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第三单元易错题型专项14 长方体正方体体积综合生活实践奥数思维
答案解析
一、填空题
1．一个长方体水箱从里面量长为60cm，宽为40cm，深为30cm，箱中水面高10cm。小红将一个棱长20cm的正方体铁块竖直放入水箱至箱底，发现铁块顶面仍然高出水面，这时水面高度为( )cm。
【正确答案】12
【解题思路】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，放入铁块后，在水不溢出的情况下，水箱中的水变成了一个大长方体空间空出一个小长方体的形状，此时，水的底面积＝长方体底面积－正方体底面积，水的体积÷水的底面积＝水面高度，据此列式计算。
【详细解答】60×40×10＝24000（cm3）
60×40－20×20
＝2400－400
＝2000（cm2）
24000÷2000＝12（cm）
这时水面高度为12cm。
【考点点评】关键是能想象出放入铁块后水的形状，掌握并灵活运用长方体体积公式。
2．在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切出了一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长是( )cm，再用剩下的木块切出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，最终剩下的这些木块的体积是( )cm2。
【正确答案】6 4 140
【解题思路】（1）在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于这个长方体的高；
（2）用剩下的木块的再切出一个最大的正方体，我们要弄清楚剩下的木块的形状，在剩下的木块中，有一部分长是10－6＝4cm，宽是7cm，高是6cm的长方体。所以第二次切最大的正方体的棱长是4cm。
（3）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出开始长方体木块的面积，再分别求出第一次得到正方体的体积和第二次得到正方体的体积，用最开始的长方体体积减去两次得到的正方体体积。
【详细解答】（1）第一次得到的正方体棱长是6cm；
（2）10－6＝4（cm）
第二次得到的正方体棱长是4cm；
（3）10×7×6
＝70×6
＝420（）
6×6×6
＝36×6
＝216（）
4×4×4
＝16×4
＝64（）
420－216－64
＝204－64
＝140（）
最终剩下的这些木块的体积是140。
【考点点评】本题考查了长方体、正方体的体积公式。每次切出最大的正方体的棱长是长方体长、宽、高中最小的一个，这是解题的关键。
3．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。

【正确答案】192 576
【解题思路】根据题意，长方体的高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体，那么原来长方体的长、宽都是12cm；
增加的表面积是高为4cm的小长方体的4个侧面积之和，每个面是长为12cm、宽为4cm的长方形，求出一个面的面积，再乘4，即可求出增加的表面积；
增加的体积是高为4cm的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出增加的体积。
【详细解答】12×4×4
＝48×4
＝192（cm2）
12×12×4
＝144×4
＝576（cm3）
表面积增加了192cm2，体积增加了576cm3。
【考点点评】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是根据正方体的特征得出长方体的长、宽，分析出增加的表面积是哪些面的面积是解题的关键。
4．用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。
【正确答案】38 12
【解题思路】根据题意可知，长方体长、宽、高上分别切割成6个、5个、3个小正方体。一面涂色的小正方体位于大长方体的面上，分别用长、宽、高减去两端的小正方体，就是处于中间面上一面涂色的小正方体在大长方体的长、宽、高上的个数，即（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出一面涂色的小正方体的个数；
没有涂色的小正方体在长方体的内部，它在大长方体的长、宽、高上的个数也是（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出没有涂色的小正方体的个数。
【详细解答】每条棱分别切割成小正方体的个数：
长：6÷1＝6（个）
宽：5÷1＝5（个）
高：3÷1＝3（个）
一面涂色或没有涂色的小正方体：
长：6－2＝4（个）
宽：5－2＝3（个）
高：3－2＝1（个）
一面涂色的小正方体有：
（4×3＋4×1＋3×1）×2
＝（12＋4＋3）×2
＝19×2
＝38（个）
没有涂色的小正方体有：4×3×1＝12（个）
这些小正方体中，一面涂色的小正方体有38个，没有涂色的小正方体有12个。
【考点点评】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，结合长方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于长方体的8个顶点处；两面涂色的小正方体位于长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于面上（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在长方体的内部。
5．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的六个面中有两个面的面积是大于1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。
【正确答案】75
