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专题9 立体几何中的平行垂直问题
【题型归纳目录】
题型一：平行垂直的判断
题型二：证明线面平行
题型三：证明面面平行
题型四：证明线线垂直
题型五：证明线面垂直
题型六：证明面面垂直
题型七：平行、垂直探索性问题
【知识点梳理】
知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
【典型例题】
题型一：平行垂直的判断
【例1】（2025·高一·山东枣庄·期中）已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-2】（2025·高一·天津·期中）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-3】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ）
A．相交 B．或 C． D．
题型二：证明线面平行
【例2】如图，在正四棱柱中，，，点分别是线段，的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离．
【变式2-1】（2025·高一·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且.
(1)记平面平面，证明：；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【变式2-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)求证：；
(3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.
题型三：证明面面平行
【例3】（2025·高一·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数.
【变式3-1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若是线段的中点，证明：平面平面．
【变式3-2】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
题型四：证明线线垂直
【例4】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【变式4-1】（2025·高一·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若为的中点，为上一点，证明．
【变式4-2】在直三棱柱中，，点为线段的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
题型五：证明线面垂直
【例5】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.
(1)求证： 平面；
(2)求证： 平面
(3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值.
【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【变式5-2】如图，四边形ABCD是正方形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积．
题型六：证明面面垂直
【例6】（2025·高一·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【变式6-1】（2025·高一·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证: 平面⊥平面;
(3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 若存在，求 若不存在，说明理由.
【变式6-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面；
题型七：平行、垂直探索性问题
【例7】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
【变式7-1】（2025·高一·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.
(1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
【强化训练】
1．（2025·高一·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·高一·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ）
A． B． C．2 D．
3．（多选题）（2025·高一·山东·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面
D．若平面内任意条直线和平面平行，则平面平面
4．（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为 .
5．（2025·高一·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断：
①平面;
②平面;
③平面;
其中推断正确的序号是 .
6．（2025·高一·天津滨海新·期中）设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为 ．
①若，，则
②若，，则
③若，，则；
③若，，，则；
7．（2025·高一·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
8．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
9．（2025·高一·陕西西安·期中）如图，正方体.
(1)证明：；
(2)若分别为中点，证明：三线共点.
10．（2025·高二·云南玉溪·期中）如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
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专题9 立体几何中的平行垂直问题
【题型归纳目录】
题型一：平行垂直的判断
题型二：证明线面平行
题型三：证明面面平行
题型四：证明线线垂直
题型五：证明线面垂直
题型六：证明面面垂直
题型七：平行、垂直探索性问题
【知识点梳理】
知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
【典型例题】
题型一：平行垂直的判断
【例1】（2025·高一·山东枣庄·期中）已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如图，在正方体中，
记平面为，直线为，
若记直线为，则满足，但，故无法得出；
因，则直线共面，记直线所确定的平面为，
若，则；
若，则由，可得，则，
因，，，则，
故由可得出.
综上可知，是的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【解析】对于A，由，，根据面面平行的传递性，可得，故A正确；
对于B，由，，则可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，由，，则可能平行、相交、异面，故C错误；
对于D，由，，则或，故D错误.
故选：A.
【变式1-2】（2025·高一·天津·期中）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，A错误；
对于B，若，则或与相交，B错误；
对于C，由，，，得或是异面直线，C错误；
对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，
即，D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ）
A．相交 B．或 C． D．
【答案】B
【解析】如果，且，那么或.
故选：B
题型二：证明线面平行
【例2】如图，在正四棱柱中，，，点分别是线段，的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）
如图，连接，
因为点分别是线段，的中点，所以，
因为在正四棱柱中，，所以，
因为平面，平面，所以直线平面.
（2）由题意得，
，
设点到直线的距离为，则，
所以的面积，
所以点到平面的距离为.
【变式2-1】（2025·高一·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且.
(1)记平面平面，证明：；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【解析】（1）在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以.
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足.
理由如下：连接交于，连接，则为中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，在中，有，
由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则，
又，平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又，得平面，所以存在，且.
【变式2-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)求证：；
(3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.
