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专题11 线线角、线面角、二面角、距离、体积问题
【题型归纳目录】
题型一：线线角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：点面距、线面距、面面距
题型五：锥体体积问题
【知识点梳理】
考点一：求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
考点二：异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
考点三：直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
考点四：作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
考点五：求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典型例题】
题型一：线线角
【例1】（2025·高一·江苏南通·期中）已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥底面圆上的一点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【解析】过作，交底面圆周于，故异面直线与所成角，即为，
若底面半径为，轴截面是正三角形，，
则，，故．
故答案为：
【变式1-1】（2025·高一·湖南湘潭·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ．
【答案】
【解析】将平面展开图复原为如图所示的正方体：
设正方体的棱长为，连接，则，
由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形，
故，故与所成的角即为或其补角，而，
故与所成的角为，
故答案为：．
【变式1-2】如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【解析】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体．
如图所示．取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道．
则为直线 与 所成角或补角．
连接，．根据正方体性质，知道．
，
，
，
，
在中，由余弦定理可得，，
则直线 与 所成角的余弦值为．
故答案为：．
题型二：线面角
【例2】（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，其中，
(1)证明：；
(2)求直线与平面的所成角的正弦值．
【解析】（1）
因为，
由余弦定理可得：，
所以，即，
所以，又，可得：，
又，为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，在平面内，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，在平面，
所以；
（2）由（1）平面，在平面内，
所以，
又，
所以，
则，所以，
所以，
设到平面的距离为，
由等体积法：，
可得，
解得：，
又，在平面内，在平面外，
所以平面，
所以到平面的距离为，
所以直线与平面的所成角的正弦值为
【变式2-1】（2025·高二·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
(1)求证：;
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
【解析】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面=，所以.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
得到，且，在中，，
又，得，所以，
在中，，，，所以，
所以，即，
又因为四边形是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，则，，
由（1）知，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
由（1）知平面，又平面，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，故平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，故是直线与平面所成的角，
在中，，所以直线与平面所成角的正切值为.
【变式2-2】（2025·高二·浙江温州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）如图所示，取中点，连接，，
由四边形为菱形，且，
得，，
又，
，
，
，，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）如图所示，过点作，垂足，连接，
由（1）得平面平面，平面平面，，平面，
∴平面.
∵平面,
，.
又，平面，且，
平面.
∵平面，
平面平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
题型三：二面角
【例3】（2025·高一·河南新乡·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱，，且分别为, 的中点.
(1)证明：平面；
(2)若.
（i）求和的长；
（ii）求二面角的大小.
【解析】（1）如图，取的中点，连接.
∵为的中点，且侧面为矩形，∴.
∵平面，平面，∴平面.
∵为的中点，∴是的中位线，故.
∵平面，平面，∴平面.
∵，且平面，∴平面平面.
∵平面，∴平面.
（2）（i）∵，且，
∴，且，
故，.
（ii）如图，过点作于，过作于点，连接，
由（1）知平面平面，
∴二面角的大小即为二面角的大小.
在直三棱柱中，侧面底面，侧面底面，平面，且，
∴平面.
∵平面，平面，∴，.
∵，，平面，∴平面.
∵平面，∴，
∴为二面角的平面角.
∵，，
∴在中，，∴，
∴二面角的大小为.
【变式3-1】（2025·高三·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
【解析】（1）如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
（2）如图，延长交的延长线于点，
延长交的延长线于点，
连接，，，则点在上．
不妨设正方体的棱长为，
则，，，，
所以是的中点，
所以，，
所以是平面与平面的夹角．
因为平面平面，
所以，所以．
【变式3-2】（2025·高一·四川·期末）如图，在三棱锥中，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求二面角的正弦值．
【解析】（1）在中，，
由余弦定理，
即，解得，
所以，即，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）因为平面，又平面，所以，
又，所以为二面角的平面角，
取的中点，连接，因为，所以，
又，所以，
所以，所以二面角的正弦值为.
题型四：点面距、线面距、面面距
【例4】（2025·高一·广西·期中）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）在直三棱柱中，连接，
由，四边形是矩形，得是的中点，而点D是棱的中点，
则，又平面，平面，
所以平面.
（2）依题意，，点D是棱的中点，得，
由平面，平面，得，
而平面，则平面，
又平面，因此平面平面，且平面平面，
在平面内过点作于，则平面，
即长是点到平面的距离，在中，，
，因此，
所以点到平面的距离为.
【变式4-1】（2025·高一·广东广州·期中）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.

(1)求证：为的中点；
(2)求到平面的距离.
