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专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题
【题型归纳目录】
题型一：线线角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：点面距、线面距、面面距
题型五：锥体体积问题
【知识点梳理】
考点一：求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
考点二：异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
考点三：直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
考点四：作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
考点五：求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典型例题】
题型一：线线角
【例1】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为 ．
【答案】/
【解析】设分别为棱的中点，连接，，如图所示，
因为分别为棱的中点，
所以，
又因为为棱的中点，，为棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为直线 与直线所成的角（或其补角）．
设正三棱柱的棱长为，则
，
，
，
，
所以，即，
所以，
故直线 与直线所成的角为．
故答案为：．
【变式1-1】（2025·高一·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为 ；（ⅱ）直线与所成的角为 ．
【答案】 ．
【解析】（i）因为底面是边长为2正方形，底面，，为的中点，
所以；
（ii）因为为正方形，连接，则交于，
可得为的中点，因为为的中点，所以，
所以与所成的角等于直线与所成的角，
与所成的角为或其补角，
因为底面，平面，
所以平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，而平面，
所以，所以，
所以，即直线与所成的角为．
故答案为：；．
【变式1-2】（2025·高一·浙江湖州·期末）已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是 ．
【答案】
【解析】在平面内，分别过作的平行线交于点，连接，
则四边形为平行四边形，则，，
则，
在中，，，由正弦定理得，
其中为的外接圆半径，解得
则点在半径为的的外接圆的劣弧上，
作⊥，垂足为，如图1，
则当为的中点，即时，最大，此时，
如图2所示，此时，
当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，
连接，此时三棱锥的体积最大，最大为，
而，故四面体的最大值为
故答案为：
题型二：线面角
【例2】（2025·高一·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m．
(1)求证：；
(2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值．
【解析】（1）由，可知，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
（2）由题知，
因为，所以，
过点P作于点M，连接EM，
由，则，
因为，，，平面，，
所以平面PFC，因为平面，所以，
因为，平面BCFE，
所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角，
在中，，
所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为．
【变式2-1】（2025·高一·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与底面所成的角的正切值；
(3)求.
【解析】（1）因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，
所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）设，点为的中点，连接，，，
因为在正四棱锥中，
所以平面，
因为在中，点为的中点，点为的中点，
所以，且，
所以平面，
因为平面，
所以，则即为直线与底面所成的角，
因为正四棱锥中，所有棱长均为，
所以，，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以；
（3）设点到平面的距离为，因为在正四棱锥中，所有棱长均为，
所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为，
依题意可得，
所以，
即，解得.
【变式2-2】（2025·高一·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为底面是边长为2的正方形，所以，
且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）
作，垂足为，连接，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，
因为，，，所以，
因为平面，平面，所以，
所以在直角三角形中，由勾股定理可得，
所以；
（3）
作，交于，连接，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，
因为，，
所以，解得，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
又因为，所以.
题型三：二面角
【例3】（2025·高三·浙江·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，.

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）依题意，面，且面，
所以，，
因为面面，面面，面，且，
所以面，
因为面，
所以.
（2）方法1、取中点，并连接、.

因为，所以，
由勾股定理可知.
因为，所以；
则根据二面角定义可知是二面角的一个平面角，
且由图可知为锐角.
又因为面，同理（1）可知，
设，可得，则，
所以，
即二面角的余弦值为.
方法2、
由（1）可知，、、三者两两相互垂直，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系.

由勾股定理可知.
不妨设，则，
所以，
易得平面的一个法向量可以是，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
故可得平面的一个法向量可以是.
设二面角的一个平面角为，且由图可知为锐角.
则，
即二面角的余弦值为.
【变式3-1】（2025·高二·江西·开学考试）已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
【解析】（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，，

因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
【变式3-2】（2025·高一·新疆喀什·期中）如图所示，是边长为2的等边三角形，平面，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【解析】（1）平面平面，
．
为等边三角形，为的中点，
．
又，面，
所以平面．
（2）平面平面，
，又，
为锐二面角的平面角，又，
．
平面平面，
．
，因此．
即二面角的大小为．
题型四：点面距、线面距、面面距
【例4】（2025·高一·河南·期中）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且．
(1)求；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥，
其底面是腰长为的等腰直角三角形，面积为．
又底面上的高为，
所以三棱锥的体积．
因为正方体的体积，
所以剩余部分的体积．
（2）在中，，
如图，取的中点，连接，
则，
所以，
的面积．
设点到平面的距离为，
因为三棱锥与三棱锥是同一个几何体，
所以，结合（1）得，
即，解得，
所以点到平面的距离为．
【变式4-1】（2025·高三·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离.
【解析】（1）
取的中点，连接，
，，
，，且 ，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，,
，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）
连接，，，
由(1)可知，，四边形是平行四边形，
，且，
是异面直线和所成角，即，
设，，，，
是等边三角形，，，即，
，，，
由(1)知，平面，，
，
，
设点到平面的距离为，
，即，即，
，即点到平面的距离为.
【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知：
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面的距离.
【解析】（1）如图：
连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点，
又为中点，所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，所以是直角三角形，
又为中点，且，所以.
设点到平面的距离为，则.
又因为,
所以.
因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，平面，，
所以平面.
又平面，所以.所以为直角三角形.
中，，，.
因为，所以为直角三角形，所以.
所以.即点到平面的距离为.
又，
设直线与平面所成的角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为：.
题型五：锥体体积问题
【例5】（2025·高一·山西阳泉·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
【解析】（1）连接，交于点，则为的中点，

