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人教版2024—2025学年七年级下册期末名师优题精选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（　　）
A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对
4．工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
5．2024年台州市体育中考测试评分标准规定，男生1000米长跑用时不超过3分40秒为满分．张华在离终点200米时已用时3分钟，要想得到满分，则他的速度v应满足（　　）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
6．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则与互为对顶角
C．若，则
D．若，则与互为邻补角
7．某校有空地 60 平方米， 计划将其中 的土地开辟为菜园和葡萄园， 已知葡萄园的面积比菜园面积的 2 倍少 3 平方米， 问菜园和葡萄园的面积各多少平方米 设菜园的面积为 平方米， 葡萄园的面积为 平方米，下列方程组正确的（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于28“面”的值说法正确的是（　　）
A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数
9．下列命题中，真命题的个数是（　　）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两直线平行，同位角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2）
C．（﹣3，3） D．（2，4 ）
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下表中的每一对、的值都是二元一次方程的一个解，则表中“”表示的数为　 　．
12．已知是方程组，的解，则　 　．
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°17'，则∠2=　 　．
14．一个样本数据为：，其中属于这一组的频率为　 　．
15． 已知 是方程 的一组解，则 的值等于　 　.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，按这样的运动规律，动点第2023次运动到点的坐标为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为　 　；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为　 　．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
18．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
19．解答下列问题：
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组并写出所有整数解．
20．如图，中，于点，于点，，点在的延长线上．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若，，求的度数．
21．如图，三角形 是由三角形 经过某种平移得到的，点A与点 ，点B与点 ，点C与点 分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题.
（1）直接写出点A和点 的坐标，并说明三角形 是由三角形 经过怎样的平移得到的.
（2）若点 是点 通过（1）中的平移变换得到的，求 的值.
22．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°．求证：
（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
23．某超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表：
蔬菜品种 西红柿 西兰花
批发价格（元/千克） 3.6 8
零售价格（元/千克） 5.4 14
请解答下列问题：
（1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用了1520元钱，这两种蔬菜当天全部销售后一共赚多少元钱？
（2）第二天，该超市用了1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元，该超市最多能批发西红柿多少千克？
24．端午节期间，某商家购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元．
（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？
（2）该商家准备1400元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，那么商家至多购进甲种粽子多少个？
25．如图， .
（1）如图①，若 ，点B在射线MN上， ，求 的度数；
（2）如图②，若 ， 是否为固定的度数？若是，写出这个度数，并说明理由；若不是，也请说明理由.
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人教版2024—2025学年七年级下册期末名师优题精选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】【解答】解不等式得x<，
关于x的不等式的正整数解是1，2，3，
3<≤4，解得10 < m≤ 13，
整数m的最大值为13．
故答案为：D．
【分析】先利用不等式的性质求出不等式的解集为x<，再根据不等式的正整数解是1，2，3，可得 3<≤4，最后求出ｍ的取值范围即可。
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：点所在的象限是第二象限．
故答案为：B
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限根据各象限内点的坐标特征解答即可．
3．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（　　）
A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：当时，，
解得，
∴，
解得，故结论I不正确；
由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即不论m，n取何值，的值一定为3，故结论Ⅱ正确，
故答案为：C．
【分析】先建立关于x、y的二元一次方程组，进而可得m-n=4x-4y，再根据m-n=12，可得4x-4y=12，进行求解即可．
4．工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，根据题意得，
，
由得：，
将代入，得：，
解得：，
、都是正整数，
必须能被整除，
∴ 选项符合题意，
故答案为：．
【分析】根据题中的数量关系可列出二元一次方程组，推出可知a能被5整除，即可求得.
5．2024年台州市体育中考测试评分标准规定，男生1000米长跑用时不超过3分40秒为满分．张华在离终点200米时已用时3分钟，要想得到满分，则他的速度v应满足（　　）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：C．
【分析】根据最后40秒走的路程不低于200米来列不等式，求解即可．
6．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则与互为对顶角
C．若，则
D．若，则与互为邻补角
【答案】A
【解析】【解答】解：．∵，，
∴，即，该命题是真命题，故A选项符合题意；
．与不是对顶角，该命题是假命题，故B选项不符合题意；
．无法得出，该命题是假命题，故C选项不符合题意；
．与不是邻补角，该命题是假命题，故D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义、对顶角的定义、邻补角的定义判定即可.
7．某校有空地 60 平方米， 计划将其中 的土地开辟为菜园和葡萄园， 已知葡萄园的面积比菜园面积的 2 倍少 3 平方米， 问菜园和葡萄园的面积各多少平方米 设菜园的面积为 平方米， 葡萄园的面积为 平方米，下列方程组正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 设菜园的面积为 平方米， 葡萄园的面积为 平方米，
根据题意可得：
故答案为：B.
【分析】设菜园的面积为 平方米， 葡萄园的面积为 平方米，根据“ 某校有空地 60 平方米， 计划将其中 的土地开辟为菜园和葡萄园， 已知葡萄园的面积比菜园面积的 2 倍少 3 平方米 ”列出方程组即可.
