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专题12 概率的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
题型二：互斥事件、对立事件的判断
题型三：独立事件的判断
题型四：古典概型
题型五：独立事件概率的计算
题型六：概率的综合应用
【知识点梳理】
1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
【典型例题】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
【例1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，
即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生.
故选：D.
【变式1-1】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．与同时发生 B．与不能同时发生
C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生
【答案】D
【解析】两个事件，
则事件表示的含义是事件至少有一个发生，
故选：D．
【变式1-2】（23-24高二上·四川凉山·期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”；
事件B表示“两次都未投中”；
事件C表示“恰有一次投中”；
事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，
故，所以选项A正确；
事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确；
事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；
事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确；
故选：C.
题型二：互斥事件、对立事件的判断
【例2】（2025·高一·广西来宾·期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与独立 D．事件与独立
【答案】C
【解析】由题意可知：，，，
对于A中，因为，所以事件与不可能是互斥，所以A不正确；
对于B中，因为，可能B、C都不发生，别的事件发生，所以与不对立，所以B不正确；
对于C中，因为，，，所以有，
因此事件与独立，所以C正确；
对于D中，因为，，所以，所以，不独立，所以D不正确．
故选：C．
【变式2-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C． D．与相等
【答案】C
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误；
对于C，，C正确；
对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误．
故选：C
【变式2-2】（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
【答案】B
【解析】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确；
对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误．
故选：B．
题型三：独立事件的判断
【例3】（2025·高一·安徽滁州·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件与事件是对立事件
B．事件与事件是相互独立事件
C．事件与事件是互斥事件
D．事件包含于事件
【答案】D
【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种．
表示事件“没有出现1点”，包含,共25种.
表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误．
表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种,
表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误．
由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误．
显然事件包含于事件，故D正确．
综上所得，正确的只有D．
故选：D.
【变式3-1】（2025·高一·湖南株洲·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B相等 B．A与B互斥
C．A与B的样本点个数不相等 D．A与B相互独立
【答案】D
【解析】事件包含样本点（正，正），（正，反），
事件包含样本点（反，正），（正，正），
事件包含样本点（正，正），
对于A，显然A与B不相等，即A错误；
对于B，显然A与B可能同时发生，即B错误；
对于C，A事件与事件包含的样本点数均为2，即C错误；
对于D，因为，所以A与B相互独立，即D正确；
故选：D.
【变式3-2】（2025·高一·山西吕梁·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ）
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥
【答案】D
【解析】对于选项A，当第二次骰子正面向上的数字是时，事件甲与事件乙可以同时发生，所以选项A错误；
对于选项B，抛掷一枚质地均匀的骰子2次，正面向上的数字之和可能是，所以乙丙互斥但不对立；
对于选项C，设事件甲，事件乙发生的概率分别为，事件甲、乙同时发生的概率为，
因为，又，所以，故选项C错误；
对于选项D，因为事件甲与事件乙不能同时发生，所以甲丙互斥，故选项D正确；
故选：D.
题型四：古典概型
【例4】（2025·高一·天津河西·期末）从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为 这个两位数是偶数的概率为
【答案】 /0.36 /0.52
【解析】从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，
因为十位不能为0，则十位共有5种情况，个位有5种情况，
则共有25种情况，
要使两位数是5的倍数，则个位上必须是5或0，且十位不能为0，
若个位上是5，则有4种情况；
若个位上是0，共有5种情况，故共有9种情况，
则这个两位数是5的倍数的概率为.
要使两位数是偶数，则个位上必须是偶数，且十位不能为0，
若个位上是2或4，则有8种情况；
若个位上是0，则有5种情况，则共有13种情况，
则这个两位数是偶数的概率为.
故答案为：；.
【变式4-1】（2025·高一·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 .
【答案】/
【解析】总共个数字，选个，总共种选法，个数之和是偶数，
则为两个奇数一个偶数，共有种选法,
故从这个数中选个不同的数且和为偶数的概率为.
故答案为：.
