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第一章　静电场
6.电势差与电场强度的关系
核心素养：1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系式，知道其适用条件及各物理 量的意义。2.通过所学知识推导电势差与电场强度的关系式。3.通过电势差与电场强 度的关系式解决相关问题，养成多角度、多方面看问题的思维习惯。4.从试探电荷在 电场中的移动，领会匀强电场中电势差与电场强度关系的推导过程。
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研习任务一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
合作　讨论
如图所示，沿哪个方向电势降落最快？电势降落最快的方向与电场强度方向具有 怎样的关系？
提示：沿A→C方向电势降落最快；电场强度的方向就是电势降落最快的方向。
教材　认知
1. 匀强电场中电场强度与电势差的关系：
3. 场强的另一个单位：伏特每米，符号 ，1 N/C＝1 V/m。
4. UAB＝Ed，其物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于 与这两 点 的乘积。
[思考]　公式UAB＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？
提示：在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
电势差　
每单位距
离　
V/m　
电场强度　
沿电场方向的距离　
核心　归纳
1. 电场强度和电势差的关系
大小
关系
方向
关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理
意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
2. 应用U＝Ed解决问题应注意以下四点
（1）此式只适用于匀强电场，对非匀强电场可定性讨论。
（2）d是电场中两点在电场方向的距离。
（3）单位“V/m”与“N/C”是相等的。
（4）公式说明了匀强电场中的电势分布是均匀的。
研习　经典
A. 5 V C. －5 V
[解析]　根据沿电场线方向电势降低可知B点电势低于A点电势，则UBA为负值，根据 匀强电场中电势差与电场强度的关系可得UBA＝－EdABcos 60°＝－5 V，故选C。
C
匀强电场中两点间电势差的三种求法
　　（1）应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
　　（3）应用关系式UAB＝Ed（匀强电场）来求解。
A. C点的电势比D点的电势高10 V
B. 场强方向由B指向A
C. 场强的大小为20 V/m
AD
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研习任务二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
合作　讨论
教材　认知
1. 等势面越 的地方，电场线越密，电场强度越 。
密　
大　
研习　经典
AD
A. M点的电势比P点的电势高
B. 将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C. M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D. 在O点由静止释放一个不计重力带正电的粒子，该粒子将沿y轴做直线运动
[解析]　分别过M、P点作等势线，可得到过P点的等势线在过M点的等势线上方，因 沿着电场线方向电势降低，则有φM＞φP，A对；将负电荷由O点移到P点，由于UOP＞ 0，则W＝qUOP＜0，电场力做负功，B错；由U＝Ed定性判定可知，M、N间的平均电 场强度小于O、M间的平均电场强度，故M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电 势差，C错；电场线关于y轴对称，故y轴上的电场强度方向沿y轴向上，所以在O点由 静止释放一不计重力带正电的粒子，其所受电场力沿y轴正方向，则该粒子将沿y轴做 直线运动，D对。
A. φc＝－35 V B. φc＞－35 V
C. φc＜－35 V D. 以上答案都不对
B
解析：电场线垂直于等势面，如图所示，
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研习任务三　匀强电场的性质及应用
合作　讨论
　　如图所示，A、B、C为匀强电场中的三个点，已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试画出该电场的电场线，并保留作图时所用的辅助线（用虚线表示）。
提示：连接A、C，将线AC三等分，等分点为D、E，则φD＝6 V，连接BD即为电场中 的一个等势面，过A、E、C三点分别作BD的平行线得到另外三个等势面，过A、B、C 三点分别作等势面的垂线，即为三条电场线，方向由高电势指向低电势，如图所示。
核心　归纳
1. 两个重要结论
甲 乙
结论1：在匀强电场中，长度相等且相互平行的两线段端点间的电势差相等，如图甲 所示，则UAB＝UDC（或φA－φB＝φD－φC），同理可知，UAD ＝UBC。
2. 确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场 线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
研习　经典
A. 200 V/m
C. 100 V/m
A
用等分法找等势点的技巧
（1）在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段， 必能找到第三点的等势点。
（2）在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向 低电势的方向一定是电场方向。
（3）等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。