【解题思路】由于长方体中有两个面为正方形，则长、宽、高中有两条相等的棱，可设长为b，宽和高为a（a＞1），根据长方体表面积公式得：，化简整理并分解因式得：（2b＋a）a＝55，由于a、b均为整数，且b＞1，则2b＋a和a都是55的因数，2b＋a＝11，a＝5符合题意；再解方程组可得b＝3，最后根据长方体体积＝长×宽×高，将数据代入即可。
【详细解答】解：设长为b厘米，宽和高为a厘米（b＞1）。
（2b＋a）a＝55
（2b＋a）a＝5×11
当a＝5时，2b＋a＝11
2b＋5＝11
2b＋5－5＝11－5
2b＝6
2b÷2＝6÷2
b＝3
长方体体积：3×5×5＝75（立方厘米）
【考点点评】本题的关键是分解因数，得到长方体各边的长。
6．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水。将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器。图中线段AB的长度是( )厘米。
【正确答案】15
【解题思路】如图所示，把内侧棱长为20厘米的正方体容器看作上下两个长方体，流出水的体积等于上面长方体体积的一半，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出倒出水的体积，下面长方体的体积＝内侧棱长为20厘米的正方体的体积－倒出水的体积×2，AB相当于下面长方体的高，下面长方体的底面积为（20×20）厘米，最后根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出线段AB的长度，据此解答。
【详细解答】
倒出水的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
下面长方体的体积：20×20×20－1000×2
＝8000－2000
＝6000（立方厘米）
线段AB的长度：6000÷（20×20）
＝6000÷400
＝15（厘米）
所以，图中线段AB的长度是15厘米。
【考点点评】把大正方体分为两个小长方体，把上面长方体的体积转化为倒出水的体积的2倍，并掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
7．一块长方体木料，截去一个高8cm的长方体后，表面积比原来减少，剩下的部分是一个正方体。原来这块长方体木料的体积是( )。
【正确答案】504
【解题思路】截去一个高8cm的长方体后，表面积减少的是长方体4个侧面的面积，用192除以4即可计算出1个面的面积为48cm2，根据长方形的面积公式，48除以8即可计算出长方形的宽为6cm，即正方体的棱长。所以原来长方体的长和宽都为6cm，高为（6＋8）cm，利用长方体的体积公式即可得解。
【详细解答】192÷4÷8
＝48÷8
＝6（cm）
6×6×（6＋8）
＝36×14
＝504（cm3）
【考点点评】此题的解题关键是掌握立体图形切拼后表面积的变化情况，灵活运用长方体的体积公式求解。
8．一根铁丝正好可以围成一个棱长是8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3；若将这根铁丝改围成一个长10cm，宽8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2。
【正确答案】512 376
【解题思路】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出正方体的体积；
根据题意，用一根铁丝围成正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的长度；
这根铁丝又围成了长方体，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，即可求出长方体的高；
最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求出围成的长方体的表面积。
【详细解答】正方体的体积：
8×8×8
＝64×8
＝512（cm3）
正方体的棱长总和：
8×12＝96（cm）
长方体的高：
96÷4－10－8
＝24－10－8
＝6（cm）
长方体的表面积：
（10×8＋10×6＋8×6）×2
＝（80＋60＋48）×2
＝188×2
＝376（cm2）
【考点点评】掌握正方体、长方体的棱长总和、体积公式以及长方体的表面积公式是解题的关键。
9．一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了36平方分米，这个长方体木块原来的体积是( )立方分米。
【正确答案】200
【解题思路】根据题意可知，把长方体的高削去2分米，表面积减少的是高为2分米的4个侧面的面积，即2个长×高与2个宽×高；先用减少的表面积除以2，得到1个长×高与1个宽×高的面积之和；然后除以高2分米，得到1个长与宽的和，再减去长，就是宽；最后根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据计算即可。
【详细解答】36÷2＝18（平方分米）
18÷2－5
＝9－5
＝4（分米）
5×4×10
＝20×10
＝200（立方分米）
【考点点评】掌握长方体切割的特点，明确减少的表面积是哪些面的面积。
10．有A、B、C三种规格的纸板各一批（数量足够多），如下图所示，现在从中选6张做成一个长方体（正方体除外）。做的长方体中，体积最小是( )立方厘米。
【正确答案】45
【解题思路】正方体除外，所以长方体各个面不能一样，要想使体积最小，各个面应该尽可能的小，则体积最小的长方体应是长宽高分别为3厘米，3厘米，5厘米。
【详细解答】3×3×5
＝9×5
＝45（立方厘米）
做的长方体，体积最小是45立方厘米。
【考点点评】本题考查长方体的体积，解答本题的关键是找到体积最小的长方体的长宽高。
二、解答题
11．小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？
【正确答案】656平方厘米；28个
【解题思路】纸板的面积等于原来长方形的纸板的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答；收纳盒的长为（30－4×2＝22）厘米，宽为（24－4×2＝16）厘米，高为4厘米，收纳盒的长和茶叶盒的高重合可以放（22÷3）个茶叶盒，收纳盒的宽和茶叶盒的宽重合可以放（16÷4）个茶叶盒，收纳盒的高和茶叶盒的长重合可以放（4÷4）个茶叶盒，最后相乘求出收纳盒放置茶叶盒的总数量。