【解析】（1）

依题意连接，
则，又平面，平面，
则平面，
因为与平面交于点，
即平面平面，
则，所以，
又为中点，可得为的中点.
（2）

连接，
因为正方体的棱长为2，
在中，，则，
在中，则，
又，
在中，由余弦定理，，
则，于是，
因为，即，
所以，
即到平面的距离为.
【变式4-2】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)求直线到平面的距离.
【解析】（1）因为底面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，是侧棱的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面.
（2）
连，，两直线交于点，连，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又分别是的中点，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为为正方形，且，
所以，，
，
故，，，
即是正三角边，
所以.
所以异面直线与所成的角为.
（3）因为，平面，平面，所以平面，
则直线到平面的距离等于点到平面的距离，
又底面，平面，所以，
又底面为正方形，，
，平面，所以平面，
且平面，所以，则，
则，
设点到平面的距离为，
由可得，
即，解得，
所以直线到平面的距离为.
题型五：锥体体积问题
【例5】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长．
【解析】（1）由正方体特征知，
（2）如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形．
因为为的中点，为的中点，
所以，，
所以，，
所以，
，
，
即截面周长为．
【变式5-1】（2025·高一·浙江·期中）如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且.
(1)若，求的值；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若，求此三棱锥的高.
【解析】（1）设，
∵F，D，C三点共线，故①，
同理，
∵A，F，E三点共线，故②，
由①②可得，，故，
故F为中点，故，即.
（2）连接，，平面，∴平面
又平面，且平面平面，∴
连接，
在和中，，且，
故，故，故，
又F为中点，故M为中点，
；
（3），当时，取到等号，
在中，设，，，边上的高为，
则，
则，则，
故，
又，故，当且仅当时取到最大值.
设三棱锥的高为H，则，则，
当，且时取等号，故三棱锥的高为.
【变式5-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.
(1)求证：平面平面ABC.
(2)求四面体ACMN的体积.
(3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
【解析】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，同理得平面ABC，
又平面PMN，平面PMN，，
所以平面平面ABC.
（2）如图所示：
设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.
所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以.
，圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体ACMN的体积为.
（3）如图所示：
在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，
理由如下：
取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，
所以，.
取CB的四等分点G，使，连接GE，FG.
因为，所以，，
所以，，所以四边形DFGE是平行四边形，
所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
【强化训练】
1．（2025·高二·广东深圳·期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【解析】如图：
取的中点，连接，，因为，故即为异面直线与所成的角．
在中，，，
由余弦定理：．
故答案为：
2．（2025·高二·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】如图，取的中点F，连接EF，，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
故（或其补角）为异面直线与所成角．
设正方体的棱长为，在中，，
由余弦定理得，
3．（2025·高二·湖南·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求四棱柱被平面截得的截面周长；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
【解析】（1）因为四边形是菱形，，为的中点，所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）因为平面，
所以平面与平面的交线与平行，所以交线为，
连接，，，
则四棱柱被平面截得的截面为四边形，
，，
，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形的周长为.
（3）过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以点在平面上的射影必在上，所以直线与平面所成角为，
因为，，，，
所以，
所以，即直线与平面所成角的正切值为.
4．（2025·高一·浙江·期中）如图，在三棱台中，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．）
【解析】（1）证明：在中，由正定理可得，
由于为锐角，故，故，所以
由所以．
又，所以，
所以，
取中点，连接，则，平面，
故平面平面，
由三棱台的性质可知，所以．
（2）由三棱台的性质可知，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角．
由平面，平面，可知平面平面，且两平面的交线为，
作，连接，则即为直线与平面所成角．
在中，，
余弦定理可得，
故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）取中点，连接，平面，
故平面，平面，所以平面平面，
故平面时，到平面距离最大．
可以算得
，平面，
故平面
故．
5．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．
(1)若，求：向量在向量上的投影向量的模；
(2)当，且时，四棱锥是否有外接球 若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．
(3)若，且，求二面角的正切值．
【解析】（1）因为平面ABCD，而平面ABCD，所以，
又，，PB，平面，
所以平面，而平面，
所以．
因为，所以，根据平面知识可知，
结合平面PAB，可知平面，平面，所以，
故在向量上的投影向量的模即为向量的模长1．
或者利用是和的夹角，在中，，，，，故向量在上的投影向量的模为．
（2）“当，且时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体，体对角线长度为，
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积；
（3）如图所示，过点D作于E，过点E作于点F，连接DF，
因为平面ABCD，平面，所以平面平面，
而平面平面，平面，所以平面，
平面，所以，
又，平面，所以平面DEF，
平面DEF，故,
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
因为，，，则，
在中由等面积法可得，，
所以在中，，而为等腰直角三角形，所以，
故．
6．（2025·高一·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.
