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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
（奥数）第七单元 用方程解决问题奥数思维训练一
一、填空题
1．苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果刚好装完，梨还多12个，那么苹果和梨共（ ）个。
2．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。将容器倒置过来后，发现仍有一部分铁块淹没在水面以下，此时水面的高度为15厘米。那么，这个长方体实心铁块的高度是（ ）厘米。

3．某车队运一批货物，第一天运了85吨，第二天运送所剩货物的少3吨，其余的第三天运完，已知第三天比第二天少运15吨，这批货物共有（ ）吨。
4．食品工厂有两台包饺子机，每一台每分钟能包60个饺子。一天这个工厂接到一批包18000个饺子的订单，于是开动两台机器包饺子。但包了20分钟后，其中一台机器因故障无法工作，经过30分钟准备，经理组织了男工和女工共20人也加入包饺子的工作，这样，又经过了40分钟，完成了这批订单。如果女工每分能包15个饺子，男工每分能包12个，另一台机器始终正常工作，那么包饺子的女工有 人。
5．小王与小李两人同时骑车从两地相对而行，小王每小时行10千米，小李每小时行12千米，两人在距离中点6千米的地方相遇，那么两地之间距离是（ ）千米，他们走了（ ）小时后相遇。
6．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马（ ）天可以追上慢马。
7．小狗站在百米跑道的终点，看到起点有一个像是它主人的人向它走来。它盯着看了5秒，确定那就是主人，于是它以3米/秒的速度向主人跑去，若主人的行走速度是2米/秒，则小狗跑了（ ）秒和主人相遇。
8．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差（ ）分钟。
二、选择题
9．电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）。
A．20张 B．15张 C．10张 D．5张
10．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇。若乙车慢一些，则乙车每时行（ ）千米。
A．93 B．99 C．111
11．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是（ ）。
A． B． C．
12．下图，每横行、竖行、斜行三个数的和都相等，则☆处应该填（ ）。
A．15 B．18 C．24 D．30
13．甲、乙同时沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，已知甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局。问：甲乙在中途何时相遇？（ ）
A．8点48分 B．8点30分 C．9点 D．9点10分
14．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题。已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是（ ）。
A．29 B．31 C．33 D．35
15．王阳和李军分别从相距810米的A，B两地同时出发，相向而行，王阳每分钟走65米，李军每分钟走70米。当他们相遇时，王阳走了（ ）。
A．420米 B．405米 C．390米 D．982米
16．佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（ ）。
A． B． C．
三、解答题
17．A、B两地相距480米。甲、乙两人同时从两地相对出发，甲每分钟行35米，乙每分钟行45米。一只小鸟以每分钟行90米的速度和甲同时出发向乙飞去，遇到乙又折回向甲飞去，遇到甲又返回飞向乙，这样一直飞下去，两人相遇时小鸟飞了多少米？
18．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？
19．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面，求每名一级技工、二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？
20．两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，甲车每小时行驶33千米，乙车每小时行驶42千米，经过多长时间两车相距75千米？
21．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。
22．甲、乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本，回家后甲还给乙6元钱，问：日记本每本多少钱？
23．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？
24．用方程解决下面的问题。
端午节当天，食堂买来两桶粽子，乙桶中粽子的个数是甲桶中的，从甲桶中取出39个粽子放入乙桶中，这时乙桶中粽子的个数是甲桶中的。乙桶中原有粽子多少个？
25．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行20米，甲乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行。相遇后乙车立即回头行，甲车继续往前行，当乙车回头行道B点时，甲车过了B点恰好又回道A点，此时甲车立即回头行，乙车继续前行，再过多少分钟两车又相遇？
