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专题08立体几何中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：截面问题
题型二：面积、周长问题
题型三：体积问题
题型四：长度问题
题型五：线段和最值问题
题型六：角度问题
【知识点梳理】
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
【典型例题】
题型一：截面问题
【例1】（2025·高一·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与直线所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
【答案】D
【解析】在棱长为2的正方体中，为线段的中点，
对于A，，平面，平面，则平面，
则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确；
对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，
当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确；
对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确；
对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
其中上底，下底，腰为，则梯形高为，
所以等腰梯形的面积为，D错误.
故选：D
【变式1-1】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为.
故选：A.
【变式1-2】（多选题）（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ）

A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
【答案】ACD
【解析】对于A，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，故A正确；
对于B，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B错误；
对于C，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，
又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长，
且，故C正确；
对于D，，又设圆锥的内切球的圆心为，半径为，球与圆锥侧面相切于,则,
则，即，解得,故D正确.
故选：ACD.
题型二：面积、周长问题
【例2】如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：
①四边形的周长为定值；
②四边形的面积为定值；
③四边形为矩形；
④四边形的面积有最大值1．
则其中正确的结论 ．
【答案】①③④
【解析】因为平面，平面平面，平面，
所以，同理可证，所以；
又平面，平面平面，平面，
所以，同理可证，所以；
所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确；
由相似三角形的性质得，所以，，所以，
所以四边形的周长为定值，所以①正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确.
故答案为：①③④.
【变式2-1】（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切，
设圆的半径为，则，
因为，所以，
作，，因为，所以，
而，由勾股定理得，
则，且，
而，
即得到，解得，
则该球的表面积的最大值为，故B正确.
故选：B
【变式2-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）

