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专题10 立体几何中的点线面位置关系问题以及平行垂直问题
【题型归纳目录】
题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断
题型二：证明线面平行
题型三：证明面面平行
题型四：证明线线垂直
题型五：证明线面垂直
题型六：证明面面垂直
题型七：平行、垂直探索性问题
【知识点梳理】
知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
【典型例题】
题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断
【例1】（2025·高一·山东济南·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，，，则
【变式1-1】（2025·高一·山西阳泉·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线
C．直线，，则与的位置关系是
D．若，，则
【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：证明线面平行
【例2】（2025·高一·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
【变式2-1】（2025·高一·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.
(1)求证：平面；
(2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，
（i）求证：；
（ii）求证：平面.
【变式2-2】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明.
题型三：证明面面平行
【例3】（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)过F点作平面平面交于点，交于点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
【变式3-1】（2025·高一·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值．
【变式3-2】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
(3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）．
题型四：证明线线垂直
【例4】如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若平面交于点．求证：．
【变式4-1】（2025·高二·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)证明：.
【变式4-2】在四面体中，已知，，求证：．
题型五：证明线面垂直
【例5】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.
(1)求证： 平面；
(2)求证： 平面
(3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值.
【变式5-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面．
(1)求证：平面；
【变式5-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求证：平面.
题型六：证明面面垂直
【例6】（2025·高一·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，证明
【变式6-1】（2025·高一·天津西青·期中）如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点.
(1)求证: 直线平面
(2)求证：平面 平面
(3)求与平面所成的角的正切值.
【变式6-2】如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面．
题型七：平行、垂直探索性问题
【例7】（2025·高一·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.

(1)求证：底面为梯形；
(2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
【变式7-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若点F在棱上且满足，平面，求的值．
【变式7-2】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【强化训练】
1．如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面，求动点的轨迹长度.
2．（2025·高一·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离.
3．（2025·高一·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
4．（2025·高一·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面交平面于直线，求证：．
5．（2025·高一·北京顺义·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若 求直三棱柱的体积和表面积；
6．（2025·高一·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，证明：.
7．（2025·高一·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，且，求三棱锥的高.
8．（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求证：直线三线共点．
9．（2025·高一·山西·期中）如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点.
(1)设平面平面平面，证明：三点共线；
(2)证明：平面.
10．（2025·高一·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：面；
(2)求证：面；
(3)当平面时，面与交于，求的值．
11．（2025·高一·福建厦门·期中）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
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专题10 立体几何中的点线面位置关系问题以及平行垂直问题
【题型归纳目录】
题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断
题型二：证明线面平行
题型三：证明面面平行
题型四：证明线线垂直
题型五：证明线面垂直
题型六：证明面面垂直
题型七：平行、垂直探索性问题
【知识点梳理】
知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
【典型例题】
题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断
【例1】（2025·高一·山东济南·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或异面，故B错误；
对于C，若，，，则或异面，故B错误；
对于D，由面面平行的判定定理可证D成立，
故选：D.
【变式1-1】（2025·高一·山西阳泉·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线
C．直线，，则与的位置关系是
D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A：一个长方体上面叠加一个各侧面与长方体各侧面都不在一个面，且底面相同的斜棱柱，则满足题目条件，但不是棱柱，故A项错误；
对于B：由异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，故B错误；
对于C：与不相交，所以与的位置关系平行或在平面内，故C错误；
对于D：因为，，所以（面面平行的性质定理），故D正确.
故选：D
【变式1-2】（2025·高一·湖南·期中）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，因为l⊥β，所以l⊥α成立；
若l⊥α，因为l⊥β，根据与同一条直线垂直的两个平面平行，所以成立，
所以“”是“l⊥α”的充分必要条件.
故选：A．
题型二：证明线面平行
【例2】（2025·高一·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
【解析】（1）连接CE，因为，即，
又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以，
又因为平面，平面SCE，所以平面SCE.
（2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，
因为，所以，所以B，C，G，F四点共面，
因为平面，平面BCGF，平面平面，
所以，所以四边形BCGF是平行四边形，
所以，所以，所以F为线段SE的中点.
【变式2-1】（2025·高一·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.
(1)求证：平面；
(2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，
（i）求证：；
（ii）求证：平面.
【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）（i）连接，交于，连接，如下图：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
所以.
（ii）连接，如下图：
易知，显然平面，平面，所以平面；
同理可得，即平面；
又，所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
【变式2-2】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明.
【解析】（1）如图，取N为线段的中点，连接
因为N为线段的中点，
所以.
又，
所以，四边形为平行四边形，.
因为平面，平面，
所以有平面.
又点E为棱的中点，
所以有.
因为平面，平面，
所以有平面.