【详细解答】30×24－4×4×4
＝720－16×4
＝720－64
＝656（平方厘米）
（30－4×2）÷3
＝（30－8）÷3
＝22÷3
＝7（个）……1（厘米）
（24－4×2）÷4
＝（24－8）÷4
＝16÷4
＝4（个）
4÷4＝1（个）
4×7×1＝28（个）
答：这个收纳盆所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。
【考点点评】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。
12．一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？
【正确答案】312平方厘米；360立方厘米
【解题思路】根据题意，长方体的高截去4厘米后，表面积减少96平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是4厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以4，即可求出原来长方体的长、宽；用长方体的长或宽加上4厘米，即是原来长方体的高；
根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的表面积和体积。
【详细解答】长方体的长、宽是：
96÷4÷4
＝24÷4
＝6（厘米）
长方体的高是：6＋4＝10（厘米）
长方体的表面积是：
（6×6＋6×10＋6×10）×2
＝（36＋60＋60）×2
＝156×2
＝312（平方厘米）
长方体的体积是：
6×6×10
＝36×10
＝360（立方厘米）
答：原长方体的表面积312平方厘米，体积是360立方厘米。
【考点点评】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。
13．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？
【正确答案】14.4立方分米
【解题思路】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得，长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。
【详细解答】10÷2＝5（分米）
3＋2＝5（分米）
3×2＝6（平方分米）
因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。
长方体的高：
（36÷2－3×2）÷（3＋2）
＝（18－6）÷5
＝12÷5
＝2.4（分米）
长方体的体积：3×2×2.4
＝6×2.4
＝14.4（立方分米）
答：这个长方体的体积是14.4立方分米。
【考点点评】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。
14．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。
【正确答案】320立方厘米
【解题思路】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。
【详细解答】480÷10÷8
＝48÷8
＝6（厘米）
15－6＝9（厘米）
13－9＝4（厘米）
10×8×4
＝80×4
＝320（立方厘米）
答：小玻璃球的体积是320立方厘米。
【考点点评】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升的体积即为所放物体的体积。
15．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
【正确答案】17厘米
【解题思路】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。
【详细解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。
25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]
625－125＝9375－125×[－10]
500＝9375－125＋1250
500＝10625－125
500＋125＝10625－125＋125
625＝10625
625÷625＝10625÷625
＝17
答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【考点点评】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。
16．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形做一个高10厘米的最大的无盖纸盒。
（1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。
（2）你能求出这个纸盒的体积吗？
【正确答案】（1）见详解
（2）6000立方厘米
【解题思路】（1）在长方形的四个角上分别剪去边长10厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成高10厘米的无盖纸盒。
（2）这个无盖长方体纸盒的长是（50－10×2）厘米，宽是（40－10×2）厘米，高是10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个纸盒的体积。
【详细解答】（1）如图：
（2）（50－10×2）×（40－10×2）×10
＝（50－20）×（40－20）×10
＝30×20×10
＝6000（立方厘米）
答：这个纸盒的体积是6000立方厘米。
【考点点评】本题考查长方体的体积公式的运用，掌握用长方形做成无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是计算长方体体积的关键。
17．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？