26．马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？
27．斑马、鸵鸟的速度分别是多少？（先写出等量关系，再列方程解答。）
28．为节约用水，安安爸爸将家里的2个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量比普通龙头少。
（1）按照每个龙头每天平均使用10分钟计算，每个月（按30天计算）安安家里可以节约用水多少升？
（2）安安发现节水龙头的节水效果还是很明显的，于是他对单元楼的56户居民进行了统计，发现已使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的。已使用节水龙头的用户有多少户？
29．林丽和李芳家相距1800米，她们约好周末一起去博物馆参观。两人同时分别从家骑自行车相向而行。
（1）估计两人会在何处相遇，请在图中用“△”标出来。
（2）几分后两人相遇？（列方程解决问题）
30．京张高速铁路是一条连接北京市和河北省张家口市的城际铁路，是2022年北京冬奥会重要交通保障设施。京张高速铁路全长174千米。假如A、B两列火车分别从北京北站和张家口站同时出发，从北京北站开出的A火车平均每小时行驶215千米，从张家口站开出的B火车平均每小时行驶220千米。（列方程计算）
（1）出发后经过几小时两车相遇？
（2）两车相遇时离北京北站有多远？
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（奥数）第七单元 用方程解决问题奥数思维训练一
答案解析
一、填空题
1．苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果刚好装完，梨还多12个，那么苹果和梨共（ ）个。
【答案】132
【解题思路】把5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完，说明苹果个数减4后（梨的个数）是某个数的倍数。假设梨有3x个，则苹果有（5x＋4）个；梨的个数减去12后，每3个梨一袋可以装的袋数与每7个苹果一袋可以装的袋数相等，据此列方程解答。继而求出苹果和梨共有多少个。
【详细解答】解：设梨有3x个，则苹果有（5x＋4）个
（3x－12）÷3＝（5x＋4）÷7
（3x－12）÷3×3×7＝（5x＋4）÷7×7×3
（3x－12）×7＝（5x＋4）×3
21x－84＝15x＋12
21x－84－15x＋84＝15x＋12－15x＋84
6x＝96
6x÷6＝96÷6
x＝16
3×16＋（5×16＋4）
＝48＋（80＋4）
＝48＋84
＝132（个）
故苹果和梨共132个。
【考点点评】本题考查列方程解决实际问题。解题关键（1）利用未知数间接假设苹果（或梨）的个数；（2）找到第二次分装的等量关系式（袋数相等）。
2．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。将容器倒置过来后，发现仍有一部分铁块淹没在水面以下，此时水面的高度为15厘米。那么，这个长方体实心铁块的高度是（ ）厘米。

【答案】17
【解题思路】根据题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是x厘米，根据左图，水的高度等于实心铁块的高度，这部分体积等于水的体积＋实心铁块的体积，用这部分的体积减去实心铁块的体积，得出水的体积，即：水的体积＝（25×25×x－125×x）立方厘米；右图中铁块在水中的高位为[x－（25－15）]厘米，水的体积为：（25×25×15）立方厘米－125×[x－（25－15）]立方厘米，由于水的体积不变，列方程：25×25×x－125×x＝（25×25×15）－125×[x－（25－15）]，解方程，即可解答。
【详细解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是x厘米。
25×25×x－125×x＝25×25×15－125×[x－（25－15）]
625x－125x＝625×15－125×[x－10]
500x＝9375－125x＋125×10
500x＋125x＝9375＋1250
625x＝10625
x＝10625÷625
x＝17
这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【考点点评】本题考查方程的实际应用，利用水的体积不变，以及长方体体积公式，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
3．某车队运一批货物，第一天运了85吨，第二天运送所剩货物的少3吨，其余的第三天运完，已知第三天比第二天少运15吨，这批货物共有（ ）吨。
【答案】400
【解题思路】根据题意，设这批货物共有x吨，第一天运了85吨，还剩（x－85）吨，第二天运送所剩货物的少3吨，则第二天运了[（x－85）×－3]吨；第三天比第二天少运15吨，第三天运来[（x－85）×－3－15]吨；第二天运的货物吨数－15＝第三天运的货物；第二天运的货物＋第三天运的货物＝总货物－第一天运的货物，列方程：x－85＝（x－85）×－3＋（x－85）×－3－15，解方程，即可解答。
【详细解答】解：设这批货物共有x吨。
x－85＝（x－85）×－3＋（x－85）×－3－15
x－85＝x－－3＋x－－3－15
x－85＝x－－21
x－x＝－85＋21
x＝－＋
x＝＋
x＝
x＝÷
x＝×15
x＝400
某车队运一批货物，第一天运了85吨，第二天运送所剩货物的少3吨，其余的第三天运完，已知第三天比第二天少运15吨，这批货物共有400吨。
