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专题提升二十一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　　　　　 　　　　　　　　　　
考向1　直线边界磁场
直线边界(进出磁场具有对称性,如图所示)。
【典例1】　
如图所示,直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场,经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,则t1∶t2为(　　)
A.3∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶1
考向2　平行直线边界磁场
平行边界(存在临界条件,如图所示)。
【典例2】　
如图,真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的正电荷粒子(不计重力)沿着与MN夹角为60°的方向射入磁场中,刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是(　　)
A.粒子射入磁场的速度大小为
B.粒子射入磁场的速度大小为
C.粒子在磁场中运动的时间为
D.粒子在磁场中运动的时间为
考向3　圆形边界磁场
圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图所示)。
【典例3】　
(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变,不计重力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
考向4　三角形、四边形边界磁场
带电粒子在三角形或多边形边界的磁场中的运动问题,应充分利用几何图形的信息解题。
【典例4】　
如图所示,在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°,若要使粒子能从AC边穿出磁场,则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(　　)
A.B> B.B<
C.B> D.B<
题型2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
　　　　　 　　　　　　　　　　
考向1　带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度条件下,正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同,因而形成多解。
【典例5】　
(多选)如图所示,在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在MN边界放一刚性挡板,粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入,恰好从Q点射出,下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞,则受到挡板作用力的冲量为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
考向2　磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁场的方向,此时必须考虑由磁场方向不确定而形成的多解。
【典例6】　(多选)一质量为m,电荷量为q的负电荷(重力不计)在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
考向3　临界状态不唯一形成多解
如图所示,带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能直接穿过去了,也可能转过 180°从入射界面反向飞出,于是形成了多解。
【典例7】　
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示。磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度考向4　运动的周期性形成多解
带电粒子在两个相邻磁场或电场、磁场相邻的空间内形成周期性的运动而形成多解。
【典例8】　(多选)(2022·湖北卷)
在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从Р点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
专题提升二十一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型1
【典例1】　A　解析　电子在磁场中都做匀速圆周运动,根据题意画出电子的运动轨迹,如图所示,电子1垂直射进磁场,从b点离开,则运动了半个圆周,ab即为直径,c点为圆心,电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,根据半径r=可知,电子1和2的半径相等,根据几何关系可知,△aOc为等边三角形,则粒子2转过的圆心角为60°,所以电子1运动的时间t1==,电子2运动的时间t2==,所以=3,A项正确。
【典例2】　C　解析　根据题意可以分析粒子到达PQ边界时速度方向与边界线相切,如图所示,则根据几何关系可知l=r+rsin 30°,在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力qvB=m,解得v=,A、B两项错误;由粒子运动轨迹可知粒子转过的圆心角为240°,粒子在磁场中运动的周期为T==,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,C项正确,D项错误。
【典例3】　BD　解析　假设粒子带负电,作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况。如图甲所示,由几何关系可知△O1PO≌△O1QO,所以∠O1PO=∠O1QO,又粒子沿直径射入,∠O1PO=90°,则∠O1QO=90°,O1Q⊥OQ,则每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,D项正确;粒子在圆筒中先做圆周运动,与圆筒碰后速度反向,继续做圆周运动,粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心,之后轨迹也不可能过圆心,A项错误;粒子最少与圆筒碰撞2次,就可能从小孔射出,如图乙所示,B项正确;根据qvB=m可知,r=,则射入小孔时粒子的速度越大,粒子的轨迹半径越大,与圆筒碰撞次数可能会增多,在圆内运动的时间不一定越短,如图丙所示,C项错误。
甲乙
丙
【典例4】　B　解析　若粒子刚好过C点时,其运动轨迹与AC相切,如图所示,则粒子运动的半径为r0==a。由qvB=得r=,粒子要能从AC边射出,粒子运行的半径应满足r>r0,解得B<,B项正确。
题型2
【典例5】　BCD　解析　若粒子带正电,与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出,设轨迹半径为r2,运动轨迹如图甲所示,由图中几何关系可得L2+(r2-0.5L)2=,解得r2=L,由洛伦兹力提供向心力qv2B=m,解得v2=,由动量定理得I=2mv2=,A项错误,C项正确;若粒子的运动轨迹如图乙所示,由左手定则可知,粒子带负电,粒子运动的轨迹半径最小,速度最小,轨迹半径r1=,由qv1B=m,解得v1=,B项正确;若粒子带负电,运动轨迹如图丙所示,当轨迹半径等于L时,此时转过的圆心角为60°,所以在磁场中运动的时间为t==,D项正确。
甲　　乙
丙
【典例6】　AC　解析　依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向有两种可能,且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中,由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知4Bqv=m,得v=,此种情况下,负电荷运动的角速度为ω==;当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时,有2Bqv=m,v=,此种情况下,负电荷运动的角速度为ω==,A、C两项正确。
【典例7】　AB　解析　若带电粒子刚好打在极板右边缘,有=r1-2+l2,又因r1=,解得v1=;若粒子刚好打在极板左边缘时,有r2==,解得v2=,A、B两项正确。
【典例8】　BC　解析　若粒子通过下部分磁场直接到达P点,如图甲所示,根据几何关系有R=L,由qvB=m得v==kBL,根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上,故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当粒子上下均经历一次时,如图乙所示,因为上下磁感应强度均为B,则根据对称性有R=L,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v==kBL,此时出射方向与入射方向相同,即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时,需满足v==kBL(n=1,2,3……),此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°;当粒子从上部分磁场射出时,需满足v==kBL(n=1,2,3……),此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。综上所述,B、C两项正确,A、D两项错误。
甲
乙(共34张PPT)
专题提升二十一
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
第十一章　磁场