又因为为的中点，连接，则，
平面，平面，
平面；
（2）由（1）知，，
所以为异面直线与所成角或其补角，
正四棱柱中，，
由勾股定理得，，
在中，，，，
由余弦定理，得，
故异面直线与所成角的余弦值为；
（3）因为正方形，所以，，
又在正四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以.
或
【变式5-1】（2025·高一·福建福州·期中）正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
(1)求该多面体的表面积和体积．
(2)若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积．
【解析】（1）由题意知，该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致.
每个四棱锥的侧面是四个边长为的等边三角形，设三角形的面积为，
则该多面体的表面积，
四棱锥的底面是边长为的正方形，故四棱锥的底面积，
四棱锥的高为1，故四棱锥的体积，
则该多面体的体积；
（2）将该多面体内接于球内，
则球的直径为，球的半径为1，
故该球体的表面积为，
该球体的体积为.
【变式5-2】（2025·高一·广东·期中）如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
(1)求正四棱台的体积；
(2)若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
【解析】（1）依题意，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，，
连接，交于点，连接交于点，连接，则即为正四棱台的高，
易得，，且有，解得，
所以正四棱台的体积.
（2）因为正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，即，
所以在得到的正四棱锥中，为的中点，所以，
设正四棱锥的外接球的半径为R，
则O在上，连接，则.
在中，，得，
所以正四棱锥的外接球表面积为.
【强化训练】
1．如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为
【答案】
【解析】取中点，连接、、、，
则且，，
有，故，则，
由，故与所成角等于，
又，
即，即与所成角为．
故答案为：．
2．（2025·高二·广西柳州·开学考试）在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为 ．
【答案】1
【解析】
如图，连结，交于点，取的中点，连结，，
因为点分别是的中点，所以，
，，
所以，则，
即，
所以异面直线和所成角为，异面直线和所成角的正弦值为1．
故答案为：1．
3．（2025·高一·贵州安顺·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱的中点．

(1)判断点是否在平面内，并说明理由；
(2)求平面与平面ABCD所成的锐二面角的正切值；
(3)求点到平面的距离．
【解析】（1）点在平面内，理由如下：
在正方体中，连接，，
则四边形是平行四边形，，由E，F分别为棱的中点，
得，所以点在平面内.

（2）连接，由平面，平面，得，
过作于，连接，平面，
则平面，而平面，于是，
是平面与平面ABCD所成的锐二面角，
，，
则，，
所以平面与平面ABCD所成的锐二面角的正切值.
（3）连接，则与互相平分，即的中点在平面上，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，
由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
而平面平面，于是点在平面上的射影在上，
因此点到平面的距离等于斜边上的高，
所以点到平面的距离为.
4．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求二面角的正切值.
【解析】（1）因为底面是菱形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以；
（2）由（1）知，，所以，
因为是中点，所以是中点，
因为是正三角形，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以；
（3）过作于，连接，
由（2）知平面，
又因为平面，平面，
所以，，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以就是二面角的平面角，
在正三角形中，，，
在中，，，所以，
在中，，
在中，，
所以二面角的正切值为.

5．（2025·高一·陕西汉中·期末）在五面体ABCDEF中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，所以，
因为，所以；
（2）记的两个三等分点为，且点靠近点，点靠近点，
连接，则，
因为，，所以四边形为平行四边形，
又平面，平面，
所以，所以为矩形，
故，所以，
又，所以，所以，
由上知，为平面内的两条相交直线，
所以平面，
又，所以为平行四边形，
所以，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，为二面角的平面角，
因为，所以.
6．（2025·高一·浙江杭州·期末）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点．
(1)求线段的长度；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【解析】（1）依题意，直线平面，而平面，则，
由，得，由为正三角形，得，则，
又为正三角形，即，因此.
（2）取的中点，连接，则有，
因此是二面角的平面角，显然，
由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
（3）由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（1）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
所以点到平面的距离为.
7．（2025·高一·河南·期中）伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米.（结果均用含π的最简式表示）
(1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表面全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料
(2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
【解析】（1）设，
由圆台的侧面积公式得，
又每平方分米需要消耗5克涂层材料，
所以该伊丽莎白圈需要消耗克涂层材料.
（2）设圆台的高为，则，
由圆台的体积公式可得立方分米.
8．（2025·高一·河南郑州·期中）如图是一个奖杯的三视图，（尺寸如图，单位：cm）试根据奖杯的三视图计算它的

