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专题提升练3　动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题
　梯级Ⅰ基础练
1.L形支架AOB表面光滑，轻弹簧一端固定在支架OA上，另一端连接物块C，现将支架平放在桌面上，让其绕O点逆时针方向缓慢旋转至OB竖直，如图所示，在转动过程中(　　)
A.物块C对OB的压力逐渐减小
B.物块C对OB的压力先增大后减小
C.弹簧的弹力逐渐减小
D.弹簧的长度先减小后增大
2.(2025·南阳模拟)如图所示，在竖直光滑墙壁和光滑挡板之间放置一个光滑的球，挡板可绕O点在竖直平面内转动。开始时该系统处于静止状态，现将挡板沿顺时针方向缓慢转动，在挡板转到水平的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.球受到墙壁的弹力逐渐增大
B.球受到墙壁的弹力逐渐减小
C.球受到的合外力逐渐增大
D.球受到的合外力逐渐减小
3.如图所示，质量M=1 kg的斜劈放置在水平地面上，将质量m=1 kg的物块放置在斜劈上，并在物块上施加垂直于斜劈斜面的力F，使物块和斜劈均处于静止状态。已知斜劈的倾角为37°，斜劈与木块、地面间的动摩擦因数均为0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则力F的大小范围为(　　)
A.4 N≤F≤50 N B.4 N≤F≤25 N
C.2 N≤F≤50 N D.2 N≤F≤25 N
4.(2025·保定模拟)筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说:“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球受到3个力作用
B.当θ增大时，筷子对小球的作用力增大
C.当θ减小时，筷子对小球的作用力增大
D.筷子对小球的最小压力是
5.(2025·济南模拟)如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行。在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则(　　)
A.b对c的压力可能减小
B.b对c的摩擦力可能增大
C.地面对c的摩擦力可能增大
D.地面对c的支持力可能减小
6.(2025·宜春模拟)如图所示，截面为四分之一圆的柱体放在墙脚，一个小球用细线拉着静止在光滑圆弧面上，细线的悬点在竖直墙面上A点，保持细线伸直长度不变，小球大小不计，将悬点沿竖直墙面缓慢向上移，在小球沿圆弧面向上缓慢移动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.细线的拉力大小不变
B.细线的拉力减小
C.圆弧面对小球的支持力大小不变
D.圆弧面对小球的支持力增大
7.(2025·成都模拟)如图所示，垂直墙角有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在接近半圆底端的M点。通过细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中，细线始终保持在小球处与半圆相切。小球的质量为m，当地重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.细线对小球的拉力先增大后减小
B.小球对柱体的压力先减小后增大
C.柱体对竖直墙面的压力最大值为0.5mg
D.柱体对竖直墙面的压力最大值为mg
8.(多选)如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC=θ=60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使绳都能伸直，下列F中不可能的是(取g=10 m/s2)(　　)
A.4 N B.8 N
C.12 N D.16 N
梯级Ⅱ能力练
9.(多选)(2025·广州模拟)图甲是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图乙所示，绳子跨过定滑轮拉动货物，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)
A.货物对玻璃棚的压力越来越小
B.货物对玻璃棚的压力越来越大
C.绳子的拉力越来越大
D.绳子的拉力先减小后增大
10.(多选)(2025·阳江模拟)如图所示，粗糙斜面体C上有一个物块A通过轻绳跨过固定在斜面顶端的光滑定滑轮与质量为m的物块B相连，且均处于静止状态，现给物块B施加一个与O、B间轻绳夹角始终为θ=120°的拉力F，让O、B间轻绳缓慢从竖直变成水平，此过程中物块A和斜面体C始终静止，则在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A.绳子中的拉力T一直变大
B.拉力F的最大值为mg
C.斜面体C受地面的摩擦力一直减小
D.物块A受到的摩擦力可能先增大后减小
11.如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的A点和B点，轻绳上有一个光滑挂钩，挂钩下面挂了一物块。保持左侧杆和A点的位置不变，下列说法正确的是(　　)
A.右侧杆不动，B点移到B2位置时，绳子张力变小
B.右侧杆不动，B点移到B1位置时，绳子张力变大
C.B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，绳子张力不变
D.B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，绳子张力变大
梯级Ⅲ创新练
