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【50道热点题型】浙教版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位：m)，绘制出如下的统计图1和统计图2．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中a的值为　 　；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．
2．某校八年级(1)班要从班级里数学成绩较优秀的甲、乙两位学生中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，为此，数学老师对两位同学进行了辅导，并在辅导期间测验了6次，测验成绩如下表(单位：分)：
次数， 1， 2， 3， 4， 5， 6
甲， 79， 78， 84， 81， 83， 75
乙， 83， 77， 80， 85， 80， 75
利用表中数据，解答下列问题：
（1）计算甲、乙测验成绩的平均数．
（2）写出甲、乙测验成绩的中位数．
（3）计算甲、乙测验成绩的方差．(结果保留小数点后两位)
（4）根据以上信息，你认为老师应该派甲、乙哪名学生参赛？简述理由．
3．晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长．
4．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点A（-4，2）和B（-2，m），与x轴交于点C．
（1）分别求出这两个函数的表达式．
（2）不等式的解集是　 　．
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，是以为底的等腰三角形，是的角平分线，点E、F分别是的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的两边长为4和6，求的长．
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根.
7．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）请直接写出不等式 的解集，
（3）点P是x轴上的一点，若 的面积是6，求点P的坐标．
8．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园 若能求出 BC长；若不能，说明理由．
9．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A（1.2），B（n，-1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是5，求点P的坐标．
10．如图，已知四边形 为平行四边形， 、 分别平分 和 ，交 于点 、 ，连接 、 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：四边形 是平行四边形．
11．如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
12．如图，平行于 轴的直尺（一部分）与双曲线 （ ）交于点 和 ，与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
（1）求 点的坐标；
（2）求双曲线 的解析式；
（3）若经过 ， 两点的直线解析式为 ，请直接写出关于 的不等式 解集．
13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
14．东京奥运会上，射击运动员杨倩获得了中国代表队的首枚金牌，激发了人们对射击运动的热情.李雷和林涛去射击场馆体验了射击，两人的成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数 命中次数
5环 2
6环 1
7环 3
8环 3
9环 1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 众数（单位：环）
李雷 7 7
林涛 7
（2）请计算李雷和林涛的射击成绩的方差.
（3）你认为谁的射击成绩更好？请写出一条理由（合理即可）.
15．已知 ，，分别求下列代数式的值：
（1）a2-b2；
（2）a2-2ab+b2．
16．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值.
17．如图，反比例函数与一次函数的图象关于 和 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求 的面积．
18．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
19．我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为　 　，图2中m的值为　 　；
（2）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？
20．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）直接写出y与的函数关系式________（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？
22．2020年2月12日，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求.某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个平行班（前进班和奋斗班）的学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习.经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个平行班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：
前进班：94，85，73，85，52，97，94，66，95，85
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84
整理数据：
x（分）人数班级
前进班 1 1 a 3 b
奋斗班 1 0 0 7 2
分析数据：
平均数 众数 中位数 方差
前进班 82.6 85 c 194.24
奋斗班 82.6 d 84 132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）已知小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由.
23．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：　 　，　 　；
（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
24．如图，在与中，，，点是边上的一点，且．连接，过点交作交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）判断四边形的形状，并证明你的结论．
25．某企业在2024年1至3月的利润情况见表．
月份数（x） 1 2 3
利润数（y）（万元） 96 ？ 100
（1）如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润；
（2）这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率．
26．2020年疫情期间，某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
27．某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图象是一条线段，如图所示．
（1）该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
（2）在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
28．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
29．已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
30．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向栽出一块面积为的长方形纸片且长方形纸片的长宽之比为5：3．
（1）求正方形纸片的边长；
（2）小丽能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，求出长方形纸片的长与宽；若不能，请说明理由．
31．云南漫山遍野的春花吐蕊，香椿、金雀花、棠梨花等琳琅满目，令人垂涎，某餐馆计划用6000元购进香椿和5400元购进金雀花两种食材共计160千克，已知每千克金雀花的进价比每千克香椿的进价贵30元．请你分别计算出香椿和金雀花每千克的进价．
32．如图，菱形 中， 与 交于点 ，．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连结 ，交 于点 ，连结 ．若 ，求 长．
33．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度 （微克/毫升）与用药的时间 （小时）变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段 和部分双曲线 组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段 和部分曲线 组成，其中 与 平行.血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效.
（1）分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
（2）受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗
（3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药
34．因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈.2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次， 2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯．
（1）求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？
35．如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
36．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，
∴，
∴，，∴，
∴．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①化简，求的值；
②求的值．
37．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为　 　米 （用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是40元/米 ．修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积 之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程 有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
38．如图， 、 、 分别是 各边的中点，连接 、 、 .
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）加上条件 ▲
后，能使得四边形 为菱形，请从① ；② 平分 ；③ ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明.
39．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．
求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
40．某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
41．三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．
（1）请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：　 　．
（2）根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．
42．如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形.
（1）正方形OCMD的边长为　 　.
（2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）.
①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
43．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P，Q的运动时间为t（秒）.
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由.