A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，则，解得，
因为AD⊥平面ABC，，
所以三棱锥的外接球，即为以为棱的长方体的外接球，
故，其中，故，
三棱锥（以A为顶点）的侧面积为
，
由基本不等式得，故，
当且仅当时，等号成立，
，
故，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：B
题型三：体积问题
【例3】（2025·高一·天津和平·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为，，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16 B． C． D．8
【答案】D
【解析】设圆台的高为，母线长为，正方体的棱长为.
由题意可得，解得，则，
易得圆台的母线与下底面所成角为，所以可以将该圆台的轴截面补形为边长为的正三角形.
设该正三角形的内切圆半径为，则根据等面积法可得，解得,
又，该内切圆也为此圆台轴截面的内切圆，
圆台的内切球半径为.
该正方体可以在圆台内部任意转动，，解得，
所以当正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为.
故选：.
【变式3-1】（2025·高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 .
【答案】
【解析】设球的半径为，则球的体积为，
所以球体积取得最小值时，则球的半径最小.
设，则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H，
易知分别为的中点，且四点共圆，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图：
由条件知，
在中，由余弦定理可得
，
∴的外接圆直径，
当时，球的半径取得最小值.
故.
故答案为：
【变式3-2】（2025·河南郑州·二模）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）
A．平面
B．三棱锥体积的最大值为
C．三棱锥的外接球的表面积为定值
D．与平面所成角的范围是
【答案】D
【解析】对于A中，因为为正方形，可得，
又由，且平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大，
即三棱锥高的最大值为，
此时三棱锥的最大体积为，所以B正确；
对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为，
即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值），
所以C正确；
对于D中，如图所示，取的中点，分别连接，
因为分别为中点，可得且，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
因为，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
在折叠过程中，设的长度为，则
由为的中点，所以，
在直角中，可得，
所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为，
所以D错误.
故选：D.
题型四：长度问题
【例4】已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别作的中点，连接，如图，
易得，又平面，平面，故平面，
在正方体中，易得，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，
因为面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以动点在正方形的轨迹为线段，
在三角形中，，，
所以点到点的最大距离为，
最小距离为等腰三角形在边上的高为，
所以线段的长度范围为.
故选：D.
【变式4-1】（2025·高一·山东聊城·期中）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，分别作的中点,连接
显然,
且平面，；平面,
所以平面平面
平面平面
所以动点在正方形的轨迹为线段
在三角形中，，
所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为
故选：B
【变式4-2】（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，BP最小，由于，
所以为边长为的等边三角形，
到直线的距离，故A错误；
对于B，由已知四边形为正方形，所以，
由正方体性质可得平面，又平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，所以，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，
平面，到平面的距离为定值，
又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面，设与平面交于点，
则三棱锥的体积，
又，
，，，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故D正确．
故选：BCD.
题型五：线段和最值问题
【例5】（多选题）（2025·高一·河南洛阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点，使得平面平面
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，∵正方体的对面互相平行，
∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行，
又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G，
连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形，
且，
梯形的高，
面积为，故A正确；
过与平面平行的直线都在过与平面平行的平面内，
易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图所示1的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点，
由于不在平面内，∴平面与直线平行，
∴平面与线段没有公共点，故B错误；
∵，平面，不在平面内，
∴平面，
又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值，
∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确；
将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图2所示，
，
当共线时取等号，故D正确.
故选：ACD.
【变式5-1】（多选题）（2025·高一·山西·期中）如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体内切球的表面积为
B．若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C．若点是的外心，则
D．若动点满足，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为正方体的棱长为，则其内切球的半径，
内切球的表面积为，故A正确；
对于B，由条件可知，点的轨迹是以为球心，为半径的球的，
则的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为，故B错误；
对于C，因为是以为边长的等边三角形，
若点是的外心，即是的重心，
由重心定理可得，
则
，故C正确；
对于D，若动点满足，
由三点共线定理可知，三点共线，即点在线段上，
将平展在一个平面中，如图所示：
则，
故，
故的最小值为，故D 正确.
故选：ACD
【变式5-2】（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接.
由题易知：，，平面.
在中，，故，
所以是边长为2的等边三角形.
将展开到与共面，如图所示，
则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值.
在中，，，
由余弦定理可得：，
所以，
即的最小值为.
故选：A.
【变式5-3】（2025·高一·河北·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若是上的动点，则，，，四点共面
D．若是上的动点，则的最小值是
【答案】B
【解析】选项A，在正方体中，连接，，如图，，故共面，
连接，平面平面，因为为棱的中点，则平面，
而平面，即平面，又，则平面，
因与平面的交点为，则平面，于是得，即，，三点共线，
由，为棱的中点，可得且，故，
于是得，即，所以三点，，共线，且.
而与交于的中点，所以三点，，不共线，故A错误；
选项B，以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体的体积为，故B正确；
选项C，设直线与直线相交于点，直线在平面内，且不过点，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故C错误；
选项D，如图，将平面和平面展开到一个平面上，连接交于点，此时最小.
在中，，，由余弦定理可知.故D错误.
故选：B.
题型六：角度问题
【例6】如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把正三棱锥沿剪开，并展开，
形成三个全等的等腰三角形，，
连接，交于，交于，
则线段就是的最小周长，即，
又，
根据勾股定理，，
所以是等腰直角三角形，
，
所以侧棱的夹角为.
故选：A.
【变式6-1】（多选题）（2025·高一·福建·期末）已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为
B．若点在线段上运动，的最小值
C．若将正方体 视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器
D．若点P在 的内部及边界上运动，且m, 则动点P的轨迹长为 m
【答案】BCD
【解析】对于A中，在正方体中，可得，
所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即为
当点运动到点的位置时，此时，所以A不正确；
对于B中，在正方体中，把沿着展开，
使得与在同一平面上，其中为边长为的等边三角形，
为直角边为的等腰直角三角形，如图所示，
可得，则，
连接，在中，可得
，所以，
即的最小距离为，所以B正确；
对于C中，因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图所示，过的中点作，设，
可得，则，
即，解得，且，
以为轴可以对称放置底面直径为的圆柱，
若底面直径为的圆柱，与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆心为，与正方体的下底面的切点为，
可知，，则，
即，可得，
根据对称性可知圆柱的高，
所以底面直径为，高为的圆柱能够被整体放入正方体内，所以C正确.
对于D中，连接和，在正方形中，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，同理可证：，
因为，且平面，所以平面，
设与平面交于点，可得，所以，
由，可得，
又因为等边的边长为，其内切圆的半径为，
如图所示，过点作，可得点为的中点，且，
可得，所以，则，
所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确.
故选：BCD
【变式6-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期末）在正方体中，是棱的中点，是棱上的点，则（ ）
A．直线与平面所成角为
B．当点位于的中点时，
C．二面角的平面角余弦值范围为
D．存在点，使得平面
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为2，
对A，易知三棱锥为正三棱锥，
所以点在底面内的投影为的中心，记为，记中点为，
连接，则为直线与平面所成角，
因为，
所以，所以，A错误；
对B，记的中点为，连接，
因为分别为的中点，
所以平面，，
又平面，所以，
因为为正方形，所以，所以，
因为是平面内的两条相交直线，所以平面，
又平面，所以，B正确；
对C，记平面与交于点，与交点为，连接，
因为，为的中点，所以，
因为为正方形，所以，
又是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
易知，当点与点重合时，最小，此时，
当点与点重合时，最大，
此时，
所以二面角的平面角余弦值范围为，C正确；
对D，因为，且，所以为平行四边形，所以，
假设存在点，使得平面，则平面，
因为平面，所以，
又，所以在平面内过点存在两条直线与垂直（矛盾），
所以，不存在点，使得平面，D错误.
故选：BC
【变式6-3】（2025·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，
四边形是矩形，，
所以初始状态时直线与直线所成的角为，
已知矩形中，，， ，
翻折过程中，如下图，
因为，所以，则与平面不垂直，
因为，，
所以异面直线与不垂直，
翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图：
因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为；
故选：C
【变式6-4】（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点，
(1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由；
(2)求三棱锥的外接球的表面积；
(3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值．
【解析】（1）过点的截面是，理由如下：
设平面平面，平面平面，
∴，又，分别是和的中点，
∴，，∴，∴即为直线，
∴正方体中过点的截面是；
（2）如图，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z，
过Z作ZN⊥平面EPH，交面于N，则N为的中心，
三棱锥的外接球球心Q在直线ZN上，
设外接球半径为，，则，
其中，，
故，
∴球的表面积；
（3）取的中点，又的中点，则，又，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又在正方体中，，
平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
∴点在线段上运动，又，
∴直线与所成的角即为直线与所成的角，
又平面，平面，
∴，是直角三角形，
∴，
当与垂直时，取得最小值，
其中，由勾股定理得，
故的最小值为，
∴，此时取得最大值，
由于且，
故，故的最大值为，
∴直线与所成的角的余弦值的最大值为.
【强化训练】
1．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，. 若⊥底面，，点E为线段BC上的动点，则（ ）