12.消毒碗柜的金属碗架可以将碗竖直放置于两条金属杆之间，如图甲所示。取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是(　　)
A.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小
B.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力变小
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力不变
专题提升练3　动态平衡问题平衡中的临界和极值问题
1.A　解析　物块随OB缓慢转过一个小角度,其受力分析如图所示,支持力FN=mgcos θ,θ增大,支持力FN减小,根据牛顿第三定律可得,物块C对OB的压力逐渐减小,A项正确,B项错误;弹簧弹力F=mgsin θ,由于缓慢移动,则物体处于静止状态,θ增大,则弹力增大,弹簧处于压缩状态,则弹簧长度减小,C、D两项错误。
2.B　解析　对球受力分析,受重力mg、墙壁的弹力F1、挡板的支持力F2,如图所示,挡板沿顺时针方向缓慢转动,在挡板转到水平的过程中,球受力平衡,由力的平衡条件可知球受到墙壁的弹力逐渐减小,球受到的合外力不变,始终为零,B项正确。
3.A　解析　对物块受力分析如图甲所示,则有μ(F+mgcos 37°)≥mgsin 37°,解得F≥4 N;将物块与斜劈视为整体,其受力分析如图乙所示,则有Fsin 37°≤μ[Fcos 37°+(M+m)g],解得F≤50 N,A项正确。
甲　　乙
4.D　解析　小球受到重力,两根筷子的压力,两根筷子的摩擦力,共5个力作用,A项错误;无论θ增大还是减小,只要小球不掉下来,筷子对小球的作用力,一定与重力等大反向,B、C两项错误;小球的受力如图所示,筷子对小球的压力最小时,小球受到的摩擦力等于最大静摩擦力,由平衡条件得,mg+2Fminsin θ=2Ffcos θ,Ff=μFmin,由两式解得Fmin=,D项正确。
5.B　解析　对a与沙子受力分析,受重力、绳的拉力两个力的作用,两个力的合力一直为零,沙子缓慢流出的过程中,a与沙子的总重力减小,可知绳的拉力T减小,对b进行受力分析,c对b的支持力为FN=mbgcos θ,由牛顿第三定律可知b对c的压力保持不变,A项错误;若开始时绳子拉力小于物块b的重力沿斜面向下的分力,则c对b的摩擦力方向平行斜面向上,根据受力平衡可得mbgsin θ=f+T,当拉力T减小时,c对b的摩擦力增大,根据牛顿第三定律可知b对c的摩擦力也增大,B项正确;以b、c为整体作为研究对象,受力分析如图所示,根据受力平衡可得f地=Tcos θ,FN地=(mb+mc)g-Tsin θ,在a中的沙子缓慢流出的过程中,绳子拉力T减小,所以地面对c的摩擦力减小,地面对c的支持力增大,C、D两项错误。
6.B　解析　设悬点到水平面的距离为h,圆的半径为R,细线长为L,小球重力为mg,支持力为FN,细线拉力为F,如图,根据相似三角形法有==,随着h增大,F减小,FN减小,B项正确。
7.C　解析　设小球与柱体圆心连线跟水平方向的夹角为θ,以小球为对象,小球受到重力、支持力和拉力,如图所示,根据平衡条件可得F=mgcos θ,FN=mgsin θ,细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中θ增大,所以细线对小球的拉力减小,柱体对小球的支持力增大,根据牛顿第三定律可得小球对柱体的压力增大,A、B两项错误;以柱体为对象,根据平衡条件可得竖直墙面对柱体的压力F墙=FNcos θ=mgsin θ·cos θ=mgsin 2θ,当θ=45°时,墙面对柱体的压力最大,为F墙=0.5mg,根据牛顿第三定律可得柱体对竖直墙面的压力最大值为0.5mg,C项正确,D项错误。
8.AD　解析　对物体进行受力分析,如图,根据平衡条件有FBsin θ+Fsin θ=mg,FBcos θ+FC=Fcos θ,解得FB=-F,FC=2Fcos θ-,要使绳都能伸直,则FB和FC均大于零,则求得9.AC　解析　对货物受力分析,如图所示,货物缓慢向上移动,则拉力方向与竖直方向上的夹角减小,由图可知,绳子的拉力越来越大,同时,玻璃棚对货物的支持力变小,则货物对玻璃棚的压力越来越小,A、C两项正确。
10.BD　解析　让O、B间轻绳缓慢从竖直变成水平,且保持拉力F与O、B间轻绳夹角始终为θ=120°,以物体B为对象,根据受力平衡,结合三角形定则,画出如图所示的辅助圆,由图可知,绳子中的拉力T先增大后减小;拉力F一直增大,当O、B间轻绳变成水平时,拉力最大,则有Fmax==mg,A项错误,B项正确;以A、B、C为整体,根据受力平衡可知,斜面体C受地面的摩擦力大小等于拉力F的水平分力,则有f地=Fx,由辅助圆可以看出拉力F的水平分力先增大后减小,则斜面体C受地面的摩擦力先增大后减小,C项错误;由于不清楚斜面体C倾角β的具体值,所以可能存在绳子拉力一直大于物块A的重力沿斜面向下的分力,则对于物块A,沿斜面方向有T=mAgsin β+fA,由于绳子中的拉力T先增大后减小,则物块A受到的摩擦力先增大后减小,D项正确。
11.D　解析　对挂钩O处受力分析,设物块的质量为m,如图所示,设绳子总长为L,两杆的距离为d,绳B端不动时,设AO、OB两段绳子张力的合力与绳子的夹角为θ,绳B端从B移到B2,AO'、O'B2两段绳子张力的合力与绳子的夹角为α,则有AOsin θ+OBsin θ=AO'sin α+O'B2sin α=d,又有AO+OB=AO'+O'B2=L,可得θ=α,即B端从B移到B2或B1,绳子与杆的夹角不变,由力的平衡条件可得2Tcos θ=mg,T=,绳子的张力不变,A、B两项错误;B点不动,将右侧杆移到虚线位置C时,绳子的夹角θ变小,则绳子的张力T变小,反之将右侧杆移到虚线位置D时,绳子的夹角θ变大,绳子张力T变大,C项错误,D项正确。