【变式4-2】（2025·高一·湖北武汉·期末）定义集合，则从A中任选一个元素，它满足的概率是 ．
【答案】
【解析】当时，，有2025种选择，
当时，，分别有2025种选择，
因此从A中任选一个元素，共有种选择，
若，则，此时由得，此时可取0，1，2，
若或3，则，此时由得，此时可取0，1，2，3，
若，则，此时由得，此时可取0，1，2，3，4，
综上可得满足的共有种情况，
故概率为
故答案为：
题型五：独立事件概率的计算
【例5】（2025·高一·江苏无锡·期末）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为两档，当预定A档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（A、档皆可），他预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为 ．
【答案】/0.275
【解析】获得开幕式门票的概率为，
获得赛事门票的概率为，
甲获得开幕式门票和赛事门票共2张门票，且乙获得0张门票或1张门票的概率为
，
甲获得1张门票，且乙获得0张门票的概率为，
故甲获得的门票数比乙多的概率为.
故答案为：
【变式5-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 .
【答案】
【解析】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为，
三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为，
则三人恰好参加同一个社团的概率为.
故答案为：.
【变式5-2】（2025·高一·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元．
【答案】60
【解析】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、
故小王赢的概率为，
若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为，
故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元.
故答案为：.
题型六：概率的综合应用
【例6】（2025·高一·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：
(1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数；
(2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率；
(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售．
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购．
假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？
【解析】（1）设样本的中位数为，
则，
即，解得；
（2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个．
设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D，
质量在内2个水果分别为，
其样本空间可记为
，
共包含20个样本点．
记E：其中恰有一个在内，则
，
则E包含的样本点个数为12，所以；
（3）方案：
收益
元；
方案：低于250克获利元，
不低于250克获利元，
总计元．
因为，所以该生态园选择方案获利更多.
【变式6-1】（2025·高一·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：
A组 11 12 13 14 15 16 17
B组 13 14 16 17 18 15 a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）
【解析】（1）设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，.
由题意，得
由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人＂，
所以甲的康复时间不少于14天的概率是．
（2）设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得
因此．
（3）A组病人康复时间平均数为：，
其方差为：.
B两组病人康复时间平均数为：
其方差为：
依题意：，解得或
【变式6-2】某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数；
(2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）；
(3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得.
的频率为，的频率为，
的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩，
则12人中成绩不低于90分的人数为.
（2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为：
.
的频率为，
的频率为，
设中位数为,则，则，解得，
故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分.
（3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”，
则，
故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为.
【强化训练】
1．（2025·高一·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．
C． D．事件A与事件B相互独立
【答案】D
【解析】易知，同理可得，；
由可得，即，
对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误；
对于B，显然，即B错误；
对于C，由可得，即
所以，即C错误；
对于D，易知，满足独立性定义，即D正确.
故选：D
2．（2025·高一·江苏苏州·期末）长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹 爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇 《认母》篇 《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（ ）
A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D．
【答案】B
【解析】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种，
事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以，
事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以，
，所以M与N不互斥，A错误，D错误；
事件MN共有种，所以，B正确；
因为，所以C错误.
故选：B.
3．（2025·高一·北京朝阳·期末）袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是 ；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是 ．
【答案】 /0.25
【解析】从中随机摸出一个小球，摸到球的标号大于3的概率是；
从中随机摸出两个小球的样本空间，共6个，
摸到球的标号之和为偶数的事件，共2个，
所以摸到球的标号之和为偶数的概率.
故答案为：；
4．（2025·高一·江西新余·期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 ．
【答案】/
【解析】设名女生为，名男生为，
则有，共种抽法，
其中抽到2名男生的抽法有，
所以抽到2名男生的概率为.
故答案为：.
5．（2025·高一·江苏常州·期末）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球、2个黑球．现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前两次摸出的球均为白球的概率为 ．
【答案】/
【解析】因为放回地从袋中依次摸出1个球，则每次取到白球的概率为，
所以前两次摸出的球均为白球的概率为.
故答案为：.
6．（2025·高一·天津南开·期末）高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率为 ．
【答案】/0.5
【解析】除甲外的另3名候选人记为，从4名候选人中选出2名的不同结果为：
A甲，B甲，C甲，AB，AC，BC，共6个，甲被选中的结果有3个，
所以甲被选中的概率为.