44．在正方形 中， 为对角线 上任意一点（不与 重合）连接 ，过点M作 交 （或 的延长线）于点N，连接 ．
感知：如图①，当M为 中点时，容易证 （不用证明）；
（1）探究：如图②，点M为对角线 上任意一点（不与 重合）请探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
（2）应用：
直接写出 的面积S的取值范围　 　；
（3）若 ，则 与 的数量关系是　 　．
45．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为(不含双曲线与坐标轴)．
（1）求的值；
（2）求内整点的个数；
（3）设点在直线上，过点分别作平行于轴轴的直线，交双曲线于点，记线段、双曲线所围成的区域为，若内部(不包括边界)不超过8个整点，求的取值范围．
46．已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．
（1）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（2）若OP=4 ，求OA的长．
（3）求OC的最大值（提示：取AB的中点Q，连接CQ、OQ，运用两点之间，线段最短）
47．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则 =
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于x，y的方程组 的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k，使得y1y2﹣ =2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由.
48．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
49．已知，如图1，正方形和正方形，三点A、B、E在同一直线上，连接和，
（1）判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由．
（2）将正方形，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和．
50．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作 EBFH．
（1）证明： EBFH是菱形；
（2）（如图2）若∠ABC＝90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB＝10，AD＝6，M是EF的中点，求CM的长．
（3）（如图3）若∠ABC＝60°，连结HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
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【50道热点题型】浙教版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位：m)，绘制出如下的统计图1和统计图2．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中a的值为　 　；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．
【答案】（1）25
（2）解：观察条形统计图，
=1.61
∴这组数据的平均数是1.61.
∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，这组数据的众数是1.65.
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是
1.60，有
∴这组数据的中位数是1.60.
（3）能
【解析】【解答】解：（1）1-20%-30%-15%-10%=25%，所以a%是25%，a的值为25.
故答案为：25.
（3）成绩为1.65m的人数是6人，成绩为1.70m的人数是3人，一共刚好是9人，所以成绩为1.65m的运动员能进入复赛。
故答案为：能.
【分析】（1）扇形统计图中，所有百分数的和为1，分别减去其他扇形所占的百分比，即可得出a的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算求解；
（3）由高到低数出9个人，第9个人的成绩刚好是1.65m，从而作出判断。
2．某校八年级(1)班要从班级里数学成绩较优秀的甲、乙两位学生中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，为此，数学老师对两位同学进行了辅导，并在辅导期间测验了6次，测验成绩如下表(单位：分)：
次数， 1， 2， 3， 4， 5， 6
甲， 79， 78， 84， 81， 83， 75
乙， 83， 77， 80， 85， 80， 75
利用表中数据，解答下列问题：
（1）计算甲、乙测验成绩的平均数．
（2）写出甲、乙测验成绩的中位数．
（3）计算甲、乙测验成绩的方差．(结果保留小数点后两位)
（4）根据以上信息，你认为老师应该派甲、乙哪名学生参赛？简述理由．
【答案】（1）解： ＝ =80(分)，
＝80(分)．
（2）解：甲、乙测验成绩的中位数都是80分
（3）解：s甲2＝ [(79－80)2＋(78－80)2＋(84－80)2＋(81－80)2＋(83－80)2＋(75－80)2]≈9.33，
s乙2＝ [(83－80)2＋(77－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2＋(75－80)2]≈11.33
（4）解：结合以上信息，应该派甲去，因为在平均数和中位数都相同的情况下，甲的测验成绩更稳定．
【解析】【分析】中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处在中间位置的数是中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数的平均数为这组数据的中位数；
平均数定义：一般地，对于n个数那么=叫做这n个数的算数平均数，简称平均数。
方差定义：各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做方差。
3．晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长．
【答案】边长为．
4．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点A（-4，2）和B（-2，m），与x轴交于点C．
（1）分别求出这两个函数的表达式．
（2）不等式的解集是　 　．
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入，得，
反比例函数表达式为，
把代入，，
，
把、代入，得，
解得，
一次函数表达式为.
（2）或
（3）解：设，
当时，，
，
，
，，
当时，
，解得，
，
当时，
，解得，
，
当时，
，解得，
，
综上所述：、、.
【解析】【解答】解：(2)观察图象可知，当时，或，
故答案为：或.
【分析】(1)先利用点A坐标求出反比例函数解析式，进而得到点B坐标，再将A、B坐标代入一次函数表达式利用待定系数法求解.
(2)利用图象求取值范围，本题易错点在于反比例函数中x值自带取值范围，需要考虑.
(3)根据题意可知四边形的顶点顺序是不固定的，所以点P所对的顶点有3种可能，先通过一次函数解析式求得点C坐标，再利用平行四边形的性质得到对角线具有公共中点，然后通过中点公式计算点P坐标.
5．如图，是以为底的等腰三角形，是的角平分线，点E、F分别是的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的两边长为4和6，求的长．
【答案】（1）证明：∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∵是的角平分线，
∴D为中点，
∵E为中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵，为的角平分线，
∴，
当时，，
在中，，
当时，，
在中，
综上，的值为或．
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质即可得到，再根据角平分线的性质结合三角形中位线的性质即可得到，，同理，，进而根据平行四边形的判定与菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质即可得到，再进行分类讨论结合勾股定理即可求解。
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根.
【答案】（1）解：由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞ .
（2）解：若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.
【解析】【分析】（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可；（2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.