8．《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于28“面”的值说法正确的是（　　）
A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数
【答案】B
【解析】【解答】根据28“面”的说法，其表示为，
由，
∴.
故选：B.
【分析】对无理数进行估值得出其整数范围.
9．下列命题中，真命题的个数是（　　）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两直线平行，同位角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】【解答】对于①，正确应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，当点在直线上时，两线重合，故①错误，不符合题意；
对于②， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，符合题意；
对于③，正确应为，在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可以正方体的棱作反例，故③错误，不符合题意；
对于④， 两直线平行，同位角相等，故③正确，符合题意；
综上，正确应为②④；
故选：C.
【分析】根据基本严格定义对命题逐一判断即可.
10．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2）
C．（﹣3，3） D．（2，4 ）
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A1（2，4），
由题意得：点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），
∴每4个点为一个循环周期，
∵2021÷4=505…1，
∴A2021（2，4）.
故答案为：D.
【分析】根据伴随点的定义，由点A1（2，4），依次计算出点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），可知每4个点为一个循环周期，用2021除以4，再根据商和余数情况确定A2021的坐标即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下表中的每一对、的值都是二元一次方程的一个解，则表中“”表示的数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将，分别代入原方程得：，
解得：，
∴原方程为，
将y=2024代入，得，
解得：，
∴表中“？”表示的数为．
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程解的定义“使二元一次方程的左边等于右边的一对未知数的值，就是二元一次方程的一个解”，将表格中给出的任意两个解分别代入原方程，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，进而可得出原方程为，再代入，即可求出表中“？”表示的数．
12．已知是方程组，的解，则　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
∴a+b=-2
故答案为：-2
【分析】将解代入方程组，可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°17'，则∠2=　 　．
【答案】57°43'
【解析】【解答】解：
∵ ∠1+∠4=90°，
∴ ∠4=90°-∠1，
∵ 直尺的上下边平行，
∴ ∠3=∠4，
∵ ∠2=∠3，
∴ ∠2=∠4=90°-∠1=57°43'.
故答案为：57°43'.
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等，即可求得.
14．一个样本数据为：，其中属于这一组的频率为　 　．
【答案】0.2
【解析】【解答】解：由题意可得：在8.55～8.75组的数据有8.7，8.7，共2个，
∴ 8.55～8.75这一组的频数是2，
∴频率为
故答案为：0.2．
【分析】先找出在8.55～8.75的频数，再根据频率=频数÷总数计算即可.
15． 已知 是方程 的一组解，则 的值等于　 　.
【答案】2024
【解析】【解答】解：方程的解代入方程得m-2n+3=0，得m-2n=-3，=-3m+6n+2015=-3(m-2n)+2015=-3×(-3)+2015=9+2015=2024
故答案为：2024.
【分析】将方程的解代入方程可得m-2n=-3，利用平方差公式对代数式进行降次，即可得结果.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，按这样的运动规律，动点第2023次运动到点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 由题意得：第1次运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次运动到点 ，
第5次运动到点P5（4，2），
第6次运动到点P6（5，0），
······，
∴每次得到点的横坐标比次数小1，横坐标以2，1，-1，0，每4个数字一循环，
2023÷4=505······3，
∴ 动点第2023次运动到点的坐标为（2022，-1），
故答案为：（2022，-1）.
【分析】先求出第1次~第6次运动到点的坐标，据此可得规律：每次运动得到点的横坐标比次数小1，横坐标以2，1，-1，0，每4个数字一循环，据此解答即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为　 　；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为　 　．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【答案】（1）；25
（2）解：存在输入非负整数x后，始终输不出y的值，当x=0或者1时，始终输不出y的值；
所以他输入的x值是0或者1
【解析】【解答】解：（1）①当输入的x的值为9时，
所以输出的y值为，
故答案为： .
②当输入的x的值为25时，
所以经过两次取算术平方根运算，输出的y值为；
所以输入的x值为25；
故答案为：25.
【分析】（1）当输入x的值为9时，y==3；当输入x的值为25时，输出的y的值为；
（2）当x=0或者1时，始终输不出y的值，据此解答.
18．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：52≤m≤53，
又∵m为正整数，
∴m可以为52，53，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案2：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
【解析】【分析】（1）8×购买A种树苗每棵的费用+3×购买B种树苗每棵的费用=950；5×购买A种树苗每棵的费用+6×购买B种树苗每棵的费用=800；据此s未知数，列方程组，求出方程组的解即可.
（2）设购进A种树苗m棵，利用已知条件：购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集，然后求出其整数解，即可写出具体的方案.
19．解答下列问题：
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组并写出所有整数解．
【答案】（1）解：去分母得：2（x+1）﹣6≤3（x﹣1），
去括号得：2x+2﹣6≤3x﹣3，
移项合并得：﹣x≤1，
系数化为1得：x≥﹣1；
；
（2）解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，
则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【解析】【分析】（1）先去分母（不等式左边的1不能漏乘），去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），移项合并，然后将x的系数化为1，然后将不等式的解集在数轴上表示出来.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集可得到所有的整数解.