又，平面，平面，
所以平面平面.
又平面，
所以有平面.
（2）平面
由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面.
因为M为上的动点，平面，
所以，平面，
所以，平面.
题型三：证明面面平行
【例3】（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)过F点作平面平面交于点，交于点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
【解析】（1）连交于，因为底面为平行四边形，
所以为的中点，而为的中点，所以，
又平面平面；
所以平面；
（2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可得；
（ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明：
因为为上的点，且，所以在中，，所以，
由（1）知平面，因为平面，所以平面，
由（i）可知，因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以.
【变式3-1】（2025·高一·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值．
【解析】（1）分别是的中点，
，
又平面，平面，
所以平面．
（2）分别为中点，
故，
又，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
又由（1）知平面，且平面，，
平面平面．
（3）设三棱柱的底面积为，高为，则其体积为，
平面将三棱柱分割成三棱台和多面体两部分，
设三棱台的体积为，多面体的体积为，
因为分别为中点，所以，
则，
，
又，所以，，
故．
【变式3-2】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
(3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）．
【解析】（1）在正方体中，连接，由分别是的中点，
得，由四边形为正方体的对角面，
得四边形是矩形，则，因此，
所以，，，四点共面.
（2）连接，
由，分别是，的中点，得，
又平面，平面，则平面，
而，且，则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，因此平面，
又平面，所以平面平面．
（3）过作直线交的延长线分别于，
连接分别交于，连接，
由，得，直线平面平面平面
因此五边形是平面截正方体所得截面，如图，
所以是平面与正方体侧面的交线.
题型四：证明线线垂直
【例4】如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若平面交于点．求证：．
【解析】（1）因为平面，平面，所以．
因为为矩形，所以，
而，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又，，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又，，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
（2）因为平面，平面，所以．
又，，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又由（1）有平面，平面，所以，
而，平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
【变式4-1】（2025·高二·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)证明：.
【解析】（1）因底面，则为四棱锥的高，
因，正方形的边长为，
则四棱锥的体积为；
（2）连接，且，连接，
因四边形为正方形，则为线段的中点，
又为侧棱的中点，则为的中位线，则，
因平面，平面，则平面；
（3）因四边形为正方形，则，
又平面，平面，则，
因，平面，平面，则平面，
又平面，则.
【变式4-2】在四面体中，已知，，求证：．
【解析】如图，作平面于点，连接，，，
则，，分别为，，在平面上的射影．
因为，又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，又平面，
所以，同理可证，
所以是的垂心，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，又平面，
所以．
题型五：证明线面垂直
【例5】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.
(1)求证： 平面；
(2)求证： 平面
(3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值.
【解析】（1）如图：取的中点，连接，
则，且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，平面，所以平面.
（3）如图：取的中点，连接，
则，由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.
又平面，所以，
因为，又，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式5-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面．
(1)求证：平面；
【解析】（1）因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
【变式5-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求证：平面.
【解析】（1）
取中点，连接，
因为是的中点，是的中点，，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为，
因为面，面，所以，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）
设，
因为，所以，
所以，所以，
所以，即，
因为面，面，所以，
又因为平面，，所以平面.
题型六：证明面面垂直
【例6】（2025·高一·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，证明
【解析】（1）因为底面，平面，所以．
因为为正方形，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，为线段的中点，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）因为底面为正方形，所以
又∵面，面，∴面，
又因为，所以.
【变式6-1】（2025·高一·天津西青·期中）如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点.
(1)求证: 直线平面
(2)求证：平面 平面
(3)求与平面所成的角的正切值.
【解析】（1）
设，连接，
在三棱柱中， 底面，且为正三角形，
三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形，
为的中点，又为的中点，在中有，
平面，平面，平面；
（2）连接，
底面，平面， ，
又为正三角形，为的中点，，
又，又平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
（3）由（2）可知平面，即为在平面内的射影，
即为与平面所成的角，
三棱柱为正三棱柱，且，
，，
.
【变式6-2】如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面．
【解析】连接交于点，连接．因为四边形是菱形，
所以，且为的中点．
因为，所以．
又因为，平面，且，所以平面．
而平面，所以平面平面．
题型七：平行、垂直探索性问题
【例7】（2025·高一·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.

(1)求证：底面为梯形；
(2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因，，
则为线段靠近点的三等分点，为线段靠近点的三等分点，
则，
又平面，平面，则平面，
又因四点共面，则平面，平面平面，
则，则，
又，所以底面为梯形.
（2）存在，为上靠近点的三等分点，证明如下：
连接，，因为上靠近点的三等分点，则,
因且，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因平面，平面，则平面，
因，平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面平面，
因为上的动点，则平面，则平面.