题型1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
内容
索引
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型1
考向1
直线边界磁场
直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
【典例1】　如图所示，直线MN上方有垂
直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边
界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，
经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a
点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射
入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为( )
A.3∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶1
电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意
画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂
直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆
周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同
速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r=可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可
解析
知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1==，电子2运动的时间t2==，所以=3，A项正确。
解析
考向2
平行直线边界磁场
平行边界(存在临界条件，如图所示)。
【典例2】　如图，真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的正电荷粒子(不计重力)沿着与MN夹角为60°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是( )
A.粒子射入磁场的速度大小为
B.粒子射入磁场的速度大小为
C.粒子在磁场中运动的时间为
D.粒子在磁场中运动的时间为
根据题意可以分析粒子到达PQ边界时速度方向与
边界线相切，如图所示，则根据几何关系可知l=r+
rsin 30°，在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向
心力qvB=m，解得v=，A、B两项错误；由粒
子运动轨迹可知粒子转过的圆心角为240°，粒子在磁场中运动的周期为T==，粒子在磁场中运动的时间为t=T=，C项正确，D项错误。
解析
考向3
圆形边界磁场
圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。
【典例3】　(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性
绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上
P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心
的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，
然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况。如图甲所示，由几何关系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO=
∠O1QO，又粒子沿直径射入，∠O1PO=90°，则∠O1QO=90°，O1Q⊥OQ，则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，D项正确；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心，A项错误；粒子最少与圆筒碰撞2次，就可能从小孔射出，如图乙所示，B项正
解析
确；根据qvB=m可知，r=，则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与圆筒碰撞次数可能会增多，在圆内运动的时间不一定越短，如图丙所示，C项错误。
解析
考向4
三角形、四边形边界磁场
带电粒子在三角形或多边形边界的磁场中的运动问题，应充分利用几何图形的信息解题。
【典例4】　如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足( )
A.B> B.B<
C.B> D.B<
若粒子刚好过C点时，其运动轨迹与AC相切，
如图所示，则粒子运动的半径为r0==
a。由qvB=得r=，粒子要能从AC边
射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，B项正确。
解析
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
题型2
考向1
带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解。
【典例5】　(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为r2，运动轨迹如图甲所示，由图中几何关系可得L2+(r2-0.5L)2=,解得r2=L，由洛伦兹力提供向心力qv2B=m，解得v2=，由动量定理得I=2mv2=，A项错误，C项正确；若粒子的运动轨迹如图乙所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，速度最小，轨迹半径r1=，由qv1B=m，解得v1=，B
解析
项正确；若粒子带负电，运动轨迹如图丙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t==，D项正确。
解析
考向2
磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁场的方向，此时必须考虑由磁场方向不确定而形成的多解。
【典例6】　(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷(重力不计)在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A. B. C. D.
依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv=m，得v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==
；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv=m,
v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==，A、C两项正确。
解析
考向3
临界状态不唯一形成多解
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解。
【典例7】　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向
里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距
离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的
带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度若带电粒子刚好打在极板右边缘，有=
+l2，又因r1=,解得v1=；若
粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，
解得v2=，A、B两项正确。
解析
考向4
运动的周期性形成多解
带电粒子在两个相邻磁场或电场、磁场相邻的空间内形成周期性的运动而形成多解。
【典例8】　(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为
( )
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，根据几何关系有R=L，由qvB=m得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射
解析
方向的夹角为θ=0°。通过以上分析
可知当粒子从下部分磁场射出时，
需满足v==kBL(n=1，2，
3……)，此时出射方向与入射方向
的夹角为θ=60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。综上所述，B、C两项正确，A、D两项错误。
解析专题提升练21　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　
梯级Ⅰ基础练
1.如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C=30°，比荷均为的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则(　　)
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短
D.粒子在磁场中运动的最长路程为πL
2.(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C.(1+) D.