A．对于动点E，线段PC上存在动点F （不与端点重合），使得平面
B．
C．AE与平面PBC所成角的范围为
D．过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线有4条
【答案】BCD
【解析】A选项，因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
由于平面与平面不平行，
要想平面，则，
又点E为线段BC上的动点，点F在线段PC（不与端点重合）上，
故不平行，故A错误；
B选项，连接，
因为，，
所以，
梯形的面积，
故，
又三棱锥与三棱锥的高均为，
故，B正确；
C选项，取的中点，连接，
过点作⊥交于点，
因为，所以，
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
故⊥，
因为⊥底面，平面，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
又，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
连接，则即为AE与平面PBC所成角，
因为，所以为等腰直角三角形，，
故当与重合时，最大，最大为，
又对称性可知，当与或重合时，最小，
由勾股定理得，故，
故，所以AE与平面PBC所成角的范围为，C正确；
D选项，因为，
故过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线条数等价于过点A，且与直线AP和AD所成角均为60°的直线条数，
以为邻边作正四棱锥，且侧面均为等边三角形，可以作两个，
故过点A，且在平面内与直线AP和BC所成角均为60°的直线可作2条，
而在过且与直线垂直的平面内也有两条直线与所成的角为，
故空间中与所成的角为的直线有4条，D正确..
故选：BCD
2．（多选题）（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则（ ）

