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专题13 灵活玩转概率
【题型归纳目录】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
题型二：互斥事件、对立事件的判断
题型三：独立事件的判断
题型四：古典概型
题型五：独立事件概率的计算
题型六：概率的综合应用
【知识点梳理】
1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
【典型例题】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
【例1】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ）
A．① B．② C．③ D．①②
【答案】A
【解析】①是必然事件；②是随机事件；
③时，，无解，故③是不可能事件．
故选：A．
【变式1-1】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　）
A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发
【答案】B
【解析】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发.
故选：B.
【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，
对于A，有，故A正确；
对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确；
对于C，成立，故C正确；
对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确．
故选:D．
题型二：互斥事件、对立事件的判断
【例2】（2025·高一·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立
【答案】D
【解析】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张，
则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥；
同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件，
故这两个事件不是对立事件.
故选：D.
【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ）
A． B．A与C相互独立
C．A与C互斥 D．B与C互斥
【答案】B
【解析】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，
有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36个不同结果，
对于A，事件为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误；
对于B，事件为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则，
事件，即包含3个结果，则，
则有，事件、相互独立，B正确．
对于C，事件、可以同时发生，故不互斥，C错误；
对于D，事件、可以同时发生，不互斥，D错误；
故选：B．
【变式2-2】（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
【答案】D
【解析】根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况，
易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，
故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．
故选：D．
题型三：独立事件的判断
【例3】（2025·高一·江苏南京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
【答案】D
【解析】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；
第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为，故，
两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为，
故，
同时发生的事件包含样本点为，故，
所以，即不相互独立，故C错误；
两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为，故，
同时发生的事件包含的样本点为，故，
所以，即A与C相互独立，故D正确.
故选：D
【变式3-1】（2025·高一·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立
【答案】B
【解析】对于A，，所以与事件B可以同时发生，故A错；
对于B，
,
,所以事件A与事件B相互独立，故B正确；
对于C ，
,所以事件A与事件C不对立，故C错误；
对于D，由图可知，所以，所以，所以事件A与事件C不相互独立，故D错误；
故选：B.
【变式3-2】（19-20高一下·全国·课后作业）若，则事件与事件的关系是（ ）
A．事件与事件互斥
B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件互斥又独立
【答案】C
【解析】对于A,D两项，由可知事件与事件能同时发生，则两者不互斥，故A,D错误；
对于B，由，得，又，
则，
即事件与事件不是互为对立事件，故B错误；
对于C，由上分析，可得,故事件与事件相互独立，即C正确.
故选：C.
题型四：古典概型
【例4】（2025·高一·辽宁·期中）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 .
【答案】
【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3，
若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3，
若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5，
故所求概率为.
故答案为：.
【变式4-1】（2025·高一·北京·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为 .
【答案】/0.9
【解析】学校要从甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板中随机选取3种作为教学工具,总共有10种，
即甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊.
“甲、乙、丙中至多有2种被选取”的对立事件为“甲、乙、丙3种被选取”,
对立事件的情况数只有１种，则概率为.
则 “甲、乙、丙中至多有2种被选取”的概率.
故答案为：.
【变式4-2】（2025·高一·陕西榆林·期末）已知甲、乙、丙三名同学站在一排进行拍照，则甲在中间的概率 .
【答案】
【解析】已知甲、乙、丙三名同学站在一排，则有：
（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），
共6个基本事件，
设甲在中间为事件A，则有（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），共2个基本事件，
所以.
故答案为：.
题型五：独立事件概率的计算
【例5】甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 .
【答案】
【解析】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件.
设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件，
则
故答案为：
【变式5-1】如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为 .

【答案】0.775/
【解析】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率，
开关在某段时间正常工作的概率，
这段时间内线路正常工作的概率为：.
故答案为：0.775.
【变式5-2】（2025·高一·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 .
【答案】
【解析】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为.
故答案为：
题型六：概率的综合应用
【例6】（2025·高一·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．
【解析】（1）乙盒中的4个函数
，，，分别记为，
从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种，
又函数，的定义域均为，函数的定义域为，
函数的定义域为，
所取函数的定义域不同的取法有，共5种，
所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为．
（2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，
则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），
（偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），
（增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4），
共16种取法．
又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，
恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种，
所以“奇遇”的概率为．
【变式6-1】已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为.
(1)求事件和事件同时发生的概率.
(2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率.
(3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率.
【解析】（1）由概率的加法公式，可得，
则.
（2）因事件是事件的对立事件，则，
依题意，事件与事件互斥，则，
即，解得.
（3）因事件是事件和事件的交集的对立事件，
则.
【变式6-2】（2025·高一·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额.
(1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率；
(2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由.
【解析】（1）因为，即只摸次球，
红包总金额不高于元，即为元或元，
从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为，
故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为.
（2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”，
因为，所以.
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
所以；
事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，
因为，所以，
所以，
所以事件不相互独立.
【强化训练】
1．（2025·高一·江苏南京·期末）从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立
【答案】D
【解析】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知：
样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），
则，
事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，；
事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，；
事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件AC：（甲，乙），则，；
对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误；
对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误；
对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确；
故选：D.
2．（2025·高一·山西长治·期末）从一个三棱锥的6条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为 ．
【答案】/
【解析】如图：从三棱锥的6条棱中任取2条,所有的基本事件有：共15种，
互为异面直线的有共3种，
故概率为，
故答案为：
3．（2025·高一·安徽芜湖·期末）有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是 .
