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2024-2025学年第二学期浙江省金华市七年级数学期末模拟训练试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，
经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
为了解某校2000名学生的体重情况，从中抽取了300名学生的体重，则下面说法不正确的是（ ）
A．抽取的300名学生是样本 B．每名学生的体重是个体
C．2000名学生的体重是总体 D．此调查属于抽样调查
7. 已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为10，则a2+b2的值为（ ）
A．37 B．30 C．25 D．13
我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：
“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”
意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，
问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
B．
C． D．
9．关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A． B．4 C． D．2
如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：
①；②平分；③；④．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．要使的值为0，则x的值是 ．
12．如图，将周长为的三角形沿方向平移，得到三角形，
若四边形的周长为，则平移距离为 ．
13．如图，若，则、、之间的关系为 .
甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，
求的值 ．
15．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
16. 如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，
与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，
台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，
此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．
如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．分解因式：
(1)
(2)
（1）解方程组：．
（2）解方程： ．
19. 先化简代数式 ，再选择一个你喜欢的数代入求值．
20. 根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，
我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，
某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，
并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）① 根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
② 若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
如图，点、、分别在直线、、上，交于点，
已知，．
与平行吗？请说明理由；
若，求的度数．
在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，
发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．
借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，
而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．
这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】
根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，
周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
列方程组，解应用题
设计最优订餐方案
素材一 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元．注：米饭2元一份，素菜8元一份．
素材二 天天中餐厅推出多款优惠套餐：小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元；狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元；酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元．
素材三 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元．美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元．现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费．
问题解决
任务一 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？
任务二 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？
任务三 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？
24. 如图1，直线与直线、分别交于点、，．
请直接写出直线与的位置关系___________；
如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧，连接，，
探究，，之间的数量关系．
小明经过分析证明的过程如下：过点作//．
∴_________（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴__________（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．
小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3．
① 若，则_______．
② 探究与的数量关系，小明思路如下：
设，进一步可知_____________（用含的式子表示）．
设．用等式表示与的数量关系___________．
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2024-2025学年第二学期浙江省金华市七年级数学期末模拟训练试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故选C．
2. 已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．把二元一次方程的解代入方程得到k的一次方程，然后解关于k的一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
故选：B．
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、是单项式乘多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，原分解不彻底，故此选项不符合题意；
C、，是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解，故此选项正确，符合题意；
D、，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，
经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
过点O作，然后根据平行线的性质即可得的度数，本题得解．
【详解】解：过点O作，如图：
，
，
，，
，
，
，
即的度数为，
故选：A．
为了解某校2000名学生的体重情况，从中抽取了300名学生的体重，则下面说法不正确的是（ ）
A．抽取的300名学生是样本 B．每名学生的体重是个体
C．2000名学生的体重是总体 D．此调查属于抽样调查
【答案】A
【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解总体、个体、样本、样本容量的意义是正确判断的前提．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．
【详解】解：A、300名学生的体重是所抽取的样本，原说法错误，故A符合题意；
B、每个学生的体重是个体，说法正确，故B不符合题意；
C、2000名学生的体重是总体，说法正确，故C不符合题意；
D、此调查属于抽样调查，说法正确，故D不符合题意．
故选：A．
7. 已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为10，则a2+b2的值为（ ）
A．37 B．30 C．25 D．13
【答案】D
【分析】直接利用完全平方公式进行变形，进而求出答案．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为10，面积为6，
∴a＋b＝5，ab＝6，
则a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝13．
故答案为：D．
我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：
“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”
意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，
问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
9．关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】由分式方程有增根，得到，求出x的值，将原方程去分母化为整式方程，将x的值代入即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，即，
分式方程，
去分母得，
将代入中，
得：，
解得：，
故选：C．
如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：
①；②平分；③；④．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解析：（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴
∴即平分
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
∴
，，所以④错误；
故答案为：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．要使的值为0，则x的值是 ．
【答案】3
【分析】根据分式值为0的条件列式计算即可．
【详解】解：∵的值为0，
∴且，
解得：，
故答案为：3．
12．如图，将周长为的三角形沿方向平移，得到三角形，
若四边形的周长为，则平移距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查图形平移的性质．根据平移的性质得到，，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
由根据平移的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平移的距离为3cm，
故答案为：3．
13．如图，若，则、、之间的关系为 .