A．平面
B．若为的中点，则异面直线与所成的角为
C．直线与平面所成角的余弦值的范围为
D．若点为正方形内（包括边界上）的动点，且平面，则点的轨迹的长度为
【答案】ABC
【解析】对于A，正方体中，平面，平面，，
又正方形中，，平面，，
平面，平面，，
同理，，平面，，
平面，故A选项正确；
对于B，若为的中点，连接，有，如图所示，
平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，
，分别为棱，的中点，
则异面直线与所成的角为，B选项正确；
对于C，由平面，当点与点重合时，平面，直线与平面所成角的余弦值为0，
点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，当点与点重合时，直线与平面所成角最小，为的余角，与相等，其余弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值的范围为，C选项正确；
对于D，，平面平面，则为的中点，连接，，分别为棱，的中点，连接，如图所示，
，分别为棱，的中点，则有，平面，平面，所以平面，
同理平面，平面，，平面平面，
则点的轨迹为，长度为，D选项错误.
故选：ABC
3．（多选题）（2025·高三·江苏扬州·期末）棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】连接与线段上任意一点，过作交于，
所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；
由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，
若为各线段上的中点时，四边形为菱形，
此时截面最小面积为；
根据正方体的对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，
当与重合时，截面最大面积为；
综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；
令交于，交于，交于，
显然是各交线的中点，若是中点，连接，
所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；
其体积，D对.
故选：ABD
4．（多选题）（2025·山东菏泽·二模）在棱长为2的正方体中，P是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的面积无最大值、无最小值
B．存在点P，满足DP//平面
C．存在点P，满足
D．与BP所成角的正切值范围为[,]
【答案】BCD
【解析】在正方体中，面面，面，
面，则点到的距离的最小值为面与面的距离2，此时点在上，
因为正方体的对角面为矩形，且，又，此时的面积有最小值，故A错误；
连接，由选项A可知，四边形为矩形，即有，面，
面，则面，同理面，又，
平面，因此平面平面，当，面，故B正确；
因，取的中点为，则，即，故C正确；
因为是侧面上的一个动点(不包含四个顶点)，则射线必与折线段存在交点，
设，，则，，而，令与所成的角为，
则
，因为，
因此在时，，时，，又因为在上单调递减，
在上单调递增，所以时，最大，，
当时，最小，，则，故D正确.
故选：BCD
5．（多选题）（2025·高一·河南驻马店·期末）如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则（ ）

A．异面直线与所成角的范围为
B．二面角（不在点）的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．存在一点，使得直线与平面所成的角为
【答案】BC
【解析】对于A：当在点时，因为，所以即为异面直线（）与所成角，
因为为等腰直角三角形，所以，故A错误；
对于B：因为在线段上，所以平面（不在点）即为平面，取的中点，连接、，
则，，所以即为二面角（不在点）的平面角，
又，，
所以，
故二面角（不在点）的余弦值为，即B正确；
对于C：因为且，所以为平行四边形，所以，
平面，平面，平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
又为边长为的等边三角形，所以，
，
设点到平面的距离为，又，即，解得，
所以点到平面的距离为，故C正确；
对于D：因为平面，连接，所以为直线与平面所成的角，
因为，所以，所以最大为，当且仅当在、时取得，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，故D错误.
故选：BC
6．（多选题）（2025·高三·湖南怀化·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积不变
C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
D．异面直线与所成的角的范围是
【答案】ABD
【解析】
对于A项，如图，连结.根据正方体的性质可知，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故A项正确；
对于B项，由A知平面，所以点到平面的距离即等于点到平面的距离，所以.由正方体的性质可得，平面，所以，又，所以是个定值，故B项正确；
对于C项，由已知可得，点到侧面的距离等于.设球被侧面截得圆的半径为，球的半径，则.所以以D为顶点，为半径的球面与侧面的交线即以C为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，分别取、中点为、，则有，所以交线即所对的圆弧的长，，所以，故C项不正确；
对于D项，如图，由已知可得，所以.又，所以异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角.显然当点P为中点时，，此时最大；当点P在点时，，当点P在点时，，此时最小.所以异面直线与所成的角的范围是，故D项正确.
故选：ABD.
7．（2025·高一·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，连接，如图，
四边形是矩形，且，
所以．
故答案为：5
8．（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，点在底面运动（含边界），则的最小值为 ．

