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2024-2025学年第二学期九年级三模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，，四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B． C． D．
3．若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，过点C作对角线的垂线，垂足为E，连接并延长交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，在中，，点为直角边上的一点，以点为圆心，为半径作半圆，斜边与半圆相切于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．将多项式因式分解得 ．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ．
14．如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为 ．
15．如图，交于点，切于点，点在上，若，则为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A， B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴．若的面积为，则k的值为 ．
17．如图，在矩形中，点E为中点，点F为延长线上一点，连接，连接交于点G，连接并延长，交于点H，连接．若，则的长为 ．
18．如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹．
(1)作的外接圆的直径；
(2)过点B作的外接圆的切线．
20．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
21．（6分）已知、是一元二次方程的两个实数根．
(1)求整数的取值；
(2)若等式成立，求整数的值．
22．（8分）如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接．
(1)求证：；
(2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
23．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，且，过点作的垂线，交的延长线于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，，求的半径．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为．
(1)求直线的解析式与点E的坐标；
(2)连接，，当时，求m的值．
25．（6分）如图，是的直径，点A在上，点C 在的延长线上，，平分交于 点D，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
26．（8分）如图，中，为直径，与相切于点B，交于点E，D为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)（3分）求抛物线的函数解析式；
(2)（3分）P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)（4分）Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
答案
1-5 DBCCC 6-10 BABDC
11． 12． 13． 14． 15． 16．6 17． 18．或
19．（1）如图，直径即为所求；（2）如图，切线即为所求．
AI
20．（1）3；（2）
21．(1)，；(2)
22．（1）由旋转知，，，，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
23．（1）连接，则，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
因为是的半径，
所以与相切；
（2）作，垂足为点，连接，
因为，
所以，
因为，
所以四边形是矩形，
所以，
所以在中，即半径为5．
24．（1）过点B作于点F，
，
，
点A的坐标为，，
，
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，解得，
点E的坐标为．
（2），
，
，
点，
，代入得，
，
代入中，即，
解得．
．
25．（1）连接，
是的直径，
∴，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）
，
，
，
，
连接
平分
，
是的直径，
．
26．（1）∵为的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
（2）∵，O为圆心，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
27．（1） 抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．
（3）抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．

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