（4）用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。
B. 坐标原点处的电势为6 V
C. 电子从b点运动到c点，电场力做功为6 eV
D. 电子在a点的电势能比在b点的低2 eV
AC
解得坐标原点处的电势为4 V，故B错误；
电子在c点的电势能Epc＝－eφc＝－18 eV
电子在b点的电势能Epb＝－eφb＝－12 eV
电子在b点的电势能比在c点的高6 eV，故电子从b点运动到c点，电场力做功为6 eV， 故C正确；
电子在a点电势能Epa＝－eφa＝－10 eV，电子在a点的电势能比在b点的高2 eV，故D 错误。故选AC。
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研习任务四　电场中的三类图像
一、φ－x图像
1. 电场强度的大小等于φ－x图线斜率的绝对值，电场强度为零处，φ－x图线存在极 值，其切线的斜率为零。
2. 在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强 度的方向。
3. 在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正 负，然后作出判断。
甲 乙 丙
D
A. E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左上
D. E＝200 V/m，与y轴负方向成30°角斜向左下
二、E－x图像
1. E－x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示其方向与规定的正方向相同。
2. E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布。
3. E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿电场 强度方向电势降低判断。
A. x1、x2两处的电势相同
B. 电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能
D. 电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力一直做负功
BCD
三、Ep－x图像
2. 由Ep－x图像可求出任意两位置对应的电势能的变化量，进而确定静电力做功 情况。
甲 乙
A. 图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B. 图甲中，电场强度沿x轴正方向
C. 图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D. 图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
D
[解析]　根据ΔEp＝－W电＝－Fx可知，Ep－x图像斜率的绝对值表示电场力的大 小，故图甲中，试探电荷在O点受到的电场力不为零，沿x轴正方向电势能增 大，则电场力做负功，可知电场力有沿x轴负方向的分量，试探电荷带负电，则 电场强度有沿x轴正方向的分量，选项A、B错误。结合前面分析及F＝qE可知， 图乙中，x1处的电场强度大于x2处的电场强度，选项C错误。图乙中，试探电荷 在x1处的电势能小于在x2处的电势能，试探电荷带负电，根据Ep＝qφ，可知x1处 的电势高于x2处的电势，选项D正确。
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课后提素养
基础　题组
1. 思维辨析
×
×
√
×
√
A. 在相同距离上，电势差大的其场强也必定大
B. 任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积
C. 沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等
D. 电势降低的方向，必定是电场强度的方向
解析：由匀强电场的特点知A、B错误，C正确；电势降低最快的方向才是电场强度方 向，D错误。
C
A. 1.0 V B. 2.0 V C. 3.0 V D. 4.0 V
解析：由U＝Ed可知当d最大时，U最大，代入数值可得U最大值为2.0 V；当a、b位 于同一等势面上时，Uab＝0，则最小值为零，故A、B可能，C、D不可能。
AB
中档　题组
A. UOA＝Er B. UOA＝Ersin θ
C. UOA＝Ercos θ D. UOA＝－Ercos θ
解析：由题图可知OA沿场强方向的距离d＝OAcos θ＝rcos θ，故UOA＝Ed＝Ercos θ， 故C正确。
C
A. 50 V B. 500 V C. 5 000 V D. 50 000 V
解析：根据电势差与电场强度之间的关系，可知放电时产生的瞬间电压可达U＝Ed＝ 1 000×0.5 V＝500 V，故选B。
B
A. 50 V/m
C. 100 V/m
C
A. φA＞φB＞φC B. EA＞EB＞EC
C. UAB＜UBC D. UAB＝UBC
解析：沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电 场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最 弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB＜UBC， C正确，D错误。
AC
A. q1和q2带有异种电荷
B. x1处的电场强度为零
C. 负电荷从x1移到x2，电势能减小
D. 负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
解析：从图中看到，中间电势高，两边电势低，且图形左右不对称，电势有正有负， 判断q1和q2带有异种不等量电荷，A项正确；从图线斜率看，x1处的电场强度不为 零，B项错误；负电荷从x1移到x2，即由低电势到高电势，电场力做正功，电势能减 小，C项正确；x2处电场强度为零，所以负电荷从x1移到x2，受到的电场力减小，D项 错误。
AC
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课时作业
[基础训练]