【正确答案】3.2厘米
【解题思路】根据题意，要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积；而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截取一段长度后的长方体的体积；
又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2求出横截面的面积，再根据h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。
【详细解答】小正方体的体积：
1.2×1.2×1.2
＝1.44×1.2
＝1.728（立方厘米）
长方体橡皮泥所需的长度：
1.728÷（0.6×0.6）
＝1.728÷0.36
＝4.8（厘米）
应削去：8－4.8＝3.2（厘米）
答：需要把这个长方体橡皮泥削去3.2厘米。
【考点点评】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。
18．如图，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深24厘米，要将长方体容器乙的水倒一部分给长方体容器甲中，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？
【正确答案】8厘米
【解题思路】已知乙长方体容器中水深24厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积；要将长方体容器乙的水倒一部分给甲，使两个长方体容器中水的高度相同，可以想成将两个容器拼在一起，则底面积是（40×30＋30×20）平方厘米，根据长方体高＝体积÷底面积，即可求出这时两个容器中水的深度。
【详细解答】30×20×24
＝600×24
＝14400（立方厘米）
14400÷（40×30＋30×20）
＝14400÷（1200＋600）
＝14400÷1800
＝8（厘米）
答：水深8厘米。
【考点点评】本题考查长方体体积公式的灵活运用，也可以列方程求解，用甲容器中水的体积＋乙容器中水的体积＝原来乙容器中水的体积，据此列出方程。
19．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？
【正确答案】312平方厘米；168立方厘米
【解题思路】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。
此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。
【详细解答】表面积：
6×6×6＋2×2×4×6
＝216＋96
＝312（平方厘米）
体积：
6×6×6－2×2×2×6
＝216－48
＝168（立方厘米）
答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。
【考点点评】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。
20．如图所示，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深30厘米，要将容器乙中的水倒一部分给容器甲，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？
【正确答案】10厘米
【解题思路】根据题干分析可得，可设两个容器的水深相同为x厘米，根据长方体的体积公式可知，甲容器中的水的体积是：50×40×x立方厘米；乙容器中的水的体积是40×25×x立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于乙容器中高为30厘米时的水的体积，即可列出方程，求出x的值即可解答问题。
【详细解答】解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程：
50×40×x＋40×25×x＝40×25×30
2000x＋1000x＝30000
3000x＝30000
x＝30000÷3000
x＝10
答：这时两个容器水深是10厘米。
【考点点评】此题考查了长方体的体积公式的计算应用，抓住水的体积不变列出方程解决问题。
21．如图，A处比B处高50厘米，现在要把这块地推平（使A、B两处一样高），要从A处取下多少厘米厚的土填在B处？
【正确答案】20厘米
【解题思路】A处比B处高50厘米，现在要使A、B两处一样高，需要把高出的这部分土均匀地铺在A、B两处的上面，先求出A处比B处高出部分的体积，再用这部分体积除以A、 B两处的底面积之和求出平铺的厚度，用原来高出的50厘米减去新铺成的厚度就是从A处取下土的厚度。
【详细解答】50厘米＝0.5米
60×30×0.5
＝1800×0.5
＝900（立方米）
（60＋40）×30
＝100×30
＝3000（平方米）
900÷3000＝0.3（米）
0.3米＝30厘米
50－30＝20（厘米）
答：要从A处取下20厘米厚的土填在B处。
【考点点评】此题考查了长方体的体积应用，关键是理解土推平前后底面积的变化对厚度的影响。
22．明明想用一个长方体容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：
步骤一：在容器中放入一个棱长6厘米的正方体，注入一定量的水，使得水深12厘米；
步骤二：把正方体从水中取出，量得此时水深8厘米；
步骤三：将1个玻璃球浸没到水中后，发现水深变化不明显，接着又放入4个同样大小的玻璃球（全部浸没），量得水面高度比没放玻璃球时上升了1厘米。
请你根据以上数学实验信息计算出一个玻璃球的体积。（结果保留到整数）
【正确答案】11立方厘米
【解题思路】先根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体的体积；当正方体从水中取出，水面下降了（12－8）厘米，水下降部分的体积等于正方体的体积，用这个体积除以水下降的高度，求出长方体容积的底面积；
接着一共放入了5个玻璃球，水面上升了1厘米，那么水面上升部分的体积等于这5个玻璃球的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，用容器的底面积乘水上升的高度，求出这5个玻璃球的体积，再除以5，即是一个玻璃球的体积。
