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【50道热点题型】浙教版数学八年级下册期末试卷·填空题专练
1．方程的根是　 　．
2．如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是　 　（只填写序号）．
3．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.08米，方差分别是，，则队员身高比较整齐的球队是　 　．
4．如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第　 　步开始出错．（填序号）
解方程：解：…①…②…③
5．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（为常数，）第一象限的图象上，连接．
（1）若，，则　 　；
（2）若，则　 　．
6．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 　 　．
7．毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为　 　．
8．若m、n满足，则的平方根是　 　．
9．如图，在一块长12、宽8的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77，设道路的宽为x，则　 　．
10．如图，A（4，0），B（3，3），以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的表达式为　 　．
11．如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为　 　．
12．三角形的两边长a，b满足，则第三边c的取值范围是　 　．
13．如图，在中，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是　 　．
14．如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
15．如图，在反比例函数（）的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，已知的纵坐标为10．
（1）的值为　 　；
（2）阴影部分的面积的值为　 　；
（3）阴影部分的面积，，，的和为　 　．
16．在实数范围内分解因式：　 　．
17．如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则　 　．
18．关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根，则a的取值范围是　 　.
19．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为　 　．
20．已知：如图，菱形OABC在直角坐标系中，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论，其中正确的结论是　 　．
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②sin∠COA＝；③E点的坐标是（4，8）；④AC+OB＝12．
21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长为　 　.
22．如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 　 　.（填序号）
23．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是　 　．
24．若是方程的一个根，则的值为　 　．
25．已知等式成立，则的值为
26．已知方程x2-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．
27．用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为（x+a）2=b的形式，则a+b的值为　 　
28．如果菱形的两条对角线的长分别为和，且，满足，那么菱形的面积等于　 　．
29．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形；若图象经过点C的反比例函数的解析式是；则图象经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
30．化简　 　．
31．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为　 　．
32．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：
（1）若，，则；
（2）若，则实数x的值为．
33．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是　 　．
34．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简：　 　．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 　 　（写出所有正确结论的序号）．
36．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
37．如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，若，则AE的长为　 　.
38．如图，在中．，D，E，F分别是各边上的中点，则的周长为　 　．
39．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．当矩形的长和宽分别为9，1时，它的“减半”矩形的长为　 　．
40．计算：　 　．
41．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为　 　.
42．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为　 　．
43．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是　 　.
44．如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为　 　．
45．如图，点，都是反比例函数在第二象限的图象上的点，且，则点的坐标为　 　．
46．如图，在边长为的正方形中，以为边向正方形内作等边，点为的中点，点是正方形对角线上的一动点，当周长最小时，　 　.
47．如图，正方形，延长至点E，使，连接平分交于点F，点G为中点，连接与相交于点P．下列结论：
①；②四边形是平行四边形，③；
④是等腰三角形，⑤；⑥，其中结论正确的是　 　（只填写序号）．
48．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为　 　．
49．如图，正方形的边长为4，E是上一点，且，过点E作交点P，过点P作于点G，连接，下列结论：①；②；③；④正确的是：　 　．
50．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为　 　.
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【50道热点题型】浙教版数学八年级下册期末试卷·填空题专练
1．方程的根是　 　．
【答案】，
2．如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是　 　（只填写序号）．
【答案】②
3．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.08米，方差分别是，，则队员身高比较整齐的球队是　 　．
【答案】甲篮球队
4．如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第　 　步开始出错．（填序号）
解方程：解：…①…②…③
【答案】②
5．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（为常数，）第一象限的图象上，连接．
（1）若，，则　 　；
（2）若，则　 　．
【答案】16；7
6．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 　 　．
【答案】2
7．毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设该数学兴趣小组有人，根据题意得，
故答案为：．
【分析】
根据两同学都相互赠送一件礼品，一共30件，列出一元二次方程即可得到答案．
8．若m、n满足，则的平方根是　 　．
【答案】
9．如图，在一块长12、宽8的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77，设道路的宽为x，则　 　．
【答案】
10．如图，A（4，0），B（3，3），以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的表达式为　 　．
【答案】．
11．如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为　 　．
【答案】
12．三角形的两边长a，b满足，则第三边c的取值范围是　 　．
【答案】
13．如图，在中，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是　 　．
【答案】5
14．如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接BE.
根据题意，可设
∵四边形ABCD 是平行四边形，
在 中， 由勾股定理，得
解得 即
故答案为：5.
【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可.
15．如图，在反比例函数（）的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，已知的纵坐标为10．
（1）的值为　 　；
（2）阴影部分的面积的值为　 　；
（3）阴影部分的面积，，，的和为　 　．
【答案】20；10；16
16．在实数范围内分解因式：　 　．
【答案】
17．如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】 四边形是菱形，，
由题意可得CO=CE，
故答案为：121°.