A. 式中的d是a、b两点间的距离
B. a、b两点间距离越大，电势差越大
C. d是a、b两个等势面的距离
D. 此式适用于任何电场
解析：公式Uab＝Ed只适用于匀强电场，其中d为沿电场强度方向上的距离，也是两等 势面间的距离，C正确，A、B、D错误。
C
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A. E＝100 V/m，竖直向下 B. E＝100 V/m，竖直向上
C. E＝100 V/m，水平向左 D. E＝100 V/m，水平向右
C
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D. UAC＝3UBC
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B. 50 N/C D. 10 N/C
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A. ab之间的电势差为40 V
B. ad之间的电势差为50 V
C. 将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abcd移动一周，电场力做 的功是－0.25 J
D. 将q＝－5×10－3 C的点电荷从a移到c，电场力做的功是0.25 J
解析：由U＝Ed得Uab＝1×103×0.04 V＝40 V，A正确；a、d在同一等势面上，所以 Uad＝0，B错误；将电荷沿abcd移动一周，位移为零，故电场力做功为零，C错误； Wac＝Wab＝qUab＝（－5×10－3）×40 J＝－0.2 J，D错误。
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C
解析：在匀强电场中，沿任意一条直线电势均匀变化，沿AB方向的电势均匀降低，C 正确。
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A. 带电粒子带负电
B. 带电粒子先做加速运动后做减速运动
C. 带电粒子运动的加速度不断减小
D. 带电粒子的电势能先减小后增大
C
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8. 平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的 电压是 60 V。试问：
（1）两板间的电场强度是多大？
（1） 1 200 V/m
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（2）电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点 间的电势差为多大？
（2） 48 V
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（3）若B板接地，P1和P2两点的电势各是多大？
（3） 54 V　6 V
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[能力提升]
9. 如图所示为电子束焊接机，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之 间加上高电压U，两极之间形成了辐向分布的电场，图中带箭头的虚线代表电场线， B、C是电场中两点。有一电子在K极由静止被加速，不考虑电子重力，元电荷为e， 则下列说法正确的是（　　）
B. C点电势高于B点电势
C. B点电场强度大于C点电场强度
D. 电子由K到A的电势能增加了eU
B
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解析：电场线的疏密表示场强大小，因此A、K之间的电场强度不均匀，B点电场强度 小于C点电场强度，A、C错误；沿电场线，电势逐渐降低，因此C点电势高于B点电 势，B正确；根据W＝Uq可知，电子由K到A的电场力做正功eU，电势能减少了eU， D错误。故选B。
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A. D点的电势为33 V
B. 匀强电场平行于y轴，且沿着y轴负方向
D. 将一电子从D点移动到B点，电子克服电场力做的功为30 eV
AC
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A. 若将离子从b点移到d点，电场力做功为零
B. 离子在a、b两点的电势能满足Epa＞Epb
C. 离子在a、b两点时动能满足Eka＞Ekb
D. 由对称性可知，b、c两点的场强相同
AC
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解析：由题图及对称性可知φa＞φb＝φd＞φc，故Ubd＝0，即b、d两点间的电势差为 零，由W＝qU可知，将离子从b点移到d点，电场力做功为零，A正确；由离子运动轨 迹可知该离子带负电，而负电荷在电势高处电势能小，故Epa＜Epb，B错误；离子运 动过程中仅受电场力，即动能与电势能之和不变，又Epa＜Epb，故Eka＞Ekb，C正确； 电场线的切线方向表示场强方向，故b、c两点的场强方向不同，D错误。
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12. 匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10 －9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，静电力做了1.5×10－7 J 的正功。求：
（1）A、B两点间的电势差UAB；
（1） －75 V
（2）A、B两点间的距离；
（2） 1.875 m
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（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有静电力作用的情况下， 求经过B点时的速度大小。
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