【答案】
【解析】
易知时，长度最短，
底面时，长度最小，由正方体的结构性质易知在上，
过作，连接，易证，
由，可得：，
所以，
连接，可知三点共线，且，
在正方体中易知
所以，
所以的最小值为，
故答案为：
9．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 .
【答案】
【解析】
过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
过作于，连接，
因为平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，,，
因为，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
此时取得最小值，
故二面角的正弦值的最小值为.
故答案为：.
10．（2025·高二·上海·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为 ．
【答案】/
【解析】在直四棱柱中，平面，平面，
则，在菱形中，，而平面，
则平面，又菱形边长为1，，则，
点在线段上，在线段上，则，
因此三棱锥的体积最小，当且仅当的面积最小，而是定值，
则当且仅点到直线的距离最小，又的延长线与延长线相交于点，
于是点与点重合时，点到直线的距离取最小值，如图，
显然四边形为正方形，连接，令，由，
得，，
点到直线的距离，又，
则面积为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积最小值为.
故答案为：
11．正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为 .
【答案】
【解析】
设四棱柱为
由已知半径为的玻璃球与四棱柱的四个侧面均相切，
则当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小，
假设半径为的球与侧面和均相切，
作出平面如图所示，
易知此时，，，，
且四边形为直角梯形，
则，
则四棱柱的高，
故答案为：.
12．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ．
【答案】8
【解析】由，即，故，
令且，则，即，所以，
由，而，
所以时，最大.
故答案为：8
13．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．
【答案】
【解析】由于正六棱锥的底面边长为1，高为，则侧棱长为2，
正六棱锥的底面积，
侧面面积，
正六棱锥的体积，
设正六棱锥的内切球的半径为，
则，解得，
设正方体的棱长为，
要使正方体能在该正六棱锥内任意转动，
则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径，
而正方体的外接球直径为其体对角线，
则，，
正方体的棱长的最大值为．
故答案为：.
14．（2025·高一·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 .
【答案】
【解析】直三棱柱中，，则外接球的球心在中点的连线上，
如下图，分别为中点，为中点，则为棱柱外接球球心，
又，则，外接球的表面积是，
若外接球半径为，则，可得，
所以，则，故，
由，即，当且仅当时取等号，
所以此三棱柱的体积的最大值.
故答案为：
15．（2025·高一·浙江宁波·期中）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】作正四棱台的轴截面如图，分别取的中点，连接，取的中点，连接，过作，过作，
由题意可知，，，
则，,
，
则在中利用余弦定理可得，，
则，
因，
则，
在线段上取点，过作，使得，连接，
此时，
因，则，则，
则，
故球的半径最大值为，则球表面积的最大值为
故答案为：
16．（2025·高二·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意可知：圆柱的母线长度为，
侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以侧面积的最大值为，
故答案为：.
17．（2025·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ．
【答案】16
【解析】如图，将直三棱柱外补全成长方体，
则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，
设，，则，，
直三棱柱的体积为，
当且仅当时，等号成立，
该棱柱体积的最大值为16．
故答案为：16．
18．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ．
【答案】
【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，
由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，
正外接圆半径，正四面体的高，
设正四面体的外接球半径为，在中，，解得，
因此，勒洛四面体内切球半径为.
故答案为：．
19．（2025·高一·安徽马鞍山·期末）如下图，正方体中，，上底面中心为.
现将正方形绕点在原平面内逆时针旋转角，，连接，得到如下图所示的十面体：
则这个十面体的外接球的表面积是 ；这个十面体体积的最大值是 .
【答案】
【解析】该十面体的外接球球心显然是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为.
所以这个十面体的外接球的半径是，从而其表面积是.
如图，设有一平行于底面的平面，并设该十面体被平面截得的截面为八边形.
并设平面和下底面之间的距离为，则
，，，，，，，.
将所有的点都投影到一个平行于底面的平面上，得到两个外接圆相同的正方形和一个八边形，如下图所示.
设在投影后的图中，的面积为，则.
根据相似三角形性质有，，
所以.
由于，，故每个截面的面积最大值都在时取到.
这个时候，，此时原组合体的体积取到最大值.
在该条件下，我们计算原几何体的体积，此时有，.
记下底面和上底面的中心分别为和，则直线垂直于两底面，并设的中点为.
在线段上分别取点，使得，则由于，且，故四边形为平行四边形.
而平面，且直线在平面内，故，所以四边形为矩形.
所以，而由可知，且和在平面内交于点，故平面.
同理，平面.
现在，由于，，故点到的距离.
根据对称性，点到平面的距离也为，同时，直线和的距离等于的长度，即.
同理，点到平面的距离和点到平面的距离均为，与，和与的距离都是.
所以.
同理.
而，
同理.
又有.
所以在该条件下，该几何体的体积为
.
综上，此十面体体积的最大值为.
故答案为：，.
20．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设的边长为，则，所以.
设的外接的半径为，则，得，
则球心到平面的距离为，
所以点到平面的最大距离为，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
21．（2025·高一·福建福州·期末）已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设球的半径为，则，所以，因为，
所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为，
设，则，所以，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的体积的最大值为．
故答案为：
22．（2025·高一·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是 .
【答案】
【解析】如图所示，取的中点，取的中点为，连接，
由三角形的中位线的性质，可得，则，
又由平面，平面，可得平面，
连接，可得且，
则四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
由直线与平面无公共点，所以点在线段上，
当为的中点时，取得最小值，最小值为，
当与点或重合时，取得最大值，最大值为，
所以线段的长的范围是.
故答案为：.
23．（2025·高一·云南曲靖·期中）现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知：圆柱盒子内高的范围为，
圆柱盒子的体积，
一个小球的体积，
.
故答案为：.
24．（2025·高一·湖北武汉·期末）在直角中，，上有一动点（异于，），将沿折起，使得三棱锥的顶点在底面上的投影恰好落在线段上，则长度的范围 .
【答案】
【解析】在直角中，，，
折叠后的图形如图所示：，
三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，，
在中，，
再折叠前，如图所示：，作于点，
则在折叠过程中，随着点不断靠近点，点也不断靠近点，
，
，
故答案为：
25．（2025·高一·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
【解析】（1）由已知得点E是的中点，且平面.
由可得.
所以，
因为，
故即.
由正四棱柱可知平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形
由，得.从而，
，
设，在中由余弦定理得：
故当时，取得最小值，从而
故截面四边形的最小值为.
26．（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.