【详细解答】6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
216÷（12－8）
＝216÷4
＝54（平方厘米）
54×1＝54（立方厘米）
54÷5≈11（立方厘米）
答：一个玻璃球的体积约为11立方厘米。
【考点点评】本题考查不规则物体的体积求法，明确放入或取出物体的体积等于水面上升或下降部分的体积，然后灵活运用长方体、正方体的体积计算公式，列式计算。
23．下面是小东比较一个土豆和一个红薯的体积时做的实验，红薯的体积比土豆的体积大多少？（如图，单位：厘米）
【正确答案】100立方厘米
【解题思路】土豆的体积等于排开水的体积，即上升部分水的体积，据此利用长方体的体积公式即可解答；
然后用容器的底面积×（加入红薯后水的高度－加入土豆后水的高度）即可计算出红薯的体积。最后用红薯的体积减土豆的体积即可解答。
【详细解答】土豆：10×10×（9.5－8）
＝100×1.5
＝150（立方厘米）
红薯：10×10×（12－9.5）
＝100×2.5
＝250（立方厘米）
250－150＝100（立方厘米）
答：红薯的体积比土豆的体积大100立方厘米。
【考点点评】本题主要考查了长方体体积的灵活应用和体积的等积变形，注意物体的体积等于上升水的体积。
24．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？
【正确答案】20立方厘米
【解题思路】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。
【详细解答】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2
＝27－9＋2
＝20（立方厘米）
答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。
【考点点评】在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会减少，外表面减少，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的情况。
25．有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。
【正确答案】2厘米
【解题思路】题干中没有注明是否完全浸没，首先假设完全浸没，长方体铁块完全浸没在水中会使与之体积相同的水上升，已知上升的水（铁块）的体积和容器底面积，即可求出上升的高度。根据长方体的体积V＝Sh，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积÷长方体容器底面积＝水面上升高度。通过判断水面上升的高度，来判断是否完全浸没，如果完全浸没，则计算结束；
如果没有完全浸没，则根据放入前后水的体积不变，但是放入长方体铁块之后，长方体容器的底面积变小了，由此用水的体积÷（长方体容器底面积－长方体铁块的底面积）得出此时水面的高度，再减去原水面高度即可得出水面上升的高度。
【详细解答】假设铁块完全浸没：
200×15÷（40×30）
＝3000÷1200
＝2.5（厘米）
10＋2.5＝12.5（厘米）
12.5厘米＜15厘米
所以，说明铁块没有完全浸没。
40×30×10÷（40×30－200）
＝12000÷（1200－200）
＝12000÷1000
＝12（厘米）
12－10＝2（厘米）
答：水面上升的高度是2厘米。
【考点点评】本题中没有注明铁块是否完全浸没，因此应该先假设其完全浸没，然后通过计算结果来判断其是否完全浸没。铁块完全浸没与否，需要使用两种不同的计算方法，所以判断其是否完全浸没至关重要。
26．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计）
【正确答案】32升
【解题思路】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，据此可以求出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去0.8分米求出可以装水的高，再用底面积乘高即可求出能装水的体积。
【详细解答】40升＝40立方分米
40÷10－0.8
＝4－0.8
＝3.2（分米）
3.2×10＝32（立方分米）
32立方分米＝32升
答：最多能装水32升。
【考点点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。
27．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。
（1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？
（2）这个长方体容器的容积是多少升？
【正确答案】（1）2900平方分米
（2）10000升
【解题思路】（1）观察图形可知，做这个无盖的长方体容器所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解；
（2）从图中可知，长方体的长是（60－5×2）分米，宽是（50－5×2）分米，高是5分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”求解。
【详细解答】（1）60×50－5×5×4
＝3000－100
＝2900（平方分米）
答：做这个无盖的长方体容器用了2900平方分米的铁皮。
（2）（60－5×2）×（50－5×2）×5
＝（60－10）×（50－10）×5
＝50×40×5
＝10000（立方分米）
10000立方分米＝10000升
答：这个长方体容器的容积是10000升。
【考点点评】本题考查长方体的表面积、体积公式的灵活运用，在求长方体的容积时，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。
28．一个长方体水槽，长10厘米，宽8厘米，现有水的深度是2.675厘米，另有一个棱长为3厘米的正方体铁块，在它的一个角上挖去了一个小正方体。现将挖去角的正方体铁块浸入水中，此时水面刚好和铁块的上底面持平，求挖去的小正方体的体积？