(1)体积；
(2)表面积.（参考数据：，，）
【解析】（1）由三视图知，几何体下部是底座是四棱台，中部是棱柱，上部是球，
，，
，
，，
这个奖杯的体积：，
所以体积约为；
（2）奖杯底座的侧面上的斜高等于和，
这个奖杯的表面积：
，
因此它的表面积约为.
9．（2025·高一·山西·期中）在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高．
(1)求正四棱台的表面积和体积；
(2)在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
【解析】（1）由题可知正四棱台的体积，
记分别为棱台上、下底面的中心，分别取中点，连接，
，在梯形中，过作于，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且，所以，
所以，
所以正四棱台的表面积．
（2）把该四棱台沿侧棱展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如图所示的路径．在等腰梯形中，设，易知．
在中，，
又，
由余弦定理得，
所以彩带最少需要．
10．（2025·高一·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
【解析】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，
所以圆柱的底面半径为2.
（2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，
所以三棱柱的体积.
11．（2025·高一·福建三明·期中）宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作无底的圆台，内部放一个圆形木隔板，盖子也是圆形的木板.其尺寸如下：桶口直径为30cm，桶底直径为24cm，桶高为24cm，桶内深为16cm.
(1)求该饭甑木桶（不含隔板和盖子）的面积；（不计木板的厚度）
(2)若该饭甑装满（盖子刚好与米饭齐平）米饭，求米饭的体积；
(3)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，问：当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度）
【解析】（1）由已知得 两底面半径分别为，
∵木桶高为 ∴母线长为
∴该饭甑木桶的面积为
（2）由已知得 中间隔板的半径为
∴米饭的体积为
（3）设球心到饭甑底部的距离为，球形容器的半径为
则
∴，
∴球心到饭甑底部的距离为
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专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题
【题型归纳目录】
题型一：线线角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：点面距、线面距、面面距
题型五：锥体体积问题
【知识点梳理】
考点一：求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
考点二：异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
考点三：直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
考点四：作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
考点五：求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典型例题】
题型一：线线角
【例1】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为 ．
【变式1-1】（2025·高一·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为 ；（ⅱ）直线与所成的角为 ．
【变式1-2】（2025·高一·浙江湖州·期末）已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是 ．
题型二：线面角
【例2】（2025·高一·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m．
(1)求证：；
(2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值．
【变式2-1】（2025·高一·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与底面所成的角的正切值；
(3)求.
【变式2-2】（2025·高一·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PC与平面所成角的正弦值；
(3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.
题型三：二面角
【例3】（2025·高三·浙江·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，.

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【变式3-1】（2025·高二·江西·开学考试）已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
【变式3-2】（2025·高一·新疆喀什·期中）如图所示，是边长为2的等边三角形，平面，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
题型四：点面距、线面距、面面距
【例4】（2025·高一·河南·期中）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且．
(1)求；
(2)求点到平面的距离．
【变式4-1】（2025·高三·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离.
【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知：
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面的距离.
题型五：锥体体积问题
【例5】（2025·高一·山西阳泉·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
【变式5-1】（2025·高一·福建福州·期中）正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
(1)求该多面体的表面积和体积．
(2)若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积．
【变式5-2】（2025·高一·广东·期中）如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
(1)求正四棱台的体积；
(2)若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
【强化训练】
1．如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为
2．（2025·高二·广西柳州·开学考试）在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为 ．
3．（2025·高一·贵州安顺·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱的中点．

(1)判断点是否在平面内，并说明理由；
(2)求平面与平面ABCD所成的锐二面角的正切值；
(3)求点到平面的距离．
4．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求二面角的正切值.
5．（2025·高一·陕西汉中·期末）在五面体ABCDEF中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
6．（2025·高一·浙江杭州·期末）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点．
(1)求线段的长度；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
7．（2025·高一·河南·期中）伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米.（结果均用含π的最简式表示）
(1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表面全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料
(2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
8．（2025·高一·河南郑州·期中）如图是一个奖杯的三视图，（尺寸如图，单位：cm）试根据奖杯的三视图计算它的

(1)体积；
(2)表面积.（参考数据：，，）
9．（2025·高一·山西·期中）在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高．
(1)求正四棱台的表面积和体积；
(2)在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
10．（2025·高一·广西防城港·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
11．（2025·高一·福建三明·期中）宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作无底的圆台，内部放一个圆形木隔板，盖子也是圆形的木板.其尺寸如下：桶口直径为30cm，桶底直径为24cm，桶高为24cm，桶内深为16cm.
(1)求该饭甑木桶（不含隔板和盖子）的面积；（不计木板的厚度）
(2)若该饭甑装满（盖子刚好与米饭齐平）米饭，求米饭的体积；
(3)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，问：当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度）
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