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浙江省杭州市余杭、临平区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·余杭模拟）在实数 ，0，－2，1中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．－2 D．1
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ＜﹣2＜0＜1，
∴在实数 ，0，－2，1中，最小的实数是
故答案为：A
【分析】根据负数小于0，0小于正数，负数小于正数，进行求解即可。
2．（2025·余杭模拟）在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D ．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．（2025·余杭模拟）2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2025·余杭模拟）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
B、，符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
D、不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、多项式中含有公因式x，用提公因式法可求解；
B、符合平方差公式，可用平方差公式分解；
C、多项式中含有公因式x，用提公因式法可求解；
D、根据平方差公式""可判断不能用平方差公式分解．
5．（2025·余杭模拟）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（　　）
A．20 B． C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：样本中这一分数段的频数是：，
样本中这一分数段的频率是：，
故答案为：D．
【分析】根据频率=频数÷样本容量并结合直方图中的信息即可求解．
6．（2025·余杭模拟）如图，在中，，，分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于．当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠EGF=∠A，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”
得可求解．
7．（2025·余杭模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，
∴，
∴，
∴点所在的角度为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】如图所示，延长到点，由对顶角相等可得，由点C所在的位置可得点所在的角度为，于是点C表示的位置可求解．
8．（2025·余杭模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
9．（2025·余杭模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
【分析】过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义sin∠D=可将CH用含b、θ的代数式表示出来，然后根据余弦的定义cos∠ACF=求出，再由线段的和差FH=CH+CF即可求解．
10．（2025·余杭模拟）如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，，点在反比例函数（为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为．过点作轴交于点，作轴交于点，连结．记的面积为，以下说法正确的是（　　）
A．的值仅与有关 B．的值仅与有关
C．的值仅与有关 D．的值与都有关
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，横坐标为，
∴，则，，
∵轴交于点，
∴点的纵坐标为，代入直线中得，，
解得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的值仅与有关，
故答案为：C ．
【分析】用待定系数法可求得直线的解析式，由点P在反比例函数的图象上可得，则，，，由三角形的面积得，，然后根据三角形面积的构成即可求解．
11．（2025·余杭模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2025·余杭模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：m＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
13．（2025·余杭模拟）已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为　 　．
【答案】40度
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴这个等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”和三角形的内角和等于180°计算即可求解．
14．（2025·余杭模拟）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
【分析】画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
15．（2025·余杭模拟）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，
设正六边形的边长为，则，
，
正六边形的一个内角为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于点，作于点，则，，设正六边形的边长为，则，求出，由直角三角形中，30度角的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，由线段的和差可得，，同理可得，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数 可求解 ．
16．（2025·余杭模拟）菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：菱形绕点旋转得到菱形，
，，
，
，
如图，过点作，交于点，
菱形中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转可知，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质得到，，过点作，交于点，得到，继而得到，得出，求出，由旋转得到，由线段的和差求得C D的值，由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式可求解．
17．（2025·余杭模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由算术平方根的定义得=3，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．（2025·余杭模拟）以下是小明解分式方程的解答过程：
解：①
②
∴③
经检验是方程的解
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程．
【答案】解：不正确，从第①步开始错，
正确步骤如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
故是增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
19．（2025·余杭模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
（1）写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）解：，
证明：平分，
，
而，
；
（2）解：设，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
答：BF的长为.