7．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）请直接写出不等式 的解集，
（3）点P是x轴上的一点，若 的面积是6，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点 、 是一次函数 与反比例函数 图象的交点．
∴将 代入 ，得 ，
即反比例函数表达式为： ，
将 代入 ，得 ，
∴点B坐标为 ，
将 、 代入 中，得
解得
即一次函数表达式为 ．
（2）解：当 或 时，kx+b＜ ，
∴不等式kx+b＜ 的的解集为： 或 ．
（3）解：如图，直线AB交x轴于点C，连接AP、BP，
∵点C是直线AB与x轴的交点，
∴由 ，解得 ．
即点C坐标为 ，
∵点P是x轴上的一点，设点P坐标为 ，
∴ ，△ABP=S△ACP+S△BCP
∴ ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【解析】【分析】 (1) 利用待定系数法可求得反比例函数函数解析式，然后将点 代入反比例函数解析式可求n得值，再将A，B坐标代入一次函数解析式即可求解；
(2)结合函数图象可直接得出结论；
(3)首先求出直线与x轴交点C的坐标，连接AP、BP，设点P坐标为 ，然后结合A，B，P坐标利用 S△ABP=S△ACP+S△BCP即可求出结果。
8．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园 若能求出 BC长；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 （60﹣x+2）x＝300， 再解方程即可；
（2）先求出 （60﹣x+2）x＝500， 再求解即可。
9．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A（1.2），B（n，-1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是5，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将点A（1，2）代入 ，得：m=2，
∴ ，
当y=-1时，x=-2，
∴B（-2，-1），
将A（1，2）、B（-2，-1）代入y=kx+b，
得： ，
解得 ，
∴y=x+1；
∴一次函数解析式为y=x+1，反比例函数解析式为y= ；
（2）解：在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
解得x=-1，
∴C（-1，0），
设P（m，0），
则PC=|-1-m|，
∵S△ACP= ×2PC=5，
∴|-1-m|=5，
解得m=4或m=-6，
∴点P的坐标为（4，0）或（-6，0）．
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标，求出反比例函数解析式再求出点B的坐标，进而根据点A、B坐标，可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式，求出点C的坐标，再设P（m，0），则PC=|-1-m|，根据三角形面积公式列方程，求出m的值即可得出答案。
10．如图，已知四边形 为平行四边形， 、 分别平分 和 ，交 于点 、 ，连接 、 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形
【解析】【分析】（1）四边形 是平行四边形，∴ ，即可得出 的度数；
（2）四边形 是平行四边形，证出 ．得出 ， ， ， ，即可证出四边形 是平行四边形．
11．如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：(30-2x)a+(30-3x)a=850，
∵，
∴(30-2x)(20-x)+(30-3x)(20-x)=850，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
【解析】【解答】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
【分析】（1）结合图形可得荒地的长=两个矩形的宽+三个通道的宽，据此建立等式，再变形为用含x的式子表示a即可；
（2）结合图形，利用平移的相似可得空白部分的面积=一个长为(30-2x)m、宽为a的矩形的面积+长为(30-3x)、宽为a的矩形的面积，再结合（1）的结论，可得关于字母x的方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
12．如图，平行于 轴的直尺（一部分）与双曲线 （ ）交于点 和 ，与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
（1）求 点的坐标；
（2）求双曲线 的解析式；
（3）若经过 ， 两点的直线解析式为 ，请直接写出关于 的不等式 解集．
【答案】（1）解：∵ ，平面直角坐标系内一个单位长度为 ，
∴A点横坐标为2，
∵点 和 的刻度分别为 和 ，
∴AB=5-2=3（cm）
∴A点纵坐标为3，
A点坐标为：
（2）解：将 点坐标代入 中，得： ，
解得， ，
∴双曲线的解析式为
（3）解：∵直尺的宽度为 ，
∴C点横坐标为4，代入 得， ，
，
C点坐标为（4， ），
不等式 ，
移项得， ，
就是比较一次函数 与反比例函数 函数值大小，
由图象可知，
在A点左侧，y轴右侧，或在B点右侧符合题意，
故关于 的不等式 的解集是 或
【解析】【分析】（1）先求出 A点横坐标为2， 再求出 A点纵坐标为3， 即可求出点A的坐标；
（2）将A点的坐标代入，利用待定系数法计算求解即可；
（3）先求出 ， 再结合点的坐标和函数图象求解即可。
13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1-x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）解：小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程5（1-x）2=3.2，再求解即可；
（2）先分别求出方案一和方案二的费用，再比较大小即可。
14．东京奥运会上，射击运动员杨倩获得了中国代表队的首枚金牌，激发了人们对射击运动的热情.李雷和林涛去射击场馆体验了射击，两人的成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数 命中次数
5环 2
6环 1
7环 3
8环 3
9环 1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 众数（单位：环）
李雷 7 7
林涛 7
（2）请计算李雷和林涛的射击成绩的方差.
（3）你认为谁的射击成绩更好？请写出一条理由（合理即可）.
【答案】（1）解：如图所示，
平均数（单位：环） 中位数（单位：环） 众数（单位：环）
李雷 7 7 7，8
林涛 7 8 8
（2）解：李雷的射击成绩的方差为：
；
林涛的射击成绩的方差为：
（3）解：李雷的射击成绩更好.