12.D　解析　若减小a、b间距,碗仍保持竖直静止,碗的合力仍为零,合力不变,A项错误;对碗受力分析如图所示,设b点对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ,则F1=Gtan θ,F2=,若减小a、b间距,则θ减小,F1减小,由牛顿第三定律知,a杆受到的弹力减小,B项错误;杆对碗的作用力与碗的重力等大反向,则将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间,则碗受到杆的作用力不变,总等于重力,C项错误,D项正确。(共33张PPT)
专题提升练3
动态平衡问题　平衡中的临界
和极值问题
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1.L形支架AOB表面光滑，轻弹簧一端固定在支架OA上，另一端连接物块C，现将支架平放在桌面上，让其绕O点逆时针方向缓慢旋转至OB竖直，如图所示，在转动过程中( )
A.物块C对OB的压力逐渐减小
B.物块C对OB的压力先增大后减小
C.弹簧的弹力逐渐减小
D.弹簧的长度先减小后增大
梯级Ⅰ 基础练
物块随OB缓慢转过一个小角度，其受力分析如图所示，支持力FN=mgcos θ，θ增大，支持力FN减小，根据牛顿第三定律可得，物块C对OB的压力逐渐减小，A项正确，B项错误；弹簧弹力F=mgsin θ，由于缓慢移动，则物体处于静止状态，θ增大，则弹力增大，弹簧处于压缩状态，则弹簧长度减小，C、D两项错误。
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2.(2025·南阳模拟)如图所示，在竖直光滑墙壁和光滑挡板之间放置一个光滑的球，挡板可绕O点在竖直平面内转动。开始时该系统处于静止状态，现将挡板沿顺时针方向缓慢转动，在挡板转到水平的过程中，下列说法正确的是( )
A.球受到墙壁的弹力逐渐增大
B.球受到墙壁的弹力逐渐减小
C.球受到的合外力逐渐增大
D.球受到的合外力逐渐减小
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对球受力分析，受重力mg、墙壁的弹力F1、挡板的支持力F2，如图所示，挡板沿顺时针方向缓慢转动，在挡板转到水平的过程中，球受力平衡，由力的平衡条件可知球受到墙壁的弹力逐渐减小，球受到的合外力不变，始终为零，B项正确。
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3.如图所示，质量M=1 kg的斜劈放置在水平地面上，将质量m=1 kg的物块放置在斜劈上，并在物块上施加垂直于斜劈斜面的力F，使物块和斜劈均处于静止状态。已知斜劈的倾角为37°，斜劈与木块、地面间的动摩擦因数均为0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则力F的大小范围为( )
A.4 N≤F≤50 N B.4 N≤F≤25 N
C.2 N≤F≤50 N D.2 N≤F≤25 N
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对物块受力分析如图甲所示，则有μ(F+mgcos 37°)≥mgsin 37°，解得F≥4 N；将物块与斜劈视为整体，其受力分析如图乙所示，则有Fsin 37° ≤μ[Fcos 37°+(M+m)g]，解得F≤ 50 N，A项正确。
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4.(2025·保定模拟)筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为 θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
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A.小球受到3个力作用
B.当θ增大时，筷子对小球的作用力增大
C.当θ减小时，筷子对小球的作用力增大
D.筷子对小球的最小压力是
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小球受到重力，两根筷子的压力，两根筷子的摩擦力，共5个力作用，A项错误；无论θ增大还是减小，只要小球不掉下来，筷子对小球的作用 力，一定与重力等大反向，B、C两项错误；小球的受力如图所示，筷子对小球的压力最小时，小球受到的摩擦力
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等于最大静摩擦力，由平衡条件得，mg+2Fminsin θ=2Ffcos θ，Ff=
μFmin，由两式解得Fmin=，D项正确。
5.(2025·济南模拟)如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行。在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则( )
A.b对c的压力可能减小
B.b对c的摩擦力可能增大
C.地面对c的摩擦力可能增大
D.地面对c的支持力可能减小
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对a与沙子受力分析，受重力、绳的拉力两个力的作用，两个力的合力一直为零，沙子缓慢流出的过程中，a与沙子的总重力减小，可知绳的拉力T减小，对b进行受力分析，c对b的支持力为FN=mbgcos θ，由牛顿第三定律可知b对c的压力保持不变，A项错误；若开始时绳子拉力小于物块b的重力沿斜面向下的分力，则c对b的摩擦力方向平行斜面向上，根据受力平衡可得mbgsin θ=f+ T，当拉力T减小时，c对b的摩擦力增大，根据牛顿第三定律可知b