【知识点】一元二次方程的其他应用；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据有两角相等的两个三角形相似可求解；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：，
证明：平分，
，
而，
；
（2）解：设，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
20．（2025·余杭模拟）某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分）．其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分（组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计分）绘制成如下统计图和统计表．根据图表信息解决问题：
调查问卷 你最喜欢的在线教育 机构（单选） ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它
测评机构测评情况统计表
课程 师资 教学 体验
A平台 7 9 8
B平台 9 8 7 ______
（1）随机抽取了多少份网友调查问卷？
（2）若“课程”“师资”“教学”“体验”的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？
【答案】（1）解：份，
答：随机抽取了200份网友调查问卷；
（2）解：推荐A平台，理由如下：
A平台的总得分为分，
B平台的总得分为分，
∵，
∴推荐A平台．
【知识点】统计表；扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频率÷百分比并结合表格中的信息和扇形图中的信息可求解；
（2）分别求出两个平台的加权平均数并比较大小即可判断求解．
（1）解：份，
答：随机抽取了200份网友调查问卷；
（2）解：推荐A平台，理由如下：
A平台的总得分为分，
B平台的总得分为分，
∵，
∴推荐A平台．
21．（2025·余杭模拟）已知：如图，平分，于点D．
（1）尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹）
（2）在上题条件下已知，，求的长．
【答案】（1）解：在的左侧作，交于点，
直线即为求作的；
理由：由作法可知：，
；
（2）解：过点作于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：BE的长为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在的左侧作，交于点即可；然后根据“内错角相等，两直线平行”可求解；
（2）过点作于点，在直角三角形BCD，由锐角三角函数tan∠C=求出的值，在直角三角形BEH中，由锐角三角函数tan∠EDH=tan∠DB出==求出的值，然后在Rt△EDH中，根据勾股定理可求解．
（1）解：在的左侧作，交于点，
直线即为求作的；
理由：由作法可知：，
；
（2）解：过点作于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2025·余杭模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象．
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求的值．
（2）当时，求关于的函数表达式．
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
【答案】（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：当时，设关于的函数解析式为，
把点，代入得，
，
解得，，
∴；
当时，；
当时，关于的函数表达式为；
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，
∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元，
∴，
解得，，不符合题意；
当小红家6月份、7月份的用水量都在吨，
∴，
解得，，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨，
∴7月份的费用为（元），用水量为（吨），
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴是5的倍数，且，
∴，
∴小红家6月份的用水量为吨．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据函数图象中的信息分段计算即可求解；
（2）根据函数图象中的信息，用待定系数法即可求解；
（3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在吨；当小红家6月份、7月份的用水量都在吨；当小红家6月份在吨，7月份的用水量在吨；结合函数关系求解即可．
（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，，
解得，，
∴；
当时，；
当时，关于的函数表达式为；
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，
∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元，
∴，
解得，，不符合题意；
当小红家6月份、7月份的用水量都在吨，
∴，
解得，，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨，
∴7月份的费用为（元），用水量为（吨），
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴是5的倍数，且，
∴，
∴小红家6月份的用水量为吨．
23．（2025·余杭模拟）已知抛物线．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线与该抛物线相交于，两点．
①若，求的值．
②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的顶点在轴上，
，
，
该抛物线的函数表达式为；

（2）解：①若，则，
为直线与抛物线的交点，
，
，
若，的值为；
②抛物线的对称轴为直线，
，两点在抛物线上，且点不与点，重合，，
，两点关于对称轴直线对称，
，
，
直线与该抛物线相交于，两点，
，
，是方程的两个根，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)由题意，用待定系数法即可求解；
(2)①将两个函数关系式联立解方程组即可求解；
②由题意，根据抛物线的对称轴为直线x=求得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得，将两个函数关系式联立可得关于x的一元二次方程，根据一元次方程根与系数的关系求得，然后可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：抛物线的顶点在轴上，
，
，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①若，则，
为直线与抛物线的交点，
，
，
若，的值为；
②抛物线的对称轴为直线，
，两点在抛物线上，且点不与点，重合，，
，两点关于对称轴直线对称，
，
，
直线与该抛物线相交于，两点，
，
，是方程的两个根，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（2025·余杭模拟）如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F．
（1）如图2，若为的直径，求的度数．
（2）求证：
①；
②．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵点P是的中点，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：①如图所示，连接，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵∵点P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可求解；
（2）①连接，由“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，，结合角平分线的定义可得，，由等边对等角可得，由等角对等边可得，则所求结论可得证；
②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得，结合已知可求解.