【答案】
【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论．
【详解】过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β ∠γ=180°.
甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，
求的值 ．
【答案】1
【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，
正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键．
【详解】解：由题意，是的解
得，
解得．
又是的解
得，解得，
．
15．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
16. 如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，
与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，
台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，
此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．
如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
【答案】 /80度 /20度
【分析】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解；
（2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
过点作，过点作，过点作交于点，
同（1）法可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）提取公因式即可得出答案；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
（1）解方程组：．
（2）解方程： ．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法和步骤．
（1）加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先平方差公式变形，再去分母，解答即可．
【详解】（1）解：，
得：，
即，
把代入得：，
解得，
方程组的解为；
解：
变形为得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
所以分式方程的解为．
19. 先化简代数式 ，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，原式为．
【分析】本题主要考查分式的运算，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键，
根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴当时，原式．
20. 根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，
我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，
某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，
并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为______，其中支持发展经济和就业的民众数为______，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
分析数据
（3）① 根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
② 若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
【答案】（1），，图见解析；（2）；（3）①支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；②该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求扇形圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据的人数和所占的比例即可得出调查的民众人数，从而得出支持发展经济和就业的民众数，再补全统计图即可；
（2）利用乘以类所占的比例即可得出答案；
（3）①根据统计图的相关数据即可解答；②用万人乘以支持改进教育体制与发展经济和就业的人数所占的比例即可得出答案．
【详解】解：（1）调查的民众人数为（人），
支持发展经济和就业的民众数为（人），
补全图1如图所示：
，
故答案为：，；
（2）由题意得：类在扇形统计图中对应的圆心角度数为：；
（3）①由题意得：支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；
②支持改进教育体制的人数为：（万人），
支持发展经济和就业的人数为（万人）
该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人．
如图，点、、分别在直线、、上，交于点，
已知，．
与平行吗？请说明理由；
若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）先证明，得到，进而得到，即可证明；
（2）根据，可得，最后即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），
，
由（1）知，
．
在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，
发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．
借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，
而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．
这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】
根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，
周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10；（4）2
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
列方程组，解应用题
设计最优订餐方案
素材一 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元．注：米饭2元一份，素菜8元一份．
素材二 天天中餐厅推出多款优惠套餐：小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元；狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元；酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元．
素材三 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元．美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元．现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费．
问题解决
任务一 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？
任务二 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？
任务三 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？
【答案】任务一：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；任务二：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．任务三：见详解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键．
任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答．
任务二：与任务一同理，列出方程组，进行解方程，即可作答．
任务三：把到店购买的车费算上，以及把外卖的打包盒以及券的费用考虑，再进行分类讨论，逐一分析作答即可．
【详解】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，
依题意，列式得，
整理得，
解得，
∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，
依题意，，
整理得，
则能整除4，
∴，
此时，
解得，
∴其中鸡腿和狮子头分别是个，
根据优惠套餐：
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，
此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，
即（元），
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．
任务三：设最后两个券膨胀为元，
当刚好美团外卖和到店购买一样省钱，
则美团外卖：，
则到店购买，
当时，解得，
当美团外卖比到店购买省钱，
即，解得，
当到店购买比美团外卖省钱，
即，解得，
综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，
选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱．
24. 如图1，直线与直线、分别交于点、，．
请直接写出直线与的位置关系___________；
如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧，连接，，
探究，，之间的数量关系．
小明经过分析证明的过程如下：过点作//．
∴_________（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴__________（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．
小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3．
① 若，则_______．
② 探究与的数量关系，小明思路如下：
设，进一步可知_____________（用含的式子表示）．
设．用等式表示与的数量关系___________．
【答案】(1)
(2)；
(3)①135°，②，
【分析】（1）根据已知条件可得，根据同位角相等两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质与判定填写证明过程，进而可得；
（3）①②方法一致，过点作，同理可得，由（2）可得，进而可得，根据分别为和的角平分线，得出，即，即可求解．
【详解】（1），
，
；
（2）过点作//．∴（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴（等量代换）．
故答案为：；；
（3）①如图，过点作，
同理可得，
，
，
分别为和的角平分线，
，
，
②设， ，
，
设，
分别为和的角平分线，
，
．
故答案为：，．
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