理由：李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更小，波动更小，成绩更稳定.（答案不唯一，合理即可）
【解析】【分析】（1）根据中位数及众数的定义分别求解即可；
（2）根据方差公式分别计算出李雷和林涛的方差即可；
（3）根据中位数、众数、方差等方面进行分析即可（答案不唯一）.
15．已知 ，，分别求下列代数式的值：
（1）a2-b2；
（2）a2-2ab+b2．
【答案】（1）解：∵，，
∴a+b＝+（）＝6，
a-b＝-（）＝4，
∴a2-b2＝（a+b）（a-b）＝6×4＝24
（2）解：a2-2ab+b2＝（a-b）2＝（4）2＝32
【解析】【分析】（1）利用a，b的值，求出a+b、a-b的值，再利用因式分解法代数式转化为a2-b2＝（a+b）（a-b），整体代入求值.
（2）利用完全平方公式可得到a2-2ab+b2＝（a-b）2，然后代入求值.
16．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系可得：
由 ，得 ，解得 .
【解析】【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到 ，代入 ，得到关于m的方程，然后解方程即可.
17．如图，反比例函数与一次函数的图象关于 和 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求 的面积．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为：
∵把 代入 得： ，
∴反比例函数的解析式是 ，
∵把 代入 得： ，
∴B的坐标是 ，
设一次函数的解析式为：
∵把点A、B的坐标代入 得： ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为
（2）解：直线AB交y轴于C，
∵把 代入 得： ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）先求出直线与y轴的交点C的坐标，再利用割补法求解三角形的面积即可。
18．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
【答案】（1）解：当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，∵点（1，180）在该函数图象上，∴180＝，得k＝180，∴y＝，当x＝4时，y＝＝45，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）解：设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，∴，解得，∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，，解得2≤x≤7∵x为正整数，∴x＝2，3，4，5，6，7，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 y＝， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15， 最后求解即可。
19．我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为　 　，图2中m的值为　 　；
（2）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？
【答案】（1）50；28
（2）解：本次调查获取的样本数据的平均数是： ＝10.66（分），
众数是12分，中位数是11分
（3）解：800×32%＝256（人），
答：我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有256人.
【解析】【解答】解：（1）本次抽取到的学生人数为：4÷8%＝50，m%＝1﹣8%﹣10%﹣22%﹣32%＝28%，
故答案为：50，28；
【分析】（1）由8分的人数及其所占的百分比即可求出总人数，再根据百分比的概念即可求解；
（2）依据平均数、众数、中位数的定义和统计图中的数据即可求解；
（3）由总人数×样本中12分人数所占的百分比即可求解.
20．若b= -a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a，b满足 ，试求x的值．
【答案】（1）解：∵b= -a+ 10，
∴ab=10，b=-a+10，∴a+b= 10．
（2）解：∵a，b满足x2- =0∴x2=
∴x2= = =8，∴x=±
【解析】【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出ab的值，再代入条件，即可求出a+b的值；
(2)根据条件把x2用含a、b的代数式表示，然后利用完全平方式变形，再代值计算，最后求平方根即可.
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）直接写出y与的函数关系式________（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？
【答案】（1）
（2）当天玩具的销售单价是35元或25元
22．2020年2月12日，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求.某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个平行班（前进班和奋斗班）的学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习.经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个平行班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：
前进班：94，85，73，85，52，97，94，66，95，85
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84
整理数据：
x（分）人数班级
前进班 1 1 a 3 b
奋斗班 1 0 0 7 2
分析数据：
平均数 众数 中位数 方差
前进班 82.6 85 c 194.24
奋斗班 82.6 d 84 132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）已知小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由.
【答案】（1）
（2）解：小林同学是奋斗班的学生.
理由：∵前进班和奋斗班成绩的中位数分别为85分和84分，小林同学的成绩在班级处于中上水平，必大于中位数，
∴他是奋斗班的学生；
（3）解：从平均数看，两班学习效果相同；从众数和中位数看，前进班都比奋斗班高，可见前进班高分段人数多；但从方差看，前进班方差远超奋斗班，说明前进班虽然高分段学生多，但成绩差异大，两极分化明显，而奋斗班学生成绩分布较为集中.（答案不唯一，合理即可）
【解析】【解答】解：(1)由前进班的成绩可判断在段的有1人，在段的有4人，故；
把前进班的数据从小到大排列： 52，66，73，85，85，85， 94，94，95， 97，中间两个数是85和85，则；
奋斗班的数据中出现次数最多的是84，则；
【分析】（1）根据收集数据数出a、b的值；根据众数与中位数的定义求出c、d的值；
（2）根据中位数判断即可；
（3）从平均数、众数、中位数、方差四个方面分析即可.
23．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：　 　，　 　；
（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】（1）3；π-3
（2）解：由数轴得：a＜b＜0＜c，∴c-a＞0，b-c＜0，∴=-（c-a）+c-b=-c+a+c-b=a-b
【解析】【解答】解：（1）解：
=3=|3-π|=π-3故答案为：3；π-3．
【分析】（1）利用二次根式的性质求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再结合数轴去掉绝对值，最后合并同类项即可。
24．如图，在与中，，，点是边上的一点，且．连接，过点交作交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵．即∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，，
∴；
（2）解：四边形MBDE为平行四边形，证明如下：
∵，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB，
∴∠ACE =∠ACB，
∵ME∥BC，
∴∠AC B =∠EMC，
∴∠EMC=∠ACE，
∴ME=CE，
∴BD=ME，
又∵BD∥ME，
∴四边形MBDE为平行四边形．
【解析】【分析】（1） 由，可推出∠BAD=∠CAE，根据SAS证明；
（2） 四边形MBDE为平行四边形，证明：由可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出BD=ME，由BD∥ME，根据平行四边形的判定即证.