（1）解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵点P是的中点，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①如图所示，连接，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵∵点P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市余杭、临平区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·余杭模拟）在实数 ，0，－2，1中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．－2 D．1
2．（2025·余杭模拟）在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·余杭模拟）2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·余杭模拟）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·余杭模拟）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（　　）
A．20 B． C． D．
6．（2025·余杭模拟）如图，在中，，，分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于．当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·余杭模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·余杭模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·余杭模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·余杭模拟）如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，，点在反比例函数（为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为．过点作轴交于点，作轴交于点，连结．记的面积为，以下说法正确的是（　　）
A．的值仅与有关 B．的值仅与有关
C．的值仅与有关 D．的值与都有关
11．（2025·余杭模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·余杭模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
13．（2025·余杭模拟）已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为　 　．
14．（2025·余杭模拟）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
15．（2025·余杭模拟）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为　 　．
16．（2025·余杭模拟）菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为　 　．
17．（2025·余杭模拟）计算：．
18．（2025·余杭模拟）以下是小明解分式方程的解答过程：
解：①
②
∴③
经检验是方程的解
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程．
19．（2025·余杭模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
（1）写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
（2）已知，求的长．
20．（2025·余杭模拟）某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分）．其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分（组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计分）绘制成如下统计图和统计表．根据图表信息解决问题：
调查问卷 你最喜欢的在线教育 机构（单选） ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它
测评机构测评情况统计表
课程 师资 教学 体验
A平台 7 9 8
B平台 9 8 7 ______
（1）随机抽取了多少份网友调查问卷？
（2）若“课程”“师资”“教学”“体验”的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？
21．（2025·余杭模拟）已知：如图，平分，于点D．
（1）尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹）
（2）在上题条件下已知，，求的长．
22．（2025·余杭模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象．
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求的值．
（2）当时，求关于的函数表达式．
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
23．（2025·余杭模拟）已知抛物线．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线与该抛物线相交于，两点．
①若，求的值．
②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围．
24．（2025·余杭模拟）如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F．
（1）如图2，若为的直径，求的度数．
（2）求证：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ＜﹣2＜0＜1，
∴在实数 ，0，－2，1中，最小的实数是
故答案为：A
【分析】根据负数小于0，0小于正数，负数小于正数，进行求解即可。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D ．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
B、，符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意；
D、不符合平方差公式，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、多项式中含有公因式x，用提公因式法可求解；
B、符合平方差公式，可用平方差公式分解；
C、多项式中含有公因式x，用提公因式法可求解；
D、根据平方差公式""可判断不能用平方差公式分解．
5．【答案】D
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：样本中这一分数段的频数是：，
样本中这一分数段的频率是：，
故答案为：D．
【分析】根据频率=频数÷样本容量并结合直方图中的信息即可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠EGF=∠A，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”
得可求解．
7．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，
∴，
∴，
∴点所在的角度为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】如图所示，延长到点，由对顶角相等可得，由点C所在的位置可得点所在的角度为，于是点C表示的位置可求解．
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
【分析】过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义sin∠D=可将CH用含b、θ的代数式表示出来，然后根据余弦的定义cos∠ACF=求出，再由线段的和差FH=CH+CF即可求解．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，横坐标为，
∴，则，，
∵轴交于点，
∴点的纵坐标为，代入直线中得，，
解得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的值仅与有关，
故答案为：C ．
【分析】用待定系数法可求得直线的解析式，由点P在反比例函数的图象上可得，则，，，由三角形的面积得，，然后根据三角形面积的构成即可求解．
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：m＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
13．【答案】40度
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴这个等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”和三角形的内角和等于180°计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
【分析】画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，
设正六边形的边长为，则，
，
正六边形的一个内角为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于点，作于点，则，，设正六边形的边长为，则，求出，由直角三角形中，30度角的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，由线段的和差可得，，同理可得，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数 可求解 ．
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：菱形绕点旋转得到菱形，
，，
，
，
如图，过点作，交于点，
菱形中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转可知，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质得到，，过点作，交于点，得到，继而得到，得出，求出，由旋转得到，由线段的和差求得C D的值，由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由算术平方根的定义得=3，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：不正确，从第①步开始错，
正确步骤如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
故是增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
19．【答案】（1）解：，
证明：平分，
，
而，
；
（2）解：设，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
答：BF的长为.