(1)若为的中点，求三棱锥的体积；
(2)若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.
（2）
存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.
（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
7．（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，M为PC的中点.
(1)若平面PBC与平面PAD的交线为，求证：；
(2)求证：平面平面BDM.
(3)若，求二面角的正切值．
【解析】（1）由题设，平面，平面，
所以平面，又平面平面，面，
所以；
（2）连接，，交于点，连结，
四棱锥的底面是菱形，
，是中点，
是中点，
，
平面，
平面，
平面，
，
，平面，
平面，
平面，
平面平面
（3）过作，连接,
由（2）知平面，平面，故，
平面，故平面，
平面，故，
故为二面角的平面角，
，平面，，
， ，
故，
故，
，
故,则，
故，
故，二面角的正切值为．
8．（2025·高一·湖北·期末）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧面是矩形，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)试在平面内确定一点，使得平面，并求出线段的长度
【解析】（1）由为等腰直角斜边的中点，得.
在三棱柱中，，所以，
所以，即.
因为侧面是矩形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）连接交于点，连接，
因为，所以.
由（1）知平面，又，所以平面，
因为平面，所以，所以，
所以.又平面平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
所以二面角为直二面角，余弦值为0
（3）在平面内过点作，垂足为，
由（2）可知，平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，
在中，，所以，
则，由（1）知平面，平面，
所以，则，
由，得，
解得.
9．（2025·高一·北京西城·期末）如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）如图所示，
根据题意，，且平面，
则平面，平面，则.又已知.
，平面，则平面.
（2）如图所示，连接.设点到平面的距离．
由翻折前状态，可知.
由（1）知道，，则，则．
由（1）知道，，.
由平面.等体积法知道.
即.
代入化简得到，则，则点到平面的距离.
（3）存在，.
如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接.
由于点为线段的中点，则，.
又．则，，则四边形为平行四边形．
则，平面，平面，则平面.
此时．
10．（2025·高一·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求点到平面的距离.
【解析】（1）因为，，为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）连接，因为，，为的中点，
则，所以四边形为菱形，所以，
又，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（3）因为平面，平面，
所以，，，又，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，
所以为等腰直角三角形，
所以，又，，，
所以，又平面，平面，所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，
即，解得，即点到平面的距离为.
11．（2025·高一·广东江门·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
【解析】（1）因为为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
由（1）知为平行四边形，可得，
又，所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，，
，因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以是三棱锥的高，
又，而，
又，得到，
所以，
设点到的距离为，
则， 解得，
所以点到的距离为.
12．（2025·高一·山东菏泽·期中）请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题：
(1)一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
(2)已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积.
【解析】（1）设正方体的棱长为，圆柱底面半径为，母线长为，
则且，故，，
故正方体的体积与圆柱的体积之比为.
（2）
如图，连接，则，
由侧棱长为可得正四棱台的高为，
故该棱台的体积为.
13．（2025·高一·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
【解析】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长，
由，可得，即母线，
在中，由余弦定理可得
所以爬行的最短路程为；
（2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，
从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，
又圆锥的表面积为，
所以剩下几何体的表面积，
剩下几何体的体积为.
14．如图所示，在四边形中，，，
(1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积；
(2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积.
【解析】（1）由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
过点作，垂足分别为，如下图所示：
易知，所以，
又，所以，可得；
故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
母线长；高，母线长，
所以圆台的侧面积为，
圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为，
所以几何体的表面积为．
（2）易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
即，
所以几何体的体积为．
15．（2025·高一·山东济宁·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）.


(1)求正三棱锥的体积；
(2)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.
（i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积；
（ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积.
【解析】（1）已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形.可得.
因为点是的中心，在正三角形中，.
在中，根据勾股定理，，，则.
根据三棱锥体积公式，可得.
（2）（i）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径.
设球心为，为中点，求到平面的距离：
为中心，，则到平面的距离.
设截面圆的半径为，根据勾股定理.
根据圆的面积公式，可得截面面积.
（ii）设较小部分为球缺，利用祖暅原理，推导球缺体积公式.
设球半径为，球缺高为.
构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥.
对于球缺，在距离球缺底面（）处，由勾股定理可知截面半径，
此截面面积.
对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是，
圆锥在该高度处截面半径与高度成正比，其截面面积为，
所以组合体在该高度处截面面积.
可见在任意相同高度处，球缺和组合体的截面面积相等.
圆柱体积，圆锥体积，
组合体体积，故球缺体积也是.