【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连、
∥
又∥
∥
四边形为平行四边形，
∥，
又平面，平面，∥平面；
（2）在梯形中，∥，
又面，面，
∥面，
面，面面
∥
∥
（3）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
∥，
平面，平面，
平面，
又由（1）可得∥平面，，、平面
平面∥平面，
是上的动点，平面，
∥平面，
当为中点时，∥平面.
题型三：证明面面平行
【例3】（2025·高一·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数.
【解析】（1）连接，则为中点，又点为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角，
在等腰直角三角形中，设，则，，，
在中，由余弦定理得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）连接，如图所示，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
则，即，所以.
【变式3-1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若是线段的中点，证明：平面平面．
【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，
连接必与相交于中点，故，
面平面，
面．
（2）由点分别为中点可得：，
面平面平面，
又由（1）可知，平面，
且，平面,
故平面平面．
【变式3-2】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
【解析】（1）∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，∴，
又在三棱柱中，，∴，
∴，，，四点共面.
（2）∵在三棱柱中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面.
又，是，的中点，所以，又.
所以，
∵平面，平面，∴平面.
又，平面，
所以平面平面.
题型四：证明线线垂直
【例4】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【解析】（1）连接交于点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，故，
平面，平面，故平面.
（2）取中点为，连接，，为的中点，
故，而底面，
故底面，底面，故；
又为的中点，则，而，即，
故，
而，平面，平面，
故平面，
又平面，故，即.
【变式4-1】（2025·高一·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若为的中点，为上一点，证明．
【解析】（1）取中点，连接、，
，，四边形是平行四边形，则，
或其补角为异面直线与所成角，
翻折前，即，，
翻折后，则有，，且有，
，，
又，、平面，面，
在中，，，,
由余弦定理可得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
（2）面，平面，，
，，，，故为等腰直角三角形，
，
，，
由余弦定理得，
，，
，、平面，面，
因为平面，，
又，为的中点，，
，、平面，面，
平面，.
【变式4-2】在直三棱柱中，，点为线段的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【解析】（1）由直三棱柱，可得平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以；
（2）取中点，连接，
因为点为线段的中点，所以，
所以或其补角为直线与直线所成的角，
在中，可得，
在中，则，
在中，则，所以，
在中，则，
在中，由余弦定理可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
题型五：证明线面垂直
【例5】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.
(1)求证： 平面；
(2)求证： 平面
(3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值.
【解析】（1）如图：取的中点，连接，
则，且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，平面，所以平面.
（3）如图：取的中点，连接，
则，由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.
又平面，所以，
因为，又，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【解析】（1）连接交于点，连接，
由底面是正方形，故为中点，
又点为线段的中点，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）由点为线段的中点，，故，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故，又、平面，，
故平面；
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，
故.
【变式5-2】如图，四边形ABCD是正方形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积．
【解析】（1）因为平面，，所以平面.
，所以.
又因为四边形ABCD是正方形，所以,，所以平面.
（2）取中点，连接，则为三角形的中位线，.
所以，四边形为矩形.则，即.
又因为，所以.
（3）平面，，所以.
又因为四边形ABCD是正方形，所以,,所以.
所以.
所以三棱锥的体积为.
题型六：证明面面垂直
【例6】（2025·高一·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，，
所以，，可知是正三角形.
因为是的中点，所以，
又，所以.
因为底面，平面，所以.
又、平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为底面，平面，所以.
又，，所以，.
在正三角形中，，是的中点，所以，且.
因为平面，平面，所以，
所以.
因为，底面，
设点到平面的距离为，所以.
而.
所以，即点到平面的距离为.
【变式6-1】（2025·高一·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证: 平面⊥平面;
(3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 若存在，求 若不存在，说明理由.
【解析】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面，
所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面.
（3）存在，当N为中点时，平面⊥平面，
证明如下：连接，交于点O，连接.
因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为为中点，所以.
因为平面⊥平面，平面平面，
又平面，由已知可得，
所以平面， 所以⊥平面.
又因为平面，所以平面⊥平面.