【知识点】一元二次方程的其他应用；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据有两角相等的两个三角形相似可求解；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：，
证明：平分，
，
而，
；
（2）解：设，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
20．【答案】（1）解：份，
答：随机抽取了200份网友调查问卷；
（2）解：推荐A平台，理由如下：
A平台的总得分为分，
B平台的总得分为分，
∵，
∴推荐A平台．
【知识点】统计表；扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频率÷百分比并结合表格中的信息和扇形图中的信息可求解；
（2）分别求出两个平台的加权平均数并比较大小即可判断求解．
（1）解：份，
答：随机抽取了200份网友调查问卷；
（2）解：推荐A平台，理由如下：
A平台的总得分为分，
B平台的总得分为分，
∵，
∴推荐A平台．
21．【答案】（1）解：在的左侧作，交于点，
直线即为求作的；
理由：由作法可知：，
；
（2）解：过点作于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：BE的长为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在的左侧作，交于点即可；然后根据“内错角相等，两直线平行”可求解；
（2）过点作于点，在直角三角形BCD，由锐角三角函数tan∠C=求出的值，在直角三角形BEH中，由锐角三角函数tan∠EDH=tan∠DB出==求出的值，然后在Rt△EDH中，根据勾股定理可求解．
（1）解：在的左侧作，交于点，
直线即为求作的；
理由：由作法可知：，
；
（2）解：过点作于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：当时，设关于的函数解析式为，
把点，代入得，
，
解得，，
∴；
当时，；
当时，关于的函数表达式为；
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，
∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元，
∴，
解得，，不符合题意；
当小红家6月份、7月份的用水量都在吨，
∴，
解得，，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨，
∴7月份的费用为（元），用水量为（吨），
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴是5的倍数，且，
∴，
∴小红家6月份的用水量为吨．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据函数图象中的信息分段计算即可求解；
（2）根据函数图象中的信息，用待定系数法即可求解；
（3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在吨；当小红家6月份、7月份的用水量都在吨；当小红家6月份在吨，7月份的用水量在吨；结合函数关系求解即可．
（1）解：当时，，
当时，；
（2）解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，，
解得，，
∴；
当时，；
当时，关于的函数表达式为；
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，
∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元，
∴，
解得，，不符合题意；
当小红家6月份、7月份的用水量都在吨，
∴，
解得，，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨，
∴7月份的费用为（元），用水量为（吨），
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴是5的倍数，且，
∴，
∴小红家6月份的用水量为吨．
23．【答案】（1）解：抛物线的顶点在轴上，
，
，
该抛物线的函数表达式为；

（2）解：①若，则，
为直线与抛物线的交点，
，
，
若，的值为；
②抛物线的对称轴为直线，
，两点在抛物线上，且点不与点，重合，，
，两点关于对称轴直线对称，
，
，
直线与该抛物线相交于，两点，
，
，是方程的两个根，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)由题意，用待定系数法即可求解；
(2)①将两个函数关系式联立解方程组即可求解；
②由题意，根据抛物线的对称轴为直线x=求得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得，将两个函数关系式联立可得关于x的一元二次方程，根据一元次方程根与系数的关系求得，然后可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
（1）解：抛物线的顶点在轴上，
，
，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①若，则，
为直线与抛物线的交点，
，
，
若，的值为；
②抛物线的对称轴为直线，
，两点在抛物线上，且点不与点，重合，，
，两点关于对称轴直线对称，
，
，
直线与该抛物线相交于，两点，
，
，是方程的两个根，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵点P是的中点，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：①如图所示，连接，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵∵点P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可求解；
（2）①连接，由“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，，结合角平分线的定义可得，，由等边对等角可得，由等角对等边可得，则所求结论可得证；
②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得，结合已知可求解.
（1）解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵点P是的中点，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①如图所示，连接，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵∵点P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
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