3.(2025·宿州模拟)如图所示，在半径为R的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b两个粒子，分别从P点沿PO方向垂直于磁场射入，a粒子从A点离开磁场，速度方向偏转了90°，b粒子从B点离开磁场，速度方向偏转60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，下列说法正确的是(　　)
A.a粒子带正电
B.a、b粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3
C.a、b粒子的比荷之比为2∶3
D.a、b粒子在磁场中运动的速度之比为∶2
4.(多选)(2025·开封模拟)如图所示，虚线MN右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个带同种电荷的带电粒子从虚线上同一点A分别以速度v1、v2与MN成相同角度θ垂直磁场方向射入匀强磁场，结果两粒子在边界上B点相遇。不考虑粒子间的相互作用力，不计两粒子的重力。则(　　)
A.若两粒子的比荷相等，则v1=v2
B.若两粒子的比荷相等，则=
C.若两粒子同时从A点射入，则∶=
D.若两粒子同时从A点射入，则∶=1
5.(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷=k，则质子的速度可能为(　　)
A.　　B.BkL　　C.　　D.
梯级Ⅱ能力练
6.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A.B>，垂直纸面向里
B.B>，垂直纸面向里
C.B>，垂直纸面向外
D.B>，垂直纸面向外
7.在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形ABCD区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，自O点沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R;离子源从正方形一边(位于y轴上)的中点P沿垂直于磁场方向持续发射质量为m、电荷量为q的正离子，发射速度方向斜向上，与x轴正方向的夹角范围为0~50°，且各向均匀分布，单位时间发射离子数为N，离子的速度大小随发射角变化的关系为v= ，α为发射速度方向与x轴正方向夹角，其中α=0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R=0.05 m，B=1 T，v0=5×105 m/s，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，sin 50°=0.77，cos 50°=0.64。
(1)求离子的比荷;
(2)证明:从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直;
(3)求单位时间内能打在探测板上的离子数n。
8.如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°后从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计。求:
(1)磁场的磁感应强度B;
(2)正方形区域的边长;
(3)粒子再次回到M点所用的时间。
梯级Ⅲ创新练
9.(多选)如图所示，正方形虚线框abcd边长为L，框内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，e点为bc边上的点，且∠bae=30°，M、N两粒子由a点同时沿ae方向垂直磁场以相同的动量进入，经过一段时间，粒子M由b点离开磁场，粒子N垂直cd边离开磁场，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子M带负电，粒子N带正电
B.粒子M的轨道半径为L
C.粒子M的轨道半径为L
D.粒子M、N的电荷量之比为2∶
专题提升练21　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.D　解析　当粒子能够从AC边射出时,在磁场中运动轨迹如图所示,由几何关系可知,粒子运动轨迹对应的圆心角为120°,因此运动时间为t=T=,当粒子不能从AC边射出,圆心角变小,时间变短,可知所有从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间相同,且粒子在磁场中运动的最长时间为,A、B两项错误;粒子速度越大,粒子在磁场中运动的轨道半径越大,当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长,粒子速度再增大,粒子运动轨迹变短,并不是速度越大,粒子运动轨迹越短,C项错误; 当粒子和BC边相切时路程最大,此时有R=AB=L,因此运动的路程为s=θR=πL,D项正确。
2.C　解析　粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+),C项正确。
3.D　解析　a粒子进入磁场后,向下偏转,由左手定则可知a粒子带负电,A项错误;a粒子在磁场中运动的时间t=Ta,b粒子在磁场中运动的时间t=Tb,a、b粒子在磁场中运动的周期之比为Ta∶Tb=2∶3,B项错误;由粒子做匀速圆周运动的周期T=,可得=,则a、b粒子的比荷之比为3∶2,C项错误;如图,由几何知识可得a粒子做匀速圆周运动的半径为ra=R,b粒子做匀速圆周运动的半径为rb=R,由qvB=m,解得v=,a、b粒子在磁场中运动的速度之比为∶2,D项正确。
4.AC　解析　两粒子的运动轨迹如图,由几何关系可知R1=R2,粒子在磁场中运动,洛伦兹力提供向心力qvB=,解得R=;若两粒子的比荷相等,则=,故v1=v2,A项正确,B项错误;粒子在磁场中运动的周期为T==,故∶=T2∶T1,在磁场中两粒子的运动时间分别为t1=T1=T1,t2=T2=T2;若两粒子同时从A点射入,则两粒子相遇时运动时间相等t1=t2,故=,联立可得∶=,C项正确,D项错误。
5.ABD　解析　质子的运动轨迹如图所示,由几何关系可得2nRcos 60°=L(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力,则有Bqv=m,联立解得v==(n=1,2,3,…),所以A、B、D三项正确,C项错误。
6.BD　解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则知:负离子向右偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,如图所示(大圆弧),由几何知识知,OBsin 30°=R2, OB=s+R2,所以R2=s,当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件,由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=m,解得B>,A项错误,B项正确;当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则知:负离子向左偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知, OCsin 30°=R1, OC=s-R1,所以R1=,当离子轨迹的半径小于时满足约束条件,由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=m,解得B>,C项错误,D项正确。
7.答案　(1)107 C/kg　(2)见解析　(3)N
解析　(1)α=0°时,离子恰好从磁场下边界中点射出,由几何关系可知,此时离子的运动轨迹半径为r=R,
在运动过程中,由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m,