25．某企业在2024年1至3月的利润情况见表．
月份数（x） 1 2 3
利润数（y）（万元） 96 ？ 100
（1）如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润；
（2）这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率．
【答案】（1）这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元
（2）这个企业4、5月份的利润增长率为
26．2020年疫情期间，某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【答案】（1）解：设增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.42，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这个增长率为10%．
（2）解：2.42×（1+10%）＝2.662（万人次）．
答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
【解析】【分析】（1）设增长率为x，根据第一批公益课受益学生人次×（1+增长率）2=第三批公益课受益学生人次，列出方程并解之即可；
（2）根据第三批公益课受益学生人次×（1+增长率）进行计算即可.
27．某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图象是一条线段，如图所示．
（1）该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
（2）在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
【答案】（1）销售价格应定为90元千克
（2）平均每次降价的百分比是
28．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠BAE=∠BCF，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
在△BEA和△BFC中，
，
∴△BEA≌△BFC（AAS），
∴BE=BF；
（2）解：∵菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
∴，∠AOD=90°，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△BEA≌△BFC，再利用全等三角形的性质可得BE=BF；
（2）先利用勾股定理求出AD的长，再利用菱形的面积可得，最后将数据代入求出即可。
29．已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴与相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴（SSS）；
（2）解：、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【解析】【解答】解：(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，
∴，
∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）先求出AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
30．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向栽出一块面积为的长方形纸片且长方形纸片的长宽之比为5：3．
（1）求正方形纸片的边长；
（2）小丽能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，求出长方形纸片的长与宽；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设长方形的长为，则宽为，
根据题意得 ，
解得或（不合题意，舍去），
则，．
答：长方形纸片的长为，宽为；
（2）解：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：
∵正方形的面积为，
∴边长为，
∵ ，
∴不能剪出符合要求的纸片．
【解析】【分析】（1）设长方形的长为，则宽为，根据长方形的面积公式结合题意即可求解；
（2）小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，进而根据正方形的面积公式即可求出边长，进而即可求解。
31．云南漫山遍野的春花吐蕊，香椿、金雀花、棠梨花等琳琅满目，令人垂涎，某餐馆计划用6000元购进香椿和5400元购进金雀花两种食材共计160千克，已知每千克金雀花的进价比每千克香椿的进价贵30元．请你分别计算出香椿和金雀花每千克的进价．
【答案】每千克香椿的进价是60元，则每千克金雀花的进价是90元．
32．如图，菱形 中， 与 交于点 ，．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连结 ，交 于点 ，连结 ．若 ，求 长．
【答案】（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= ，
∵
∴DE=OA，
∵DE∥AC，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形DOCE是矩形
（2）∵四边形 是矩形
∴∠ACE=90°，
∵OF∥CE，O是AC中点，
∴F为AE中点，
∴CF=AF=EF，
∵CF=CE=1，
∴ AF=EF =1，
∴AE=2．
在Rt 中，
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA=OC= ，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到CF=AF=EF，再根据勾股定理即可得到结论．
33．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度 （微克/毫升）与用药的时间 （小时）变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段 和部分双曲线 组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段 和部分曲线 组成，其中 与 平行.血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效.
（1）分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
（2）受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗
（3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药
【答案】（1）解：把点 代入双曲线 的解析式 得， ，
双曲线 的函数解析式 ，
当 时， ，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升，
设直线 的解析式为 ，把点 代入 得， ，
∵OA与BC平行，
∴直线 、OB的解析式中的k一样，
设直线 的解析式为 ，把点 代入得 ，
直线 的函数解析式 ，
当 时， ，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升；
（2）解：当 时，若 ，则 ，解得 ，
当 时，若 ，则 ，解得 ，
.
这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时；
（3）解：把点 代入 得， .
曲线 的函数解析式为 ，当 时， ， .
∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药.
【解析】【分析】（1） 把点 代入中，求出k=48，可得，将x=16代入解析式中求出y值即可；利用待定系数法求出直线OA为：y=x，根据直线平行可设直线BC为y=x+b，将B坐标代入求出b值，然后将x=22代入求出y值即可；
（2）将y=5代入y=x中，求出，将y=5代入中，求出，求出 的值，再与6比较即可 ；
（3）先求出直线CD解析式，再求出y=4时x值，利用64-16即可得解.