【考点点评】根据方程的实际应用，利用总货物第一天、第二天和第三天运的货物的吨数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
4．食品工厂有两台包饺子机，每一台每分钟能包60个饺子。一天这个工厂接到一批包18000个饺子的订单，于是开动两台机器包饺子。但包了20分钟后，其中一台机器因故障无法工作，经过30分钟准备，经理组织了男工和女工共20人也加入包饺子的工作，这样，又经过了40分钟，完成了这批订单。如果女工每分能包15个饺子，男工每分能包12个，另一台机器始终正常工作，那么包饺子的女工有 人。
【答案】15
【解题思路】首先机器包饺子时间，第一台包饺子时间是20分钟＋30分钟＋40钟分，第二台包饺子机，包饺子时间是20分钟，机器包饺子时间是：20＋20＋30＋40＝110分钟，机器每分钟包饺子60个，110分钟包多少个饺子，即110×60＝6600个，工人包的饺子是18000－6600＝11400个，工人包了40分钟，男工和女工一共20人，设女工有x人，男工有20－x人，女工一分钟包饺子15个，40分钟包饺子数是：x×15×40个，男工一分钟包饺子12个，40分钟包饺子数是：（20－x）×12×40个，女工包饺子数＋男工包饺子数＝11400个，即可解答。
【详细解答】解：设女工有x人，则男工有20－x人
15×40x＋（20－x）×12×40＝18000－[60×（20＋20＋30＋40）]
600x＋9600－480x＝18000－[60×110]
120x＋9600＝18000－6600
120x＋9600＝11400
120x＝11400－9600
120x＝1800
x＝1800÷120
x＝15
【考点点评】本题考查工程问题，关键是利用工作总量、工作时间、工作效率之间的关系，列方程，解方程。
5．小王与小李两人同时骑车从两地相对而行，小王每小时行10千米，小李每小时行12千米，两人在距离中点6千米的地方相遇，那么两地之间距离是（ ）千米，他们走了（ ）小时后相遇。
【答案】132 6
【解题思路】根据题意，小李比小王行驶的速度快，小李的路程－小王的路程＝两人的路程差，因为两人在距离中点6千米相遇，所以路程相差两个6千米，根据速度×时间＝路程，设两人x小时后相遇，列方程为：12x－10x＝2×6，然后解出方程即可求出相遇时间，根据速度和×相遇时间＝路程和求出两地的距离。
【详细解答】解：设两人x小时后相遇。
12x－10x＝2×6
2x＝2×6
2x＝12
2x÷2＝12÷2
x＝6
（12＋10）×6
＝22×6
＝132（千米）
两地相距132千米；6小时后相遇。
【考点点评】根据方程的实际应用，利用两人行驶的时间相同，找到相应的数量关系是解答本题的关键。
6．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马（ ）天可以追上慢马。
【答案】20
【解题思路】根据题意，可以设快马x天可以追上慢马；根据路程＝速度×时间；快马每天跑240里，x天可以跑240x里；慢马每天跑150里，12天跑150×12里，x天跑150x里；快马跑的路程＝慢马12天跑的路程＋x天跑的路程，列方程：240x＝150×12＋150x，解方程，即可解答。
【详细解答】解：设快马x天可以追上慢马。
240x＝150×12＋150x
240x－150x＝1800
90x＝1800
x＝1800÷90
x＝20
快马20天可以追上慢马。
7．小狗站在百米跑道的终点，看到起点有一个像是它主人的人向它走来。它盯着看了5秒，确定那就是主人，于是它以3米/秒的速度向主人跑去，若主人的行走速度是2米/秒，则小狗跑了（ ）秒和主人相遇。
【答案】18
【解题思路】设小狗跑了秒和主人相遇。根据等量关系：100米＝小狗秒跑的路程＋主人秒行的路程＋主人5秒行的路程，列出方程即可求解。
【详细解答】解：设小狗跑了秒和主人相遇。
3＋2＋2×5＝100
3＋2＋10＝100
5＋10＝100
5＋10－10＝100－10
5＝90
5÷5＝90÷5
＝18
小狗跑了18秒和主人相遇。
8．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差（ ）分钟。
【答案】9.6
【解题思路】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。
【详细解答】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。
12（x－y）＝8（x＋y）
12x－12y＝8x＋8y
12x－8x＝12y＋8y
4x＝20y
x＝5y
两辆车之间距离：12（x－y）
＝12（5y－y）
＝12×4y
＝48y（米）
则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟）
则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。
二、选择题
9．电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）。
A．20张 B．15张 C．10张 D．5张
【答案】C
【解题思路】假设10元的买了x张，15元的买了y张，20元的买了z张，班长用了500元买了30张电影票，则10x＋15y＋20z＝500，共买了30张，也就是x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z，把y＝30－x－z代入到10x＋15y＋20z＝500中可得：z－x＝10。
【详细解答】设这三种票分别买x、y、z张。
x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z
10x＋15y＋20z＝500
将y＝30－x－z带入10x