(1)求证：；
(2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度的最小值．
【解析】（1）证明：作
因为平面平面PBC，平面平面平面PAC
所以平面PBC
因为平面PBC
所以
因为平面平面ABC，所以
因为平面PAC
所以平面PAC，
又平面PAC，所以
（2）①由（1）得平面PAC
所以为在平面的射影，为与平面所成角
在中，，
在直角中，
所以与平面所成角的正切值为
②过作的垂线，垂足为，过作，交于
因为平面平面，所以
又因为平面
所以
因为平面平面PAC，所以平面PAC
同理平面
因为平面FQN，所以平面平面
因为平面，所以平面
设
所以
在直角中，
当时，
27．（2025·高一·山东枣庄·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值.
【解析】（1）
，
所以；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，且最小值为．
28．（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值.
【解析】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，
故四边形为平行四边形，则.
又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.
（2）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积．
（3）取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
又
此时
29．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．

(1)求这条绳长的最小值；
(2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离．
【解析】（1）沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，如图所示．
易知，与相似，得，
由，解得．
因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为．
又扇形的半径，
设扇形的圆心角为，，解得，则．
在中，，所以，
即所求绳长的最小值为50cm．
（2）如图所示，过点O作，垂足为C，交于点，则所求最短距离即为的长．
因为，所以，
即绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm．
30．（2025·高二·上海徐汇·期中）如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．

(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)若是的中点，点E在线段上，求的最小值．
【解析】（1）圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）三棱锥的高，底面三角形中，，
则当点C到的最大值等于底面圆的半径1，
所以三棱锥体积的最大值.
（3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，
，，
，
，
，
即的最小值为等于．
31．（2025·高一·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理知，，圆柱母线长，
而圆锥的母线长为，因此圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为
圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即，
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
即.
（2）设，则，解得，
因此被挖去的圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，
所以时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为.
32．（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面.
(1)在上，，求证：平面平面；
(2)若，且，求的值；
(3)求三棱锥体积的最大值.
【解析】（1）如下图所示：
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.
（2）过点在平面内作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，所以，
因为为的中点，，则为的中点，
因为，且正三棱锥的棱长均为，
则，，，
所以，，
，
因为，所以，，则存在，使得，
即，
因为、不共线，则，解得.
综上所述，.
（3）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
设点在平面上的射影为点，则为等边的中心，
由正弦定理可得，则，
所以，
因为，所以，点到平面的距离，
点到直线的距离为，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故三棱锥体积的最大值为.
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专题08立体几何中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：截面问题
题型二：面积、周长问题
题型三：体积问题
题型四：长度问题
题型五：线段和最值问题
题型六：角度问题
【知识点梳理】
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
【典型例题】
题型一：截面问题
【例1】（2025·高一·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与直线所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
【变式1-1】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选题）（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ）

A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
题型二：面积、周长问题
【例2】如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：
①四边形的周长为定值；
②四边形的面积为定值；
③四边形为矩形；
④四边形的面积有最大值1．
则其中正确的结论 ．
【变式2-1】（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）