34．因地域特色鲜明、政府推动与支持、文化创新与传播以及旅游体验提升，哈尔滨在2024年冰雪节爆火出圈.2022年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客80万人次， 2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客万人次．哈尔滨美食无数，一家餐厅推出了一款新颖的饮品——冻梨汁．经测算，该冻梨汁成本价为每杯6元，借鉴以往经验：每杯卖25元，平均每天可销售300杯，若价格每降低1元，则平均每天多销售30杯．
（1）求2022年1月份至2024年1月份哈尔滨冰雪大世界累计接待游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护哈尔滨城市形象，餐厅规定每杯冻梨汁售价不得超过20元，则当每杯冻梨汁售价定为多少元时，餐厅才能实现每天利润6300元？
【答案】（1）
（2）元
35．如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
36．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，
∴，
∴，，∴，
∴．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①化简，求的值；
②求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②由①知，
．
【解析】【分析】（1）先利用分母有理化化简，再计算即可；
（2）先利用分母有理化化简可得，再将a的值代入①②的代数式求解即可。
37．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为　 　米 （用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是40元/米 ．修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积 之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程 有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
【答案】（1）4a2-320a+6000
（2）解：由已知可列式：100×60-（100-2a）（60-2a）= ×100×60，
解得：a1=5，a2=75，
所以通道的宽为5米
（3）解：∵方程 x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根，
∴△=a2-25a+150=0，
解得：a1=10，a2=15，
∵5≤a≤12，
∴a=10．
设修建的花圃的造价为y元，y=55.625S；
当a=10时，S花圃=80×40=3200（m2）；y花圃=3200×55.625=178000（元），
S通道=100×60-80×40=2800（m2）；y通道=2800×40=112000（元），
造价和：178000+112000=290000（元）．
【解析】【解答】解：（1）由图可知，
花圃的面积为（100-2a）（60-2a）=4a2-320a+6000；
【分析】（1）用含a的式子先表示出 花圃 的长和宽，利用其面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占的面积是整个长方形空地面积的 ， 列出方程进行计算即可；
（3）由方程 x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根，得出△=a2-25a+150=0， 解之得出a的所有值，由 5≤a≤12， 即可得出a的值。
38．如图， 、 、 分别是 各边的中点，连接 、 、 .
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）加上条件 ▲
后，能使得四边形 为菱形，请从① ；② 平分 ；③ ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明.
【答案】（1）证明：已知 、 是 、 中点
∴
又∵ 、 是 、 的中点
∴
∵
∴
∴四边形 为平行四边形
（2）解：②或③；证明：选② 平分
∵ 平分
∴
又∵平行四边形
∴
∴
∴
∴平行四边形 是菱形
选③
∵ 且
且
又∵
∴
∴平行四边形 为菱形
故答案为：②或③
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证；
（2）若选②，利用（1）结论，只需再证明一组邻边相等（AF=EF）即证平行四边形 是菱形；若选③，可求出EF=DE，根据邻边相等的平行四边形是菱形即证.
39．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．
求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ AE＝BF，
∴AB-AE=AB-BF，
即AF=BE，
在△BCE和△ADF中，，
∴△BCE≌△ADF（SSS），
（2）解：由（1）知△BCE≌△ADF
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形；
【解析】【分析】（1）运用平行四边形的性质结合全等三角形的判定和性质即可求出△BCE≌△ADF（SSS）
（2）由（1）可得∠A=∠B=90°，根据矩形的判定即可求解；
40．某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
41．三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．
（1）请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：　 　．
（2）根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．
【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
（2）解：已知：DE是△ABC的中位线。求证：DE∥BC，DE=BC
证明：延长DE至点F，使得DE=EF，连接CF。
∵AE=CE，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CEF
∴AD=CF，∠ADE=∠CFE
∴AD∥CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴四边形BCFD为平行四边形
∴DE∥BC，DE=BC。
【解析】【解答】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
【分析】（1）根据所学知识，写出三角形的中位线定理即可。
（2）利用SAS证明△ADE≌△CEF，进而得到AD∥CF，即BD∥CF。结合AD=BD、AD=CF可得BD=CF，即可判断四边形BCFD为平行四边形，所以可证DE∥BC，DE=BC。
42．如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形.
（1）正方形OCMD的边长为　 　.
（2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）.
①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
【答案】（1）2
（2）①
②解：∵S正方形EFGH＝4，且正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分，
∴两部分的面积分别为1和3， 当0＜a≤2时，
如图1所示：
∵直线AB的解析式为y＝4 x， ∴∠BAO＝45°，
∴△MNG为等腰直角三角形，
∴NG＝GM，
∴ NG2＝1， NG＝ ，即a＝ ， 当2＜a＜4时，
如图2所示：
∵∠BAO＝45°，
∴△ENA为等腰直角三角形，
∴EN＝EA，
∴ EA2＝1，
解得：O′A＝ ，
∵将y＝0代入y＝4 x得；4 x＝0，解得；x＝4，
∴OA＝4，
∴OE＝4 ，即a＝4 .
综上所述，当平移的距离为a＝ 或a＝4 时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分.
【解析】【解答】解：（1）设OC＝x，则CM＝4 x.
∵四边形OCMD为正方形，
∴OC=CM，即x=4-x，解得x=2.
故正方形OCMD边长为2.
故答案为：2；
（2）①如图，
∵直线AB的解析式为y＝4-x，
∴移动过程中正方形被分割出的 等腰直角三角形，
故OE=NG，
当a＝1，即OE=1时，NG＝1，
∴S△MNG＝ NG2＝ ，
由（1）知：正方形EFGH的面积为：22＝4，
∴正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积＝4 ＝ ；
故答案为： ；
【分析】（1）设OC＝x，则CM＝4 x.然后依据四边形OCMD为正方形，得OC=CM，即可求解；
（2）①利用面积之差即可得出结论；
②当四边形为OCMD为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离.