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对c的摩擦力也增大，B项正确；以b、c为整体作为研究对象，受力分析如图所示，根据受力平衡可得f地=Tcos θ，FN地=(mb+ mc)g-Tsin θ，在a中的沙子缓慢流出的过程中，绳子拉力T减小，所以地面对c的摩擦力减小，地面对c的支持力增大，C、D两项错误。
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6.(2025·宜春模拟)如图所示，截面为四分之一圆的柱体放在墙脚，一个小球用细线拉着静止在光滑圆弧面上，细线的悬点在竖直墙面上A点，保持细线伸直长度不变，小球大小不计，将悬点沿竖直墙面缓慢向上移，在小球沿圆弧面向上缓慢移动过程中，下列说法正确的是( )
A.细线的拉力大小不变
B.细线的拉力减小
C.圆弧面对小球的支持力大小不变
D.圆弧面对小球的支持力增大
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设悬点到水平面的距离为h，圆的半径为R，细线长为L，小球重力为mg，支持力为FN，细线拉力为F，如图，根据相似三角形法有==，随着h增大，F减小，FN减小，B项正确。
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7.(2025·成都模拟)如图所示，垂直墙角有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在接近半圆底端的M点。通过细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中，细线始终保持在小球处与半圆相切。小球的质量为m，当地重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.细线对小球的拉力先增大后减小
B.小球对柱体的压力先减小后增大
C.柱体对竖直墙面的压力最大值为0.5mg
D.柱体对竖直墙面的压力最大值为mg
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设小球与柱体圆心连线跟水平方向的夹角为θ，以小球为对象，小球受到重力、支持力和拉力，如图所示，根据平衡条件可得F=mgcos θ，FN=mgsin θ，细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中θ增大，所以细线对小球的拉力减小，柱体对小球的支持力增大，根据牛顿第三定律可得小球对柱体的压力增大， A、B两项错误；以柱体为对象，根据平衡条件可得竖直墙面对柱
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体的压力F墙=FNcos θ=mgsin θ·cos θ=mgsin 2θ，当θ=45°时，墙面对柱体的压力最大，为F墙=0.5mg，根据牛顿第三定律可得柱体对竖直墙面的压力最大值为0.5mg，C项正确，D项错误。
解析
8.(多选)如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC=θ=60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使绳都能伸直，下列F中不可能的是(取g= 10 m/s2)( )
A.4 N B.8 N
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对物体进行受力分析，如图，根据平衡条件有FBsin θ+Fsin θ=mg，FBcos θ+FC=Fcos θ，解得FB=-F，FC=2Fcos θ-，要使绳都能伸直，则FB和FC均大于零，则求得解析
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9.(多选)(2025·广州模拟)图甲是工人把货物运送到房屋顶端的场 景，简化图如图乙所示，绳子跨过定滑轮拉动货物，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，下列说法正确的是 ( )
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A.货物对玻璃棚的压力越来越小
B.货物对玻璃棚的压力越来越大
C.绳子的拉力越来越大
D.绳子的拉力先减小后增大
对货物受力分析，如图所示，货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向上的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大，同时，玻璃棚对货物的支持力变小，则货物对玻璃棚的压力越来越小，A、C两项正确。
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10.(多选)(2025·阳江模拟)如图所示，粗糙斜面体C上有一个物块A通过轻绳跨过固定在斜面顶端的光滑定滑轮与质量为m的物块B相连，且均处于静止状态，现给物块B施加一个与O、B间轻绳夹角始终为θ=120°的拉力F，让O、B间轻绳缓慢从竖直变成水平，此过程中物块A和斜面体C始终静止，则在此过程中，下列说法正确的是( )
A.绳子中的拉力T一直变大
B.拉力F的最大值为mg
C.斜面体C受地面的摩擦力一直减小
D.物块A受到的摩擦力可能先增大后减小
让O、B间轻绳缓慢从竖直变成水平，且保持拉力F与O、B间轻绳夹角始终为θ=120°，以物体B为对象，根据受力平衡，结合三角形定则，画出如图所示的辅助圆，由图可知，绳子中的拉力T先增大后减小；拉力F一直增大，当O、B间轻绳变成水平时，拉力最大，则有Fmax==mg，A项错误，B项正确；以A、B、C为整体，根据受力平衡可知，斜面体C受地面的摩擦力大小等于拉力F的水平分力，则有f地=Fx，由辅助圆可以看出拉力F的水平分