故答案为：
7．（2025·高一·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 .
【答案】/0.7
【解析】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8；
正整数7的部分运算过程为，
当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知，
正整数7总的运算次数为；
正整数8的运算次数为3；
正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3，
由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为．
正整数10的运算次数为6；
故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，
从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：
，共种，
其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种，
故运算次数均为偶数的概率为，
故所求概率．
故答案为：．
8．（2025·高一·河南·期中）已知是相互独立事件，且，，则 ．
【答案】0.426
【解析】因为是相互独立事件，所以，
所以．
故答案为：0.426
9．（2025·高一·甘肃甘南·期末）甲 乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 .
【答案】0.34
【解析】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立，
所以所求事件概率为
.
故答案为：0.34
10．（2025·高一·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ．
【答案】0.28
【解析】因为相互独立，
所以.
故答案为：.
11．（2025·高一·黑龙江·期末）一道试题，三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为 ．
【答案】
【解析】设三人独立可解出这道题分别为事件，
则仅有一人解出的概率
.
故答案为：
12．（2025·高一·吉林·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为

【答案】0.752/
【解析】由题意，系统能正常工作的概率为．
故答案为：0.752．
13．（2025·高二·贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
【解析】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；
记“甲进入决赛”为事件，由题知：；
（2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，
由题知：；；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
.
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专题12 概率的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
题型二：互斥事件、对立事件的判断
题型三：独立事件的判断
题型四：古典概型
题型五：独立事件概率的计算
题型六：概率的综合应用
【知识点梳理】
1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
【典型例题】
题型一：随机事件、事件的运算和样本空间
【例1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．与同时发生 B．与不能同时发生
C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生
【变式1-2】（23-24高二上·四川凉山·期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：互斥事件、对立事件的判断
【例2】（2025·高一·广西来宾·期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与独立 D．事件与独立
【变式2-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C． D．与相等
【变式2-2】（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
题型三：独立事件的判断
【例3】（2025·高一·安徽滁州·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件与事件是对立事件
B．事件与事件是相互独立事件
C．事件与事件是互斥事件
D．事件包含于事件
【变式3-1】（2025·高一·湖南株洲·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B相等 B．A与B互斥
C．A与B的样本点个数不相等 D．A与B相互独立
【变式3-2】（2025·高一·山西吕梁·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ）
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥
题型四：古典概型
【例4】（2025·高一·天津河西·期末）从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为 这个两位数是偶数的概率为
【变式4-1】（2025·高一·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 .
【变式4-2】（2025·高一·湖北武汉·期末）定义集合，则从A中任选一个元素，它满足的概率是 ．
题型五：独立事件概率的计算
【例5】（2025·高一·江苏无锡·期末）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为两档，当预定A档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（A、档皆可），他预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为 ．
【变式5-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 .
【变式5-2】（2025·高一·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元．
题型六：概率的综合应用
【例6】（2025·高一·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：
(1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数；
(2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率；
(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售．
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购．
假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？
【变式6-1】（2025·高一·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：
A组 11 12 13 14 15 16 17
B组 13 14 16 17 18 15 a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）
【变式6-2】某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数；
(2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）；
(3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
【强化训练】
1．（2025·高一·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．
C． D．事件A与事件B相互独立
2．（2025·高一·江苏苏州·期末）长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹 爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇 《认母》篇 《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（ ）
A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D．
3．（2025·高一·北京朝阳·期末）袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是 ；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是 ．
4．（2025·高一·江西新余·期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 ．
5．（2025·高一·江苏常州·期末）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球、2个黑球．现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前两次摸出的球均为白球的概率为 ．
6．（2025·高一·天津南开·期末）高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率为 ．
7．（2025·高一·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 .
8．（2025·高一·河南·期中）已知是相互独立事件，且，，则 ．
9．（2025·高一·甘肃甘南·期末）甲 乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 .
10．（2025·高一·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ．
11．（2025·高一·黑龙江·期末）一道试题，三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为 ．
12．（2025·高一·吉林·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为

13．（2025·高二·贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
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