【正确答案】1立方厘米
【解题思路】大正方体的棱长为3厘米，则放入铁块后水面高度为3厘米，铁块对应的水面高度＝放入铁块后水面的高度－原来水的高度，再根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出放入铁块对应水的体积，挖去小正方体的体积＝大正方体的体积－放入铁块对应水的体积，据此解答。
【详细解答】10×8×（3－2.675）
＝10×8×0.325
＝80×0.325
＝26（立方厘米）
3×3×3－26
＝27－26
＝1（立方厘米）
答：挖去的小正方体的体积是1立方厘米。
【考点点评】把挖去小正方体后铁块的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。
29．小明的爸爸被称为“制作小能手”。爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一个长0.6米，宽0.5米，高0.4米的无盖鱼缸。现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。
请你根据上面的信息解决下面的问题：
（1）请你帮助小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？
（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？
（3）要使这个鱼缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？
【正确答案】（1）2块②号、2块③号、1块④号；
（2）1.18平方米；
（3）105升
【解题思路】（1）无盖玻璃鱼缸长0.6米，宽0.5米，高0.4米，需要长0.6米，宽0.5米的玻璃1块；长0.5米，宽0.4米的玻璃2块；长0.6米，宽0.4米的玻璃2块；
（2）根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出长方体的表面积，需要玻璃的面积＝长方体的表面积－长方体的底面积；
（3）倒入水的体积＝玻璃鱼缸的底面积×鱼缸里水的深度，最后把单位转化为升即可。
【详细解答】（1）②号玻璃和③号玻璃各需要2块，④号玻璃需要1块；
（2）（0.6×0.5＋0.6×0.4＋0.5×0.4）×2－0.6×0.5
＝（0.3＋0.24＋0.2）×2－0.6×0.5
＝0.74×2－0.6×0.5
＝1.48－0.3
＝1.18（平方米）
答：一共需要1.18平方米的玻璃。
（3）0.6×0.5×0.35×1000
＝0.3×0.35×1000
＝0.105×1000
＝105（升）
答：需要倒入105升水。
【考点点评】本题主要考查长方体的特征以及长方体表面积和体积公式的应用，解题过程中要注意单位换算。
30．如图，张叔叔有一个长为60厘米，宽为40厘米，高为50厘米的无盖长方体水槽。
（1）做这样一个长方体水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？
（2）张叔叔把这个长方体水槽装入30厘米深的水，装入的水是多少毫升？
（3）张叔叔在这个已有30厘米深的水的水槽中，放入一个长是20厘米，宽是20厘米，高是30厘米的长方体石块浸没在水槽中，水槽中的水将上升多少厘米？
【正确答案】（1）12400平方厘米
（2）72000毫升
（3）5厘米
【解题思路】（1）求做一个无盖的长方体水槽需要的玻璃面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，即“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。
（2）求30厘米深的水的容积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，结果要换算单位，进率：1立方厘米＝1毫升。
（3）在水槽中浸没一个长方体石块，则水上升部分的体积就是石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出石块的体积；再根据长方体的高＝体积÷底面积，其中底面积是水槽的“长×宽”，代入数据计算，求出水上升的高度。
【详细解答】（1）60×40＋60×50×2＋40×50×2
＝2400＋6000＋4000
＝12400（平方厘米）
答：做这样一个长方体水槽至少需要12400平方厘米的玻璃。
（2）60×40×30
＝2400×30
＝72000（立方厘米）
72000立方厘米＝72000毫升
答：装入的水是72000毫升。
（3）20×20×30
＝400×30
＝12000（立方厘米）
12000÷（60×40）
＝12000÷2400
＝5（厘米）
答：水槽中的水将上升5厘米。
【考点点评】灵活运用长方体的表面积、体积公式，以及把石块的体积转移到水上升部分的体积是解题的关键。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三单元易错题型专项14 长方体正方体体积综合生活实践奥数思维
一、填空题
1．一个长方体水箱从里面量长为60cm，宽为40cm，深为30cm，箱中水面高10cm。小红将一个棱长20cm的正方体铁块竖直放入水箱至箱底，发现铁块顶面仍然高出水面，这时水面高度为( )cm。
2．在一个长10cm，宽7cm，高6cm的长方体木块中切出了一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长是( )cm，再用剩下的木块切出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，最终剩下的这些木块的体积是( )cm2。
3．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是12cm的正方体。表面积增加了( )cm2，体积增加了( )cm3。

4．用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。
5．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的六个面中有两个面的面积是大于1平方厘米的正方形，它的体积是( )立方厘米。