A．6 B． C． D．
题型三：体积问题
【例3】（2025·高一·天津和平·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为，，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16 B． C． D．8
【变式3-1】（2025·高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 .
【变式3-2】（2025·河南郑州·二模）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）
A．平面
B．三棱锥体积的最大值为
C．三棱锥的外接球的表面积为定值
D．与平面所成角的范围是
题型四：长度问题
【例4】已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）

A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·高一·山东聊城·期中）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
题型五：线段和最值问题
【例5】（多选题）（2025·高一·河南洛阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点，使得平面平面
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
【变式5-1】（多选题）（2025·高一·山西·期中）如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体内切球的表面积为
B．若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C．若点是的外心，则
D．若动点满足，则的最小值为
【变式5-2】（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2025·高一·河北·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若是上的动点，则，，，四点共面
D．若是上的动点，则的最小值是
题型六：角度问题
【例6】如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【变式6-1】（多选题）（2025·高一·福建·期末）已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为
B．若点在线段上运动，的最小值
C．若将正方体 视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器
D．若点P在 的内部及边界上运动，且m, 则动点P的轨迹长为 m
【变式6-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期末）在正方体中，是棱的中点，是棱上的点，则（ ）
A．直线与平面所成角为
B．当点位于的中点时，
C．二面角的平面角余弦值范围为
D．存在点，使得平面
【变式6-3】（2025·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2025·高一·湖北武汉·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点，
(1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由；
(2)求三棱锥的外接球的表面积；
(3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值．
【强化训练】
1．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，. 若⊥底面，，点E为线段BC上的动点，则（ ）

A．对于动点E，线段PC上存在动点F （不与端点重合），使得平面
B．
C．AE与平面PBC所成角的范围为
D．过点A，且与直线AP和BC所成角均为60°的直线有4条
2．（多选题）（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则（ ）

A．平面
B．若为的中点，则异面直线与所成的角为
C．直线与平面所成角的余弦值的范围为
D．若点为正方形内（包括边界上）的动点，且平面，则点的轨迹的长度为
3．（多选题）（2025·高三·江苏扬州·期末）棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
4．（多选题）（2025·山东菏泽·二模）在棱长为2的正方体中，P是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的面积无最大值、无最小值
B．存在点P，满足DP//平面
C．存在点P，满足
D．与BP所成角的正切值范围为[,]
5．（多选题）（2025·高一·河南驻马店·期末）如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则（ ）

A．异面直线与所成角的范围为
B．二面角（不在点）的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．存在一点，使得直线与平面所成的角为
6．（多选题）（2025·高三·湖南怀化·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积不变
C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
D．异面直线与所成的角的范围是
7．（2025·高一·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为 ．
8．（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，点在底面运动（含边界），则的最小值为 ．

9．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 .
10．（2025·高二·上海·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为 ．
11．正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为 .
12．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ．
13．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．
14．（2025·高一·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 .
15．（2025·高一·浙江宁波·期中）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为和，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为 ．
16．（2025·高二·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 .
17．（2025·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ．
18．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ．
19．（2025·高一·安徽马鞍山·期末）如下图，正方体中，，上底面中心为.
现将正方形绕点在原平面内逆时针旋转角，，连接，得到如下图所示的十面体：
则这个十面体的外接球的表面积是 ；这个十面体体积的最大值是 .
20．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ．
21．（2025·高一·福建福州·期末）已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ．
22．（2025·高一·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是 .
23．（2025·高一·云南曲靖·期中）现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为 .
24．（2025·高一·湖北武汉·期末）在直角中，，上有一动点（异于，），将沿折起，使得三棱锥的顶点在底面上的投影恰好落在线段上，则长度的范围 .
25．（2025·高一·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求过点A ，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值.
26．（2025·高一·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.

(1)求证：；
(2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度的最小值．
27．（2025·高一·山东枣庄·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值.
28．（2025·高一·浙江宁波·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值.
29．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．

(1)求这条绳长的最小值；
(2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离．
30．（2025·高二·上海徐汇·期中）如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．

(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)若是的中点，点E在线段上，求的最小值．
31．（2025·高一·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
32．（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面.
(1)在上，，求证：平面平面；
(2)若，且，求的值；
(3)求三棱锥体积的最大值.
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