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力先增大后减小，则斜面体C受地面的摩擦力先增大后减小，C项错误；由于不清楚斜面体C倾角β的具体值，所以可能存在绳子拉力一直大于物块A的重力沿斜面向下的分力，则对于物块A，沿斜面方向有T=mAgsin β+fA，由于绳子中的拉力T先增大后减小，则物块A受到的摩擦力先增大后减小，D项正确。
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11.如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的A点和B点，轻绳上有一个光滑挂钩，挂钩下面挂了一物块。保持左侧杆和A点的位置不变，下列说法正确的是( )
A.右侧杆不动，B点移到B2位置时，绳子张力变小
B.右侧杆不动，B点移到B1位置时，绳子张力变大
C.B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，绳子张力不变
D.B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，绳子张力变大
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对挂钩O处受力分析，设物块的质量为m，如图所示，设绳子总长为L，两杆的距离为d，绳B端不动时，设AO、OB两段绳子张力的合力与绳子的夹角为θ，绳B端从B移到B2，AO'、O'B2两段绳子张力的合力与绳子的夹角为α，则有AOsin θ+OBsin θ=AO'sin α +O'B2sin α=d，又有AO+OB=AO'+O'B2=L，可得θ=α，即B端从B移到B2或B1，绳子与杆的夹角不变，由力的平衡条件可得2Tcos θ =mg，T=，绳子的张力不变，A、B两项错误；B点不动，将
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右侧杆移到虚线位置C时，绳子的夹角θ变小，则绳子的张力T变小，反之将右侧杆移到虚线位置D时，绳子的夹角θ变大，绳子张力T变大，C项错误，D项正确。
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12.消毒碗柜的金属碗架可以将碗竖直放置于两条金属杆之间，如图甲所示。取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是( )
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A.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小
B.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力变小
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，碗受到杆的作用力不变
若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力仍为零，合力不变，A项错误；对碗受力分析如图所示，设b点对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ，则F1=Gtan θ，F2=，若减小a、b间距，则θ减小，F1减小，由牛顿第三定律知，a杆受到的弹力减小，B项错误；杆对碗的作用力与碗的重力等大反向，则将质量相同、半径
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更大的碗竖直放置于a、b杆之间，则碗受到杆的作用力不变，总等于重力，C项错误，D项正确。
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4专题提升三　动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题
题型1　动态平衡问题
1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,在变化过程中每一个状态可视为平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2.基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
考向1　解析法
对研究对象进行受力分析,先画出受力示意图,再根据物体的平衡条件,应用正交分解法列方程,得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数),最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
【典例1】　
(多选)如图所示,木块甲在光滑的水平面上,质量为m的球乙置于木块与光滑竖直墙壁之间,在水平向左的推力F作用下,系统处于静止状态。其中O点为乙的球心,A点为甲、乙之间的接触点,OA与竖直方向的夹角为30°,取重力加速度大小为g。则(　　)
A.推力F的大小为mg
B.木块甲对球乙的支持力大小为mg
C.若木块甲左移少许,系统仍静止,墙壁对球乙的支持力变小
D.若木块甲左移少许,系统仍静止,地面对木块甲的支持力变大
考向2　图解法
　此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
【典例2】　
(多选)如图所示, 不可伸长的悬线MO绳下端挂一质量为m的物体, 在拉力F作用下物体静止, 此时悬线与竖直方向的夹角为α。现保持夹角α不变, 拉力F缓慢地由水平位置逆时针转到竖直位置的过程中 (重力加速度为g)(　　)
A.F逐渐减小, OM绳拉力逐渐减小
B.F先减小后增大, OM绳拉力逐渐减小
C.若F的方向水平向右,则F=mgtan α