所以存在点N，使得平面⊥平面，且
【变式6-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面；
【解析】因为底面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
题型七：平行、垂直探索性问题
【例7】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，
则有，，，所以，
则与共面，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
平面平面，
又平面，∴平面；
（2）连接，不妨设，则，
所以，
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴平面平面，
∵，∴，又点是的中点，所以，
又平面平面，平面，
∴平面，平面，∴，
要使平面，只需即可，
又∵，
∴，即，
∴（负值舍去），即时，平面.
【变式7-1】（2025·高一·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.
(1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交.
理由如下：因平面,平面, 平面,
故直线与直线是异面直线；
又因平面，因点是的中点，,
故相交，设交点为,则点平面，
又点平面，故直线与平面相交.
（2）
取的中点为，连接
∵是棱的中点，
∴且
∵点是棱的中点，
∴且
∴且
∴四边形是平行四边形
∴.
且平面，平面，
所以平面.
（3）
当点为棱的中点时，平面平面，
证明：∵分别是棱的中点，
∴，∵ ，∴ ，
∵平面，平面，∴平面，
∵分别是棱的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，
∴平面平面.
【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
【解析】存在，为中点时，平面平面，
连接，设，连接，易知，
因为为中点，为的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
由于，平面，
所以平面平面.
【强化训练】
1．（2025·高一·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过作交于，连接，如图所示.
因为，平面，不在平面上，
根据线面平行的判定定理可得平面.
又因为平面，，平面，
根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面.
又平面平面，平面平面，所以.
根据相似三角形性质可得：.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以.
又，所以，所以.
故选：B.
2．（2025·高一·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
连接交于 ，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
所以，
因为为的中点，所以，
所以，所以.
故选：A
3．（多选题）（2025·高一·山东·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面
D．若平面内任意条直线和平面平行，则平面平面
【答案】AD
【解析】对于A选项，一个棱柱最少有个面，且此棱柱为三棱柱，A对；
对于B选项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两个圆锥拼接而成的组合体，B错；
对于C选项，若平面内无数条直线和平面平行，则或、相交，C错；
对于D选项，若平面内任意条直线和平面平行，则，D对.
故选：AD.
4．（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为 .
【答案】
【解析】连接相交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
可得.
故答案为：.
5．（2025·高一·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断：
①平面;
②平面;
③平面;
其中推断正确的序号是 .
【答案】①③
【解析】如图，连接，
对于①：因为在正方体中，
，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，
因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；
对于②：因为，与平面相交，
所以与平面相交，故②错误；
对于③：因为，，分别是，，的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故③正确；
故答案为：①③
6．（2025·高一·天津滨海新·期中）设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为 ．
①若，，则
②若，，则
③若，，则；
③若，，，则；
【答案】①
【解析】对于①，若，则，①正确；
对于②，由，得与平行或相交或者是异面直线，②错误；
对于③，由，得或，③错误；
对于④，由，得或与是异面直线，④错误，
所以正确命题的序号为①.
故答案为：①
7．（2025·高一·浙江台州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
【答案】
【解析】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接，
由为的中点，得，四边形为平行四边形，
则，又，则四边形是平行四边形，
，于是，四边形是平行四边形，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又平面，因此平面平面，
又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线，
所以P的轨迹长为.
故答案为：
8．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）
连接，
因为底面为正八边形，所以，
又正八棱柱侧棱底面，底面，
所以，
平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）
连接，
因为，
由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，，
所以，
由勾股定理可得，，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，即，
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，所以点到平面的距离为.
9．（2025·高一·陕西西安·期中）如图，正方体.
(1)证明：；
(2)若分别为中点，证明：三线共点.
【解析】（1）连接，
在正方体中，
可得平面，，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为分别为
所以，又，
所以，而，可得四边形为梯形，
设，则，
平面，所以平面，同理平面，
又平面平面，所以，
即三线共点．
10．（2025·高二·云南玉溪·期中）如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
【解析】（1）
连接CM，，，是AB中点，
且，
四边形是平行四边形，，
而平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，
平面平面，又平面，
平面.
（2），平面，
平面，
平面，
，
又，四边形是平行四边形，
平行四边形为正方形，．
又，平面，平面，
所以平面，平面，.
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