【变式7-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，．
(1)求证：平面；
(2)若点F在棱上且满足，平面，求的值．
【解析】（1）取的中点，连接.
因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，.
又因为平面，平面，所以平面
又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到，
又因为平面，平面，所以平面.
并且，平面，则平面平面，且平面，
所以平面.
（2）连接交于点，连接.
因为，所以.由，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得.
因为平面，平面，平面平面，
根据直线与平面平行的性质所以.
所以在中，.
因为，则.
又因为，即，所以.
【变式7-2】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以，
又因为M是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，
点M为的中点，所以，，
所以，
，
设点A到平面的距离为h，则，
所以，解得，
所以点A到平面的距离为.
（2）由（1）可知平面，
因为平面，则平面平面，
在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有，
平面平面，平面，
因此平面，
于是点Q即为所要找的点，
在和中，，即，
所以，因此，
即有，于是，所以.
【强化训练】
1．如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面，求动点的轨迹长度.
【解析】由平面，在经过点且与平面平行的平面上，
取中点M，取中点N，连接，MN，，ME，，
由且，则四边形是平行四边形，
，平面，平面ABE上，则平面；
因为且，则，
又平面，平面，则平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面正方形，F的轨迹是线段MN，
由，
所以.
2．（2025·高一·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离.
【解析】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题设，
在中，，，
得，
，
，
设点B到平面的距离为h，又，
所以，则，从而.
3．（2025·高一·浙江丽水·期中）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
【解析】（1）证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，
在中，因为分别为的中点，所以，
又因为面，且面，所以平面；
（2）在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为,
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为.
4．（2025·高一·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)设平面交平面于直线，求证：．
【解析】（1）连接，，，，
四边形是平行四边形，
为的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
平面．
（2）连接，
分别是的中点，，
又平面平面，
平面.
又是的中点，是的中点，
平面平面，
平面．
又在平面内相交于点H，所以平面平面，
又平面，
平面．
（3）因为，平面平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面直线，
所以；
5．（2025·高一·北京顺义·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若 求直三棱柱的体积和表面积；
【解析】（1）如图，取的中点，连接，
因为为的中点， 所以，，
因为四边形为平行四边形，为的中点，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，即，由勾股定理的逆定理可知，
且在直三棱柱中，为高，由三棱柱的体积公式可得体积，
表面积为5个面面积之和.
6．（2025·高一·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【解析】（1）在上取一点，使得,
由于，因此,且，
由于，，，故,
因此且，故四边形为平行四边形，
故,
平面,平面,
故平面
（2）由于，平面, 平面,
故平面,
又平面，平面平面，
所以
7．（2025·高一·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，且，求三棱锥的高.
【解析】（1）取的中点，连接,
因为分别为中点，所以且，
因为，所以，
因为为中点，所以且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，且，所以，;
所以的面积为，
设三棱锥的高为，则,
，解得，即三棱锥的高为.
8．（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求证：直线三线共点．
【解析】（1）连接，
由于分别是线段的中点，所以，
又正方体中，，故，平面平面，
故直线平面．
（2）.
（3）由于且，故直线相交，设交于，
则，
同理可得直线相交于点，则，
故与重合，故直线三线相交于点O，
故直线三线交于一点．
9．（2025·高一·山西·期中）如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点.
(1)设平面平面平面，证明：三点共线；
(2)证明：平面.
【解析】（1）因为平面，所以，
又平面，所以平面，
又因为平面，
所以点在平面与平面的交线上，
同理可得点、也在平面与平面的交线上，
因为平面与平面不重合且不平行，
所以平面与平面的交线唯一，
所以三点共线；
（2）因为、分别是棱、上分别靠近、的三等分点，为棱的中点，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面.
10．（2025·高一·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：面；
(2)求证：面；
(3)当平面时，面与交于，求的值．
【解析】（1）由为正三角形且可知.
又因为，且，在中，由余弦定理得
，
所以，所以，所以，即.
所以，又因为平面，平面，
所以面.
（2）因为，平面，平面，所以面.
又面，面面，所以.
又面，面，所以面.
（3）
设，如图，连接交于点，连接.
因为平面，平面，平面平面，所以.
在梯形中，，，，
所以有，所以.
因为，所以有，所以．
因为面与交于，面与交于，，
所以有平面平面.
又面，面，所以.
又，所以，，
所以，.
设梯形高为，则.
由，可知，所以.
又四棱锥与三棱锥高相等，
所以．
所以有．
11．（2025·高一·福建厦门·期中）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）取的中点，连接，
因、分别为、的中点，所以，
又，则，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，则平面．
（2）因平面，平面，所以，
因，，所以，
又，则平面，
又平面，则，
由，，得，
设点到平面的距离为，连接.
则，即，
即，解得，
则点到平面的距离为．
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