【分析】根据菱形的性质以及求得再由题意可得CO=CE，利用等腰三角形的性质求得最后利用补角的定义即可求解.
18．关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根，则a的取值范围是　 　.
【答案】a≥-4，且a≠0
【解析】【解答】解：由题意知：
且
故答案为：a≥-4且a≠0.
【分析】对于一元二次方程，其二次项系数首先不等于0；另其根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
19．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】x（60-x）＝864
20．已知：如图，菱形OABC在直角坐标系中，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论，其中正确的结论是　 　．
①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②sin∠COA＝；③E点的坐标是（4，8）；④AC+OB＝12．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图所示：
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，解得：，
∴双曲线的解析式为，故不正确；
∵点在双曲线上，且的纵坐标为，
∴，故正确；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，故正确；
在中，，，
∴，
∵，
∴，，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：
【分析】过点作轴于点，先根据点A的坐标得到OA，进而根据菱形的性质结合题意得到，，从而运用勾股定理求出AM，进而求出点D，再根据反比例函数图象上的点结合题意即可判断①；进而即可判断③；再根据菱形的性质结合平行线的性质、锐角三角函数的定义得到，，进而即可判断②；从而根据勾股定理求出OB，再结合题意即可判断④.
21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=8，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴
∵H是DF的中点，
∴DH=FH.
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵∠DPH=∠FCH，∠DHP=∠FHC，DH= FH
∴PDH≌△CFH ( AAS )，
∴PD=CF=4.
∴AP=AD－PD=4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH是△EDC的中位线，
故答案为：.
【分析】接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到AB=AD=BC=8，∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF=4，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
22．如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 　 　.（填序号）
【答案】①③④
23．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是　 　．
【答案】1
24．若是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2
25．已知等式成立，则的值为
【答案】
26．已知方程x2-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵方程x2-mx+3＝0的一个根是1
∴12-m+3＝0
解得：m=4
故答案为：4.
【分析】已知方程的根，可以把x=1，代入方程，解出m即可.
27．用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为（x+a）2=b的形式，则a+b的值为　 　
【答案】5
【解析】【解答】解：∵x2-2x-5＝0，
∴x2-2x=5，
∴x2-2x＋1＝5＋1，
∴（x-1）2＝6，
∴a＝-1，b＝6，
∴a＋b＝5，
故答案为：5．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤分析可得（x-1）2＝6，从而可得a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
28．如果菱形的两条对角线的长分别为和，且，满足，那么菱形的面积等于　 　．
【答案】4
29．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形；若图象经过点C的反比例函数的解析式是；则图象经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
【答案】
30．化简　 　．
【答案】2024
【解析】【解答】解：
故答案为：2024.
【分析】.
31．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为　 　．
【答案】（，2）
32．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：
（1）若，，则；
（2）若，则实数x的值为．
【答案】3,2
33．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是　 　．
【答案】3
34．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简：　 　．
【答案】
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 　 　（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
36．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 设平均每月增长率为x，
根据题意得：
故答案为：.
【分析】设平均每月增长率为x，根据： 4月份租车量×（1+每月增长率）2= 6月份租车量 ，列出方程即可.
37．如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，若，则AE的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，如图所示：
在 ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于 ABCD沿EF对折，
∴∠D'=∠D=∠EBC，∠D'CE=∠A=∠DCB，D'C=AD=BC，
∴∠D'CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D'CF=∠ECB，
在△D'CF与△ECB中， ，
∴△D'CF≌△ECB（ASA），
∴D'F=EB，CF=CE，
∵DF=D'F，
∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，
∵BC=4，∠CBG=60°，
∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2，
∴EG=EB+BG=6﹣x+2=8﹣x
在△CEG中，由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2）2=x2，
解得：x=AE=
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，先利用“ASA”证出△D'CF≌△ECB，可得D'F=EB，CF=CE，再利用等量代换可得DF=EB，AE=CF，设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，利用勾股定理可得（8﹣x）2+（2）2=x2，最后求出x的值即可.
38．如图，在中．，D，E，F分别是各边上的中点，则的周长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在中．，
∴，
∵D，E，F分别是各边上的中点，
∴，，，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求得BC长，然后根据三角形中位线定理求出的各边长解题．
39．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．当矩形的长和宽分别为9，1时，它的“减半”矩形的长为　 　．
【答案】
40．计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】本题考平方差公式、积的乘方；先利用积的乘方得到，再利用平方差公式求解.
41．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为　 　.