【答案】
【解析】首先，我们把编号为1的红球记为，编号为2的红球记为，
编号为1的黑球记为，编号为2的黑球记为，
则基本事件总数为种，符合条件的有，共4种，
且设概率为，则.
故答案为：
4．（2025·高一·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ．
【答案】
【解析】事件空间： .
故答案为：.
5．（2025·高一·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ．
【答案】/
【解析】记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件，
抛掷两枚质地均匀的骰子，所以可能结果有个，
其中事件包含的基本事件有：，，，，，，
，，共个，
所以.
故答案为：
6．（2025·高一·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ．
【答案】/0.6
【解析】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为，
从中1次随机摸出2个球，共有：
，共15种基本事件，
其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种，
故所求概率．
故恰有一球是黄球的概率为：．
故答案为：．
7．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ．
【答案】/
【解析】从这5个数中任取2个数的所有情况有：
，10种情况，
其中两个数的之积大于5 的有，6种情况，
所以所求概率为，
故答案为：
8．（2025·高一·福建福州·期末）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则两人中恰有一人投中的概率为 .
【答案】0.26/
【解析】由题意可得甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，
所以两人中恰有一人投中的概率为
故答案为：0.26
9．（2025·高一·湖北武汉·期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ．
【答案】
【解析】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为，
所以甲得分不超过乙得分的概率为.
故答案为：
10．（2025·高一·新疆·期末）现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次，则目标被击中的概率为.已知一枚甲型导弹击中目标的概率是，且甲 乙两种导弹是否击中目标互不影响，则一枚乙型导弹击中目标的概率是 .
【答案】/0.8
【解析】设一枚乙型导弹击中目标的概率是，由题意知，解得.
故答案为：
11．（2025·高一·甘肃酒泉·期末）某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为
【答案】
【解析】记事件“甲专家独立解决”，事件“乙专家独立解决”，
则，而相互独立，即，
所以，即问题被解决的概率为.
故答案为：
12．（2025·高二·云南普洱·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求a值和该样本的第75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.
【解析】（1）由题意可得：，
解得：；
因为，，
所以该样本的第百分位数在区间，
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
，
解得：，
即该样本的第百分位数为.
（2）因为，
故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为.
（3）采用分层抽样从和抽取名同学，
因为，
则应在成绩为的学生中抽取人，记为，；
在成绩为的学生中抽取人，记为，，；
再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果，
，，，，，
，，，，共种可能结果；
其中在，各一人的共种；
所以所求概率，
则这名同学分数在，各一人的概率为.
13．（2025·高二·四川成都·期中）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率.
【解析】（1）第七组频率为；
（2）平均数为,
前4组的频率和为，第4组频率为，中位数在第4组，
设中位数为，
则，解得；
（3）由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为，
任选2人，样本空间为，有15个样本点，
其中两名男生在同一组的样本点为共7个
所以所求概率为．
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专题13 灵活玩转概率
【题型归纳目录】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
题型二：互斥事件、对立事件的判断
题型三：独立事件的判断
题型四：古典概型
题型五：独立事件概率的计算
题型六：概率的综合应用
【知识点梳理】
1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
【典型例题】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
【例1】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ）
A．① B．② C．③ D．①②
【变式1-1】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　）
A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发
【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：互斥事件、对立事件的判断
【例2】（2025·高一·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立
【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ）
A． B．A与C相互独立
C．A与C互斥 D．B与C互斥
【变式2-2】（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
题型三：独立事件的判断
【例3】（2025·高一·江苏南京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
【变式3-1】（2025·高一·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立
【变式3-2】（19-20高一下·全国·课后作业）若，则事件与事件的关系是（ ）
A．事件与事件互斥
B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件互斥又独立
题型四：古典概型
【例4】（2025·高一·辽宁·期中）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 .
【变式4-1】（2025·高一·北京·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为 .
【变式4-2】（2025·高一·陕西榆林·期末）已知甲、乙、丙三名同学站在一排进行拍照，则甲在中间的概率 .
题型五：独立事件概率的计算
【例5】甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 .
【变式5-1】如图，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为 .

【变式5-2】（2025·高一·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 .
题型六：概率的综合应用
【例6】（2025·高一·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．
【变式6-1】已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为.
(1)求事件和事件同时发生的概率.
(2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率.
(3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率.
【变式6-2】（2025·高一·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额.
(1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率；
(2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由.
【强化训练】
1．（2025·高一·江苏南京·期末）从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立
2．（2025·高一·山西长治·期末）从一个三棱锥的6条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为 ．
3．（2025·高一·安徽芜湖·期末）有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是 .
4．（2025·高一·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ．
5．（2025·高一·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ．
6．（2025·高一·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ．
7．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ．
8．（2025·高一·福建福州·期末）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则两人中恰有一人投中的概率为 .
9．（2025·高一·湖北武汉·期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ．
10．（2025·高一·新疆·期末）现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次，则目标被击中的概率为.已知一枚甲型导弹击中目标的概率是，且甲 乙两种导弹是否击中目标互不影响，则一枚乙型导弹击中目标的概率是 .
11．（2025·高一·甘肃酒泉·期末）某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为
12．（2025·高二·云南普洱·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求a值和该样本的第75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.
13．（2025·高二·四川成都·期中）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率.
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