D.F的最小值为mgsin α
考向3　相似三角形法
　在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例3】　
如图所示是一个简易起吊设施的示意图,AC是质量不计的撑杆,A端与竖直墙之间用铰链连接,一滑轮固定在A点正上方,C端吊一重物。现施加一拉力F将重物P缓慢向上拉,在AC杆达到竖直状态前(　　)
A.BC绳中的拉力FT越来越大
B.BC绳中的拉力FT越来越小
C.AC杆中的支持力FN越来越大
D.AC杆中的支持力FN越来越小
考向4　正弦定理或外接圆法
物体在三个力作用下处于平衡状态,且其中一个力是恒力,另外两个力方向均发生变化,但两者的夹角不变。可用两种方法分析,一是正弦定理法,作出力的合成图,在力的矢量三角形中使用正弦定理列方程,根据角度的变化判断力的变化情况;二是外接圆法,作出力的合成图后,发现力的矢量三角形中有一条边和所对的角度是不变的,画出三角形的外接圆,由线段的长度变化分析力的大小变化。
【典例4】　
如图所示,内壁光滑的V形容器AOB放在竖直平面内,∠AOB为锐角,贴着内壁放置一个铁球,现将容器以O点为轴在竖直平面内顺时针缓慢旋转90°,在转动过程中,∠AOB保持不变,则(　　)
A.球对OA的压力逐渐增大
B.球对OA的压力先增大后减小
C.球对OB的压力先增大后减小
D.球对OB的压力逐渐增大
题型2　平衡中的临界和极值问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
临界、极值问题的特征。
(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的情形如:①“物体刚好滑动”,指摩擦力达到最大静摩擦力的临界状态;②“绳子恰好绷紧”,指绳子伸直,但拉力F=0的临界状态;③“物体刚好离开接触面”,指两物体接触,但弹力FN=0的临界状态。
(2)极值问题:平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
考向1　数学分析法
通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值等)。
【典例5】　一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上,今用最小的拉力拉它,使之做匀速运动,已知这个最小拉力为6 N,g=10 m/s2,则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ,最小拉力与水平方向的夹角θ的取值正确的是(　　)
A.μ=,θ=0 B.μ=,tan θ=
C.μ=,tan θ= D.μ=,tan θ=
考向2　物理分析法
根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。
【典例6】　
将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后,再用细线悬挂于O点,如图所示。用力F拉小球b,使两个小球都处于静止状态,且O、a间细线与竖直方向的夹角保持θ=30°,重力加速度为g。则F达到最小值时O、a间细线上的拉力为　(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
考向3　极限分析法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小。
【典例7】　在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时,如因吊绳无处钩挂而遇到困难,可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧),用两个吊钩勾住绳圈长边的中点起吊(如图所示),若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ,为了满足安全起吊(不考虑钢丝绳断裂),需要满足的条件是(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A.tan α>μ B.tan α<μ
C.sin α>μ D.sin α<μ
专题提升三　动态平衡问题平衡中的临界和极值问题
题型1
【典例1】　AC　解析　以球乙为研究对象,受力分析如图(a),根据受力平衡,可得FN1sin 30°=FN2,FN1cos 30°=mg,解得FN1=mg,FN2=mg,对甲受力分析,如图(b),由牛顿第三定律可知,球乙对木块甲的压力大小为FN1'=FN1=mg,由平衡条件得F=FN1'sin 30°=mg,A项正确,B项错误;若木块甲左移少许,OA与竖直方向的夹角会变小,系统仍静止,有FN2=mgtan θ,墙壁对球乙的支持力变小,C项正确;若木块甲左移少许,系统仍静止,整个系统竖直方向受力平衡,地面对木块甲的支持力仍然等于系统的重力大小,D项错误。
图(a)　图(b)
【典例2】　BCD　解析　根据题意,以结点O为受力分析点,作出受力分析的矢量三角形,如图甲所示,可知,保持夹角α不变, 拉力F缓慢地由水平位置逆时针转到竖直位置的过程中,拉力F先减小后增大,OM绳拉力T逐渐减小,A项错误,B项正确;当力F的方向水平向右时,受力分析如图乙所示,根据几何关系可得tan α=,解得F=mgtan α,C项正确;当力F垂直于OM绳上的拉力T时,力F有最小值,根据几何关系可得sin α=,解得Fmin=mgsin α,D项正确。
甲　　乙
【典例3】　B　解析　对C点进行受力分析,如图甲所示,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如图乙所示的闭合三角形。三个力组成的三角形与△ABC相似,则==,其中G、AC、AB均不变,BC逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小,B项正确。