先求球缺的高.根据球缺体积公式将，代入可得：
.
16．（2025·高一·山东临沂·期中）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为16cm，两底面面积分别为和，求：
(1)圆台的高；
(2)圆台的体积；
(3)截得此圆台的圆锥的表面积．
【解析】（1）圆台所在圆锥的轴截面如图：
∵圆台的上底面面积为，∴上底面圆的半径，
∵圆台的下底面面积为，∴下底面圆的半径，
∴，∴圆台的高.
（2）∵上下底面的面积为，，
∴
（3）设圆锥的母线长为x，圆台的母线长，
由上图可知即，解得，
∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积为，
∴圆锥的表面积．
17．（2025·高一·湖南·期中）如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
【解析】（1）由，可得，
则，
则该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的．
所以，该几何体的体积为．
（2）由题及（1）可得，，
则该几何体的表面积为．
18．（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比．
【解析】（1）由题意，,为等边三角形，
故为等边三角形，,,
在三棱台中，
故,且，
所以四边形为平行四边形，
所以,
因为平面，平面，
所以平面，
又因为,,
且,
所以相似于,
所以,
因为平面，平面，
所以平面，
因为,平面,平面,
所以平面平面.
（2）设三棱台的高为，
则，
，
所以，
，
所以，
所以.
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专题11 线线角、线面角、二面角、距离、体积问题
【题型归纳目录】
题型一：线线角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：点面距、线面距、面面距
题型五：锥体体积问题
【知识点梳理】
考点一：求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
考点二：异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
考点三：直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
考点四：作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
考点五：求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典型例题】
题型一：线线角
【例1】（2025·高一·江苏南通·期中）已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥底面圆上的一点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【变式1-1】（2025·高一·湖南湘潭·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ．
【变式1-2】如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 ．
题型二：线面角
【例2】（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，其中，
(1)证明：；
(2)求直线与平面的所成角的正弦值．
【变式2-1】（2025·高二·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
(1)求证：;
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
【变式2-2】（2025·高二·浙江温州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型三：二面角
【例3】（2025·高一·河南新乡·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱，，且分别为, 的中点.
(1)证明：平面；
(2)若.
（i）求和的长；
（ii）求二面角的大小.
【变式3-1】（2025·高三·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
【变式3-2】（2025·高一·四川·期末）如图，在三棱锥中，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求二面角的正弦值．
题型四：点面距、线面距、面面距
【例4】（2025·高一·广西·期中）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【变式4-1】（2025·高一·广东广州·期中）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.

(1)求证：为的中点；
(2)求到平面的距离.
【变式4-2】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)求直线到平面的距离.
题型五：锥体体积问题
【例5】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，
(1)求四棱锥的体积；
(2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长．
【变式5-1】（2025·高一·浙江·期中）如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且.
(1)若，求的值；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若，求此三棱锥的高.
【变式5-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.
(1)求证：平面平面ABC.
(2)求四面体ACMN的体积.
(3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
【强化训练】
1．（2025·高二·广东深圳·期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
2．（2025·高二·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
3．（2025·高二·湖南·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求四棱柱被平面截得的截面周长；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
4．（2025·高一·浙江·期中）如图，在三棱台中，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．）
5．（2025·高一·安徽宣城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．
(1)若，求：向量在向量上的投影向量的模；
(2)当，且时，四棱锥是否有外接球 若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．
(3)若，且，求二面角的正切值．
6．（2025·高一·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.
(1)若为的中点，求三棱锥的体积；
(2)若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
7．（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，M为PC的中点.
(1)若平面PBC与平面PAD的交线为，求证：；
(2)求证：平面平面BDM.
(3)若，求二面角的正切值．
8．（2025·高一·湖北·期末）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧面是矩形，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)试在平面内确定一点，使得平面，并求出线段的长度
9．（2025·高一·北京西城·期末）如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．（2025·高一·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求点到平面的距离.
11．（2025·高一·广东江门·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
12．（2025·高一·山东菏泽·期中）请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题：
(1)一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
(2)已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积.
13．（2025·高一·浙江·期中）圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
(1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
(2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
14．如图所示，在四边形中，，，
(1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积；
(2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积.
15．（2025·高一·山东济宁·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）.


(1)求正三棱锥的体积；
(2)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.
（i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积；
（ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积.
16．（2025·高一·山东临沂·期中）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为16cm，两底面面积分别为和，求：
(1)圆台的高；
(2)圆台的体积；
(3)截得此圆台的圆锥的表面积．
17．（2025·高一·湖南·期中）如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
18．（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比．
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