43．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P，Q的运动时间为t（秒）.
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，过点Q作QE⊥AD于E，
当t＝2时，AP＝6，BQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
又∵QE⊥AD，
∴四边形ABQE是矩形，
∴QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，
∴EP＝AP﹣AE＝6﹣2＝4，
∴PQ＝＝＝5；
（2）解：如图2，
∵AD//BC，
∴∠CQM＝∠DPM，
∵点M是CD中点，
∴CM＝DM，
又∵∠DMP＝∠CMQ，
∴△DMP≌△CMQ（AAS），
∴CQ＝DP，
∴6﹣t＝3t﹣6，
∴t＝3；
（3）解：存在，
由题意可得：AP＝3t，
若AP＝AQ时，则9t2＝，
∴t＝（负值舍去），AP＝，△APQ的面积为：；
若AP＝PQ时，9t2＝，
∴t＝（负值舍去），AP＝，△APQ的面积为：；
若AQ＝PQ时，＝，
∴t＝0（不合题意舍去），
综上所述：当t＝或时，△APQ为等腰三角形，△APQ的面积为或.
【解析】【分析】（1）过点Q作QE⊥AD于E，当t＝2时，AP＝6，BQ＝2，根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，则EP＝AP-AE＝4，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据平行线的性质可得∠CQM＝∠DPM，证明△DMP≌△CMQ，得到CQ＝DP，据此求解；
（3）由题意可得：AP＝3t， 然后分AP=AQ；AP=PQ；AQ=PQ，求出t的值，进而可得△APQ的面积.
44．在正方形 中， 为对角线 上任意一点（不与 重合）连接 ，过点M作 交 （或 的延长线）于点N，连接 ．
感知：如图①，当M为 中点时，容易证 （不用证明）；
（1）探究：如图②，点M为对角线 上任意一点（不与 重合）请探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
（2）应用：
直接写出 的面积S的取值范围　 　；
（3）若 ，则 与 的数量关系是　 　．
【答案】（1）解：探究；如图，
过M分别做ME//AB交BC于E，MF//BC交AB于F．
则四边形BEMF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC= ，∠ABD=∠CBD=∠BME=
∴ME=BE
∴平行四边形BEMF是正方形
∴ME=MF
∵CM⊥MN
∴∠CMN=
∴∠FME=
∴∠CME=∠FMN
∴△MFN≌△MEC（ASA）
∴MN=MC
（2）9≤S＜18
（3）AN=6BN
【解析】【解答】解：（2）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大为18.
当DM=BM时，△CNM的面积最小，最小值为9
综上所述：9≤S＜18
（3）如图所示
由（2）得FM//AD，EM//CD，
∴
∵AN=BC=6
∴AF=3.6，CE=3.6
∵△MFN≌△MEC
∴FN=EC=3.6
∴AN=7.2，BN=7.2-6=1.2
∴AN=6BN．
【分析】探究：如图，过M分别做ME//AB交BC于点E，MF//BC交AB于点F，证明△MFN≌△MEC即可解决．（2）求出△MNC面积的最大值以及最小值便可解决．（3）利用平行线分线段成比例定理求出AN，BN即可解决．
45．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为(不含双曲线与坐标轴)．
（1）求的值；
（2）求内整点的个数；
（3）设点在直线上，过点分别作平行于轴轴的直线，交双曲线于点，记线段、双曲线所围成的区域为，若内部(不包括边界)不超过8个整点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵经过点A(2，2)，
∴，
∴，
（2）解：对于双曲线 ，
当时，y=4，
在直线上，当0时，有整点（1，1）、（1，2）、（1，3），
当时，，
在直线上，当0时，有整点（2，1），
当时，，
在直线上，当0时，有整点（3，1），
当时，，
在直线上，当0时，没有整点．
∴G内整点的个数为5个．
（3）解：如图，当时，点B（4，4）， 点C（1，4）此时在区域W内(不包含边界)有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3个整点，线段BD上有4个整点，线段BC上有4个整点，
∵点（4，4）重合，点（4，1）（1，4）在边界上，
∴当时，区域W内至少有3+4+4-3=8个整点，
当时，B''（4.5，5），C（），
线段B'C'上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个，
当时，区域W内部整点个数增加，
若W内部(不包括边界)不超过8个整点，．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可；
（3）根据 点（4，4）重合，点（4，1）（1，4）在边界上， 结合函数图象，分类讨论，计算求解即可。
46．已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．
（1）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（2）若OP=4 ，求OA的长．
（3）求OC的最大值（提示：取AB的中点Q，连接CQ、OQ，运用两点之间，线段最短）
【答案】（1）解：如图，作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，
则∠PEA=∠PFB=90°=∠EOF，
∴∠EPF=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，且∠APB=90°，
∴∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE，
即∠APE=∠BPF，
在△AEP和△BFP中，
，
∴△PAE≌△PBF（AAS），
∴PE=PF，
即点P在∠AOB的平分线上
（2）解：∵四边形OEPF是正方形，OP=4 ，
∴OE=PE=4，
又∵Rt△APB中，AB=6，
∴PA=3 ，
∴Rt△AEP中，AE= = ，
∴OA=OE+AE=4+ 或OA=OE﹣AE=4﹣
（3）解：如图，取AB的中点Q，连接OQ，CQ，OC，
∵AB长度不变，BC长度不变，
∴Rt△AOB中，OQ= AB=3，
Rt△BCQ中，CQ= =3 ，
∵OQ+CQ≥OC，
∴当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，
OC最大值=OQ+QC=3+3 ．
【解析】【分析】（1）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，根据AAS判定△PAE≌△PBF，即可得出PE=PF，进而得到点P在∠AOB的平分线上；（2）根据四边形OEPF是正方形，OP=4 ，可得OE=PE=4，再根据Rt△APB中，AB=6，可得PA=3 ，进而得到Rt△AEP中，AE= ，据此可得OA的长；（3）取AB的中点Q，连接OQ，CQ，OC，根据AB长度不变，BC长度不变，可得Rt△AOB中，OQ= AB=3，Rt△BCQ中，CQ=3 ，再根据OQ+CQ≥OC，可得当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，进而得到OC最大值=OQ+QC=3+3 ．
47．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则 =
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于x，y的方程组 的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k，使得y1y2﹣ =2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴ = = =43，
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab= ，
∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，
∴c2﹣4 ≥0，c2﹣ ≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，
∴正数c的最小值是4.