20．如图，中，于点，于点，，点在的延长线上．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：DE∥AB，理由如下：
∵EF⊥AC，BG⊥AC，
∴EF∥BG，
∴∠EMB=∠ABG，
∵∠E+∠ABG=180°，
∴∠E+∠EMB=180°，
∴DE∥AB.
（2）解：由（1）可知：DE∥AB，
∴∠D=∠ABC=∠ABG+∠GBC，
∵∠D=100°，
∴∠ABG+∠GBC=100°，
又∵∠ABG=∠GBC，
∴∠GBC=40°，
又∵BG⊥AC，
∴∠BGC=90°，
∴∠C=∠BGC-∠GBC=90°-40°=50°.
【解析】【分析】（1）由同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，得EF∥BG，从而得∠EMB=∠ABG，再由∠E+∠ABG=180°，等量代换得∠E+∠EMB=180°，进而证出DE∥AB；
（2）由（1）可知：DE∥AB，从而得∠D=∠ABC=∠ABG+∠GBC，进而求得∠ABG+∠GBC=100°，再结合∠ABG=∠GBC，等量代换求得∠GBC=40°，最后根据互为余角的性质，即可求得∠C的度数.
21．如图，三角形 是由三角形 经过某种平移得到的，点A与点 ，点B与点 ，点C与点 分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题.
（1）直接写出点A和点 的坐标，并说明三角形 是由三角形 经过怎样的平移得到的.
（2）若点 是点 通过（1）中的平移变换得到的，求 的值.
【答案】（1）解：由点A和点 在平面直角坐标系中的位置得： ，
将点 先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点 ，按同样的方式平移点 可得到点 ，
三角形 是由三角形 先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的
（2）解：由题意得： ， ，
解得 ， ，
则 .
【解析】【分析】（1）根据点A、A′的坐标可得平移规律为：先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，据此解答；
（2）由平移规律可得：2a-3-3=a+2，2b-5-3=4-b，求解可得a、b的值，进而求得(b-a)2的值.
22．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°．求证：
（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【答案】（1）证明：∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＋∠FEA＝180°，
∴∠BAD＋∠FEA＝180°，
∴EH∥AD
（2）证明：由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠1＝∠BAD，求出∠BAD＋∠FEA＝180°，根据平行线的判定得出EH∥AD，根据平行线的性质得出即可；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，得出∠1＝∠H，即可得出∠BAD＝∠H。
23．某超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表：
蔬菜品种 西红柿 西兰花
批发价格（元/千克） 3.6 8
零售价格（元/千克） 5.4 14
请解答下列问题：
（1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用了1520元钱，这两种蔬菜当天全部销售后一共赚多少元钱？
（2）第二天，该超市用了1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元，该超市最多能批发西红柿多少千克？
【答案】（1）解：设批发西红柿千克，西兰花千克．
由题意得
解得
故批发西红柿200千克，西兰花100千克，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：（元）．
答：这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱．
（2）解：设批发西红柿千克，
由题意得，
解得．
答：该超市最多能批发西红柿100千克．
【解析】【分析】（1）设批发西红柿千克，西兰花千克．根据“批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用了1520元钱”列出方程组并解之，根据利润=每千克的利润×销售量即可求解；
（2）设批发西红柿z千克， 根据“ 当天全部售完后所赚的钱不少于1050元 ”列出不等式并求解即可.
24．端午节期间，某商家购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元．
（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？
（2）该商家准备1400元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，那么商家至多购进甲种粽子多少个？
【答案】（1）解：设甲种粽子每个进价为 x 元，乙种粽子每个进价为 y元，
由题意，得：，
解得：.
答：甲种粽子每个进价为2.5元，乙种粽子每个进价为4元.
（2）解：设该商家购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，
由题意，得：，
整理，解得：m≤320，
∴m的最大整数值为320.
答：至多购进320个甲种粽子.
【解析】【分析】（1）设甲种粽子每个进价为 x 元，乙种粽子每个进价为 y元，由购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元可列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设该商家购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，再由销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，可列关于m的不等式，解得m≤320，可得m的最大整数值为320，即可求解.
25．如图， .
（1）如图①，若 ，点B在射线MN上， ，求 的度数；
（2）如图②，若 ， 是否为固定的度数？若是，写出这个度数，并说明理由；若不是，也请说明理由.
【答案】（1）解：如图①，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABM＝60°，
∵∠CMN＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝30°，
∵AB∥CD，MK∥AB，
∴MK∥CD，
∴∠C＝∠2＝30°；
（2）解：∠ABM﹣∠C＝30°，
理由：如图②，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABM，
∵AB∥CD，MK∥AB，
∴MK∥CD，
∴∠C＝∠2，
∵∠CMN＝∠1+∠2＝150°，
即180°﹣∠ABM+∠C＝150°，
∴∠ABM﹣∠C＝180°﹣150°＝30°.
【解析】【分析】（1）过M作MK∥AB进而求∠1，∠2则问题可解；
（2）过M作MK∥AB，进而表示∠1，∠C，从而得到结论.
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