解得==107 C/kg。
(2)由题意和几何关系可知,离子运动轨迹的半径为r'==,
在磁场区域中,由几何关系可知,离子做圆周运动的圆心在y=R(即AB边)这条直线上,则从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直。
(3)由题意可得,离子从B点射出时有
r'+r'sin α=2R,
即1+sin α=2cos α,
可得α=37°,r'=R,
此时,离子从B点垂直AB边射出,综上,α角在0~37°之间时,离子从AB边射出,且射出的方向都垂直AB。
当角度大于37°时,离子的运动轨迹半径变大,离子射出磁场后不能打在探测板上,故在0~50°的范围内,单位时间内打在探测板上的离子数为n=N。
8.答案　(1)　(2)4R　(3)
解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示,设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1,由几何关系可知r1=R,
洛伦兹力提供向心力qv0B=m,
解得B=。
(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2,粒子恰好不从AB边射出,
qv0B=m,r2==R,
正方形的边长L=2r1+2r2=4R。
(3)粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期
T1=,
在圆形磁场中运动时间t1=T1=,
粒子在正方形区域做圆周运动的周期
T2=,t2=T2=,
再次回到M点的时间为
t=t1+t2=。
9.CD　解析　M、N两粒子的轨迹如图所示,根据左手定则可知,粒子M带正电,粒子N带负电,A项错误;根据几何关系可知,粒子M的轨道半径为r1=L,粒子N的轨道半径为r2==L,由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得r=,由于两粒子的动量大小相等,则粒子M、N的电荷量之比为==,B项错误,C、D两项正确。(共31张PPT)
专题提升练21
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
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1.如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C=30°，比荷均为的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则(　　)
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短
D.粒子在磁场中运动的最长路程为πL
梯级Ⅰ 基础练
当粒子能够从AC边射出时，在磁场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子运动轨迹对应的圆心角为120°，因此运动时间为t=T=，当粒子不能从AC边射出，圆心角变小，时间变短，可知所有从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间相同，且粒子在磁场中运动的最长时间为，A、B两项错误；粒子速度越大，
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粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越短，C项错误； 当粒子和BC边相切时路程最大，此时有R=AB=L，因此运动的路程为s=θR=πL，D项正确。
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2.(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为 (　　)
A. B.
C.(1+) D.
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粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r=，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)，C项正确。
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3.(2025·宿州模拟)如图所示，在半径为R的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b两个粒子，分别从P点沿PO方向垂直于磁场射 入，a粒子从A点离开磁场，速度方向偏转了90°，b粒子从B点离开磁场，速度方向偏转60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，下列说法正确的是(　　)
A.a粒子带正电
B.a、b粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3
C.a、b粒子的比荷之比为2∶3
D.a、b粒子在磁场中运动的速度之比为∶2
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a粒子进入磁场后，向下偏转，由左手定则可知a粒子带负电，A项错误；a粒子在磁场中运动的时间t=Ta，b粒子在磁场中运动的时间t=Tb，a、b粒子在磁场中运动的周期之比为Ta∶Tb=2∶3，B项错误；由粒子做匀速圆周运动的周期T=，可得=，则a、b粒子的比荷之比为3∶2，C项错误；如图，由几何知识可得a粒子
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做匀速圆周运动的半径为ra=R，b粒子做匀速圆周运动的半径为rb=R，由qvB=m，解得v=，a、b粒子在磁场中运动的速度之比为∶2，D项正确。
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4.(多选)(2025·开封模拟)如图所示，虚线MN右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个带同种电荷的带电粒子从虚线上同一点A分别以速度v1、v2与MN成相同角度θ垂直磁场方向射入匀强磁场，结果两粒子在边界上B点相遇。不考虑粒子间的相互作用力，不计两粒子的重 力。则(　　)
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A.若两粒子的比荷相等，则v1=v2
B.若两粒子的比荷相等，则=
C.若两粒子同时从A点射入，则∶=
D.若两粒子同时从A点射入，则∶=1
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两粒子的运动轨迹如图，由几何关系可知R1=R2，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB=，解得R=；若两粒子的比荷相等，则=，故v1=v2，A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的周期为T==，故∶=T2∶T1，在磁场中两粒子的运动时间分别为t1=T1=T1，t2=T2=T2；若两粒子同时从A
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点射入，则两粒子相遇时运动时间相等t1=t2，故=，联立可得∶=，C项正确，D项错误。
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5.(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷=k，则质子的速度可能为(　　)