（3）存在，当k=﹣2时， .
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k=﹣2.
【解析】【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，把分式通分计算后整体代入即可求值；
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根据c2-4 ≥0，即可求出c的最小值；
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1 x2=k+1，再解y1y2- =2，即可求出k的值.
48．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数 过点A(2，3)，
∴m=2×3=6.
∴反比例函数的关系式为
∵BC=2，∴B的纵坐标为-2，
代入得，
解得x=-3，
∴B(-3，-2)，
∵A(2，3)，B(-3，-2)两点在y=kx+b上，
解得：
∴一次函数的关系式为：y=x+1.
（2）解：∵ BC=2，
即
当点P的纵坐标为10时，则 解得
当点P的纵坐标为-10时，则 解得
∴点P的坐标为 或
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；由此可求出点B的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
（2）利用BC的长和三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可得到△POC的面积；利用△POC的面积，可求出点P的纵坐标，据此可求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
49．已知，如图1，正方形和正方形，三点A、B、E在同一直线上，连接和，
（1）判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由．
（2）将正方形，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和．
【答案】（1）解：．
理由如下：
在正方形和正方形中，，，
在和中，
∵，
∴，
∴.
（2）解：仍然成立．
理由如下：在正方形和正方形中，，，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴.
（3）解：如图2，连接，设交点为H，
∵，
∴，
∴
，
∴，
在中，，
在中，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴正方形和正方形的面积之和为．
【解析】【分析】（1）先利用正方形的性质和“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AG=CE；
（2）先利用正方形的性质和“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AG=CE；
（3）连接，设交点为H，利用勾股定理可得，，再求出，再结合，可得，从而求出正方形和正方形的面积之和为．
50．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作 EBFH．
（1）证明： EBFH是菱形；
（2）（如图2）若∠ABC＝90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB＝10，AD＝6，M是EF的中点，求CM的长．
（3）（如图3）若∠ABC＝60°，连结HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
【答案】（1）解：∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠CDE＝∠ADE，
∵CD∥AB，AB∥HF，
∴∠CDE＝∠AED＝∠HFE，
∵AD∥BC，
∴∠EDA＝∠FEH，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴ EBFH为菱形
（2）解：①∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，菱形EBFH为正方形；
②由（1）知△ADE为等腰直角三角形，故AE＝AD＝6，则BE＝10-6＝4，
∵连接BH，过点M作MN⊥BF于点N，
∵M是EF的中点，故点M时正方形EBFH对角线的交点，
则MN＝ EB＝ ×4＝2＝BN，
则CN＝BC+NB＝6+2＝8，
∴CM＝ ；
（3）解：延长DA交FH的延长线于点G，连接CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，AD∥BC，
而四边形EBFH为菱形，故EB∥HF，
∴DG∥CF，CD∥FG，
∴四边形DCFG为平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∵∠CDF＝∠GDF，
∵CD∥GF，
∴∠CDF＝∠GFD＝∠GDF，
∴DG＝GF，
∴平行四边形DCFG为菱形，
∵∠ABC＝60°，
∴△DGC、△CGF均为等边三角形，
∴∠CGD＝∠CGF＝60°，CG＝CF，
同理可得：四边形AEHG为平行四边形，故AG＝EH＝HF，
在△CAG和△CHF中，CG＝CF，AG＝HF，∠CGD＝∠CGF＝60°，
∴△CAG≌△CHF（SAS），
∴CA＝CH，∠ACG＝∠HCF，
∵∠ACH＝∠ACG+∠GCH＝∠GCH+∠HCF＝60°，
∴△ACH是等边三角形．
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质证明即可；
（2）①根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行证明求解即可；
②先求出MN=2，再求出CN=8，利用勾股定理进行求解即可；
（3）先证明平行四边形DCFG为菱形 ，再证明 △CAG≌△CHF ，最后即可证明。
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