6．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水。将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器。图中线段AB的长度是( )厘米。
7．一块长方体木料，截去一个高8cm的长方体后，表面积比原来减少，剩下的部分是一个正方体。原来这块长方体木料的体积是( )。
8．一根铁丝正好可以围成一个棱长是8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3；若将这根铁丝改围成一个长10cm，宽8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2。
9．一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了36平方分米，这个长方体木块原来的体积是( )立方分米。
10．有A、B、C三种规格的纸板各一批（数量足够多），如下图所示，现在从中选6张做成一个长方体（正方体除外）。做的长方体中，体积最小是( )立方厘米。
二、解答题
11．小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？
12．一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？
13．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？
14．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。
15．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
16．壮壮需要一个盒子来装他的积木，他准备用下图长50厘米、宽40厘米的长方形做一个高10厘米的最大的无盖纸盒。
（1）在下图中动手画一画，显示壮壮是怎样剪的。
（2）你能求出这个纸盒的体积吗？
17．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？
18．如图，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深24厘米，要将长方体容器乙的水倒一部分给长方体容器甲中，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？
19．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？
20．如图所示，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深30厘米，要将容器乙中的水倒一部分给容器甲，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？
21．如图，A处比B处高50厘米，现在要把这块地推平（使A、B两处一样高），要从A处取下多少厘米厚的土填在B处？
22．明明想用一个长方体容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：
步骤一：在容器中放入一个棱长6厘米的正方体，注入一定量的水，使得水深12厘米；
步骤二：把正方体从水中取出，量得此时水深8厘米；
步骤三：将1个玻璃球浸没到水中后，发现水深变化不明显，接着又放入4个同样大小的玻璃球（全部浸没），量得水面高度比没放玻璃球时上升了1厘米。
请你根据以上数学实验信息计算出一个玻璃球的体积。（结果保留到整数）
23．下面是小东比较一个土豆和一个红薯的体积时做的实验，红薯的体积比土豆的体积大多少？（如图，单位：厘米）
24．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？
25．有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。
26．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计）
27．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。
（1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？
（2）这个长方体容器的容积是多少升？
28．一个长方体水槽，长10厘米，宽8厘米，现有水的深度是2.675厘米，另有一个棱长为3厘米的正方体铁块，在它的一个角上挖去了一个小正方体。现将挖去角的正方体铁块浸入水中，此时水面刚好和铁块的上底面持平，求挖去的小正方体的体积？
29．小明的爸爸被称为“制作小能手”。爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一个长0.6米，宽0.5米，高0.4米的无盖鱼缸。现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。
请你根据上面的信息解决下面的问题：
（1）请你帮助小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？
（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？
（3）要使这个鱼缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？
30．如图，张叔叔有一个长为60厘米，宽为40厘米，高为50厘米的无盖长方体水槽。
（1）做这样一个长方体水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？
（2）张叔叔把这个长方体水槽装入30厘米深的水，装入的水是多少毫升？
（3）张叔叔在这个已有30厘米深的水的水槽中，放入一个长是20厘米，宽是20厘米，高是30厘米的长方体石块浸没在水槽中，水槽中的水将上升多少厘米？
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