（多选题）（2025·山东日照·模拟预测）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（ ）
A．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是
B．若在线段上运动，则的最小值为
C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】对A，如图所示，
由于，可知即为异面直线与所成角，
设连接，设，
则在中，
，故A正确；
对于B，将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示，
由图可知，线段的长度即为的最小值，
在中，，故B错误；
对于C，如图当为半圆弧的中点时，三棱锥的体积最大，
此时，三棱锥的外接球球心是的中点，
连结，则半径的长为，其表面积为，故C正确；
对于D，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，
只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图，
，则平面与正方体过点A的三条棱所成的角相等，
当点分别为棱的中点，
连结，可得平面平行于平面，且为正六边形，
此时该截面是最大截面，
由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确.
故选：ACD
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专题9 立体几何中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：截面问题
题型二：面积、周长问题
题型三：体积问题
题型四：长度问题
题型五：线段和最值问题
题型六：角度问题
【知识点梳理】
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
【典型例题】
题型一：截面问题
【例1】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A． B．18 C． D．9
【变式1-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式1-2】（2025·高一·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
题型二：面积、周长问题
【例2】（2025·高一·福建泉州·期中）如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2025·高一·河北邢台·期中）某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【变式2-2】（2025·高一·湖南邵阳·期中）圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【变式2-3】（多选题）（2025·高一·广东广州·期中）如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A．四点共面
B．该几何体的体积为6
C．过四点四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
题型三：体积问题
【例3】（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为
D．若，则三棱锥的体积为
【变式3-1】（2025·高一·广东广州·期中）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点，现将底面水平放置，若打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】（2025·高三·浙江台州·期末）在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
题型四：长度问题
【例4】（2025·高二·辽宁·开学考试）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知正四面体的棱长为1，动点P在△ABC内（含边界），设点P到平面SAB的距离为，点P到平面SBC的距离为，点P到平面SCA的距离为.若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2025·高一·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：线段和最值问题
【例5】（多选题）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【变式5-1】（多选题）（2025·高一·湖南·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2
C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直
【变式5-2】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（ ）
A．与是异面直线
B．过，，三点的平面截该正方体所得的截面是四边形
C．到平面的距离是
D．若是线段上的动点，则的最小值是
【变式5-3】（2025·高二·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长.
题型六：角度问题
【例6】（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角正切的最大值.
【变式6-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
【变式6-2】（多选题）（2025·高一·湖南张家界·期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．可能为直角三角形
D．平面与平面所成的锐二面角的范围是
【强化训练】
1．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．在金属丝制作的的长方体框架中放置着一个球，则该球的半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2025·高一·安徽·期中）已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西榆林·二模）育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2，底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2025·高一·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2025·高三·山西·期中）已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（多选题）（2025·黑龙江大庆·三模）在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值
C．棱锥的外接球的体积为
D．若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2
8．（多选题）（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线DP与直线所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为正方体的表面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的轨迹长度为
B．若，则的最小值为
C．若在上，在上，则的最小值为
D．若为的中点，为的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形
10．（多选题）（2025·高三·山西太原·期末）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
11．（多选题）（2025·高一·湖南·期中）圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ）

A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．存在点在圆锥上，使得直线平面
12．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ）

A．三棱锥体积的最大值为
B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为
C．当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
13．（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图为一扇形，且圆心角为
B．该圆锥表面积为
C．该圆锥的体积为
D．过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50
14．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．动点的轨迹是一条线段
B．直线与的夹角为
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为
15．（多选题）（2025·高一·浙江·期中）我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．中的长为
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为
C．四面体的体积最大值为8
D．半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
16．（多选题）（2025·高一·全国·期中）如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的正弦值为
B．当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．三棱锥外接球的表面积为
17．（多选题）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．存在点，使得
C．平面截正方体所得截面面积为9
D．平面与平面所成锐二面角的大小是
18．（多选题）（2025·高二·河北唐山·期末）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）

A．四面体的体积是定值
B．直线与平面所成角的范围是
C．若P，Q分别是棱，的中点，则
D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
19．（多选题）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A．时，平面
B．不存在，使得平面
C．任意，三棱锥的体积为定值
D．过点的平面分别交于，则的范围是
20．（多选题）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，平面平面
C．任意，三棱锥的体积为定值
D．过点的平面分别交于，则的范围是
21．（多选题）（2025·山东日照·模拟预测）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（ ）
A．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是
B．若在线段上运动，则的最小值为
C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
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