甲　乙
【典例4】　C　解析　方法一:正弦定理。以球为研究对象,画出转动过程任一位置球的受力分析图,球受重力G、OA面的弹力F1、OB面的弹力F2,F1、F2的合力大小等于重力,方向竖直向上,如图甲所示,由正弦定理可得==,转动过程中,α角不变,β角由小于90°增大到大于90°,θ角由90°减小到0,结合上式可判断,F1逐渐变小, F2先增大后减小,C项正确,A、B、D三项错误。
甲　乙
方法二:外接圆法。画出球的受力分析图,F1、F2的合力大小等于重力,方向竖直向上,如图乙所示。作矢量三角形的外接圆,重力G不变,α角不变,由示意图知,容器顺时针缓慢旋转90°的过程中,F1逐渐变小, F2先增加后减小,C项正确,A、B、D三项错误。
题型2
【典例5】　B　解析　受力分析如图所示,因为物体处于平衡状态,水平方向有Fcos α=μFN,竖直方向有Fsin α+FN=mg,联立可解得F==,tan φ=,当α+φ=90°时,sin(α+φ)=1,F有最小值Fmin=,代入数值得μ=,此时α=θ,tan θ=tan α=,B项正确。
【典例6】　A　解析　以两个小球组成的整体为研究对象,分析受力,作出F在三个方向时整体的受力图,根据平衡条件知,F与FT的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与O、a间细绳垂直时,F有最小值,即图中2位置,根据平衡条件得F=2mgsin 30°=mg,FT=2mgcos 30°=mg,A项正确。
【典例7】　B　解析　要起吊重物,只需满足绳子张力T的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静摩擦力,如图所示,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则有μTcos α>Tsin α,化简可得tan α<μ,B项正确,A、C、D三项错误。(共30张PPT)
专题提升三
第二章 相互作用——力
动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题
题型1　动态平衡问题
题型2　平衡中的临界和极值问题
内容
索引
动态平衡问题
题型1
1.动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，在变化过程中每一个状态可视为平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
考向1
解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，应用正交分解法列方程，得到因变量与自变量的关系表达式 (通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
【典例1】　(多选)如图所示，木块甲在光滑的水平面上，质量为m的球乙置于木块与光滑竖直墙壁之间，在水平向左的推力F作用下，系统处于静止状态。其中O点为乙的球心，A点为甲、乙之间的接触 点，OA与竖直方向的夹角为30°，取重力加速度大小为g。则( )
A.推力F的大小为mg
B.木块甲对球乙的支持力大小为mg
C.若木块甲左移少许，系统仍静止，墙壁对球乙的支持力变小
D.若木块甲左移少许，系统仍静止，地面对木块甲的支持力变大
以球乙为研究对象，受力分析如图(a)，根据受力平衡，可得FN1sin 30°=FN2，FN1cos 30°=mg，解得FN1=mg，FN2=mg，对甲受力分析，如图(b)，由牛顿第三定律可知，球乙对木块甲的压力大小为FN1'=FN1=mg，由平衡条件得F=FN1'sin 30°= mg，A项正确，B项错误；若木块甲左移少许，OA与竖直方向的夹角会变小，系统仍静止，有FN2=mgtan θ，墙壁对球乙的支持
解析
力变小，C项正确；若木块甲左移少许，系统仍静止，整个系统竖直方向受力平衡，地面对木块甲的支持力仍然等于系统的重力大小，D项错误。
解析
考向2
图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
【典例2】　(多选)如图所示， 不可伸长的悬线MO绳下端挂一质量为m的物体， 在拉力F作用下物体静止， 此时悬线与竖直方向的夹角为α。现保持夹角α不变， 拉力F缓慢地由水平位置逆时针转到竖直位置的过程中 (重力加速度为g)( )
A.F逐渐减小， OM绳拉力逐渐减小
B.F先减小后增大， OM绳拉力逐渐减小
C.若F的方向水平向右，则F=mgtan α
D.F的最小值为mgsin α
根据题意，以结点O为受力分析点，作出受力分析的矢量三角 形，如图甲所示，可知，保持夹角α不变， 拉力F缓慢地由水平位置逆时针转到竖直位置的过程中，拉力F先减小后增大，OM绳拉力T逐渐减小，A项错误，B项正确；当力F的方向水平向右时， 受力分析如图乙所示，根据几何关系可得tan α=，解得F= mgtan α，C项正确；当力F垂直于OM绳上的拉力T时，力F有最小
解析
值，根据几何关系可得sin α=，解得Fmin=mgsin α，D项正确。
解析
考向3
相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变 化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例3】　如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙之间用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F将重物P缓慢向上拉，在AC杆达到竖直状态前( )
A.BC绳中的拉力FT越来越大
B.BC绳中的拉力FT越来越小
C.AC杆中的支持力FN越来越大
D.AC杆中的支持力FN越来越小