A.　　B.BkL　　C.　　D.
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质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcos 60°=L(n=1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=m，联立解得v==(n=1，2，3，…)，所以A、B、D三项正确，C项错误。
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6.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区 域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
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梯级Ⅱ 能力练
A.B>，垂直纸面向里 B.B>，垂直纸面向里
C.B>，垂直纸面向外 D.B>，垂直纸面向外
当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知:负离子向右偏转，约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切，如图所示(大圆弧)，由几何知识知，OBsin 30°=R2， OB=s+R2，所以R2=s，当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=m，解得B>，A项错误，B项正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定
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则知:负离子向左偏转，约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知，OCsin 30°= R1， OC=s-R1，所以R1=，当离子轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=m，解得B>，C项错误， D项正确。
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7.在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形ABCD区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，自O点沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R；离子源从正方形一边(位于y轴上)的中点P沿垂直于磁场方向持续发射质量为m、电荷量为q的正离子，发射速度方向斜向上，与x轴正方向的夹角范围为0~50°，且各向均匀分布，单位时间发射离子数为N，离子的速度大小随发射角变化的关系为v= ，α为发射速度方向与x轴正方向夹角，其中α=0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方
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向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R=0.05 m，B=1 T，v0=5×105 m/s，sin 37°= 0.6，cos 37°= 0.8，sin 50°=0.77，cos 50°=0.64。
(1)求离子的比荷；
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α=0°时，离子恰好从磁场下边界中点射出，由几何关系可知，此时离子的运动轨迹半径为r=R，
在运动过程中，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m，
解得==107 C/kg。
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(2)证明:从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直；
由题意和几何关系可知，离子运动轨迹的半径为r'==，
在磁场区域中，由几何关系可知，离子做圆周运动的圆心在y=R(即AB边)这条直线上，则从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直。
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(3)求单位时间内能打在探测板上的离子数n。
由题意可得，离子从B点射出时有r'+r'sin α=2R，
即1+sin α=2cos α，
可得α=37°，r'=R，
此时，离子从B点垂直AB边射出，综上，α角在0~37°之间时，离子从AB边射出，且射出的方向都垂直AB。当角度大于37°时，离子的运动轨迹半径变大，离子射出磁场后不能打在探测板上，故在0~50°的范围内，单位时间内打在探测板上的离子数为n=N。
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8.如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相 反。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行
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于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°后从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计。求:
(1)磁场的磁感应强度B；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，由几何关系可知r1=R，
洛伦兹力提供向心力qv0B=m，
解得B=。
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(2)正方形区域的边长；
设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，
qv0B=m，r2==R，
正方形的边长L=2r1+2r2=4R。
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(3)粒子再次回到M点所用的时间。
粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期T1=，
在圆形磁场中运动时间t1=T1=，
粒子在正方形区域做圆周运动的周期T2=，t2=T2=，
再次回到M点的时间为t=t1+t2=。
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9.(多选)如图所示，正方形虚线框abcd边长为L，框内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，e点为bc边上的点，且∠bae=30°，M、N两粒子由a点同时沿ae方向垂直磁场以相同的动量进入，经过一段时
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梯级Ⅲ 创新练
间，粒子M由b点离开磁场，粒子N垂直cd边离开磁场，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子M带负电，粒子N带正电
B.粒子M的轨道半径为L
C.粒子M的轨道半径为L
D.粒子M、N的电荷量之比为2∶
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M、N两粒子的轨迹如图所示，根据左手定则可知，粒子M带正 电，粒子N带负电，A项错误；根据几何关系可知，粒子M的轨道半径为r1=L，粒子N的轨道半径为r2==L，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得r=，由于两粒子的动量大小相
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等，则粒子M、N的电荷量之比为==，B项错误，C、D两项正确。
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