【答案】8∶21
【解析】【解答】解：如图，
设长方形①号和②号的长为a，宽为b，
则CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b，
∴⑤号正方形的边长DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b，
长方形③号和④号的宽AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b，
∴大长方形ABCD的宽BC＝AD＝AK＋DK＝a－b＋a＋b＝2a，
∴长方形③号和④号的长AL＝BG＝BC－CG＝2a－b，
∴AB＝AL＋BL＝2a－b＋a－b＝3a－2b，CD＝DE＋CE＝a＋b＋a＝2a＋b
∵大长方形ABCD的长AB＝CD，
∴3a－2b＝2a＋b，
解得：a＝3b，
∴⑤号正方形的边长DK＝a＋b＝4b，
大长方形ABCD的长CD＝2a＋b＝7b，
大长方形ABCD的宽AD＝2a＝6b，
∴⑤中的面积与大长方形的面积之比＝（4b）2∶（6b·7b）
＝16b2∶42b2
＝8∶21，
故答案为：8∶21.
【分析】设长方形①号和②号的长为a，宽为b，则CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b，从而得出⑤号正方形的边长DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b，长方形③号和④号的宽AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b，继而得出大长方形ABCD的宽BC＝AD＝AK＋DK＝2a，长方形③号和④号的长AL＝BG＝BC－CG＝2a－b，根据大长方形ABCD的长AB＝CD，建立方程可得a＝3b，从而得出DK=4b，CD=7b
AD＝6b，分别求出⑤中与大长方形的面积，再求其比值即可.
42．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
43．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2 ，
即DQ+PQ的最小值为2 ，
故答案为2 .
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值.
44．如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
45．如图，点，都是反比例函数在第二象限的图象上的点，且，则点的坐标为　 　．
【答案】
46．如图，在边长为的正方形中，以为边向正方形内作等边，点为的中点，点是正方形对角线上的一动点，当周长最小时，　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，取DC的中点M，连接PM，EM.
∵四边形ABCD为正方形，且边长为
∴BC =CD=，CM=DM=CD=，∠PCM =∠PCF =45°.
∵点F为BC的中点
∴CF=BC== CM.
在△PCM和△PCF中，
∴△PCM≌△PCF（SAS）
∴PM=PF，
∴PE+PF=PE+PM
由两点之间线段最短可知，当点E、P、M共线时，PE+PM取最小值，最小值为EM的长.
∵△CDE是等边三角形，点M是DC的中点，
∴EM⊥CD，DE=CD=，
∴EM=，
即PE+PF的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】取DC的中点M，连接PM，EM，先利用正方形的性质证出△PCM≌△PCF，根据全等三角形的性质可得，PM=PF，再根据两点之间线段最短可得当点E，PM共线时，取得最小值EM，然后利用等边三角形的性质，勾股定理求解即可.
47．如图，正方形，延长至点E，使，连接平分交于点F，点G为中点，连接与相交于点P．下列结论：
①；②四边形是平行四边形，③；
④是等腰三角形，⑤；⑥，其中结论正确的是　 　（只填写序号）．
【答案】①②③④⑤⑥
48．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为　 　．
【答案】﹣．
49．如图，正方形的边长为4，E是上一点，且，过点E作交点P，过点P作于点G，连接，下列结论：①；②；③；④正确的是：　 　．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：① 如图，作EF⊥BD于点F，
在正方形ABCD中，∠ABD=∠CDB=45°
∵∠ABE=75°，
∴∠DBE=30°
在Rt△BEF中，BE=2EF，
在Rt△DEF中，
∴，故①错误；
②连结PC
∵∠C=90°，PG⊥BC
∴PG∥EC
又∵EP∥BC，∠C=90°
∴四边形PGCE为矩形
∴GE=PC
根据正方形的轴对称性，AP=CP
∴AP=GE，故②正确；
③∵AB=4
∴
设EF=x，则DF=EF=x，
∴
∴，故③正确；
④在等腰Rt△BPG中，
在等腰Rt△DPE中，
而
∴
结合②，可得，故④正确.
故答案为：②③④正确.
【分析】综合运用正方形，矩形的性质.①中作辅助线EF⊥BD，目的是将DE和BE通过线段EF建立起联系，因为△BEF和△DEF均为包含特殊角度（30°和45°）的特殊三角形；②中利用正方形的轴对称性，对角线所在直线为正方形的一条对称轴，及矩形对角线相等的性质；③结合①中分析过程，求出线段EF的长度，进而再得到DE的值；④出现线段平方和的关系，首先考虑勾股定理.通过构造包含BP和DP的等腰Rt△BPG和等腰Rt△DPE，将BP2和DP2分别转化为2PG2和2PE2，再利用Rt△EPG将PG2和PE2转化为GE2，结合②的结论，即可得到最终的关系式.
50．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
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