对C点进行受力分析，如图甲所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图乙所示的闭合三角形。三个力组成的三角形与△ABC相似，则==，其中G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小，B项正确。
解析
考向4
正弦定理或外接圆法
物体在三个力作用下处于平衡状态，且其中一个力是恒力，另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变。可用两种方法分析，一是正弦定理法，作出力的合成图，在力的矢量三角形中使用正弦定理列方程，根据角度的变化判断力的变化情况；二是外接圆法，作出力的合成图后，发现力的矢量三角形中有一条边和所对的角度是不变的，画出三角形的外接圆，由线段的长度变化分析力的大小变化。
【典例4】　如图所示，内壁光滑的V形容器AOB放在竖直平面内，∠AOB为锐角，贴着内壁放置一个铁球，现将容器以O点为轴在竖直平面内顺时针缓慢旋转90°，在转动过程中，∠AOB保持不变，则 ( )
A.球对OA的压力逐渐增大
B.球对OA的压力先增大后减小
C.球对OB的压力先增大后减小
D.球对OB的压力逐渐增大
方法一：正弦定理。以球为研究对象，画出转动过程任一位置球的受力分析图，球受重力G、OA面的弹力F1、OB面的弹力F2， F1、F2的合力大小等于重力，方向竖直向上，如图甲所示，由正弦定理可得==，转动过程中，α角不变，β角由小于90°增大到大于90°，θ角由90°减小到0，结合上式可判断，F1逐渐变小， F2先增大后减小，C项正确，A、B、D三项错误。
解析
方法二：外接圆法。画出球的受力分析图，F1、F2的合力大小等于重力，方向竖直向上，如图乙所示。作矢量三角形的外接圆，重力G不变，α角不变，由示意图知，容器顺时针缓慢旋转90°的过程中，F1逐渐变小， F2先增加后减小，C项正确，A、B、D三项错误。
解析
平衡中的临界和极值问题
题型2
临界、极值问题的特征。
(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的情形如：①“物体刚好滑动”，指摩擦力达到最大静摩擦力的临界状态；②“绳子恰好绷紧”，指绳子伸直，但拉力F=0的临界状态；③“物体刚好离开接触 面”，指两物体接触，但弹力FN=0的临界状态。
(2)极值问题：平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
考向1
数学分析法
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值等)。
【典例5】　一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N，g= 10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ的取值正确的是( )
A.μ=，θ=0 B.μ=，tan θ=
C.μ=，tan θ= D.μ=，tan θ=
受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有Fcos α=μFN，竖直方向有 Fsin α+FN= mg，联立可解得F==，tan φ=，当α+φ=90°时，sin(α+φ)=1，F有最小值Fmin=，代入数值得μ=，此时α=θ， tan θ=tan α=，B项正确。
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考向2
物理分析法
根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
【典例6】　将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且O、a间细线与竖直方向的夹角保持θ=30°，重力加速度为g。则F达到最小值时O、a间细线上的拉力为( )
A.mg B.mg C.mg D.mg
以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件知，F与FT的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与O、a间细绳垂直时，F有最小值，即图中2位置，根据平衡条件得F=2mgsin 30°=mg，FT=2mgcos 30°=mg，A项正确。
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考向3
极限分析法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
【典例7】　在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧)，用两个吊钩勾住绳圈长边的中点起吊(如图所示)，若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ，为了满足安
全起吊(不考虑钢丝绳断裂)，需要满足的条件是(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A.tan α>μ B.tan α<μ C.sin α>μ D.sin α<μ
要起吊重物，只需满足绳子张力T的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静摩擦力，如图所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有μTcos α>Tsin α，化简可得tan α< μ，B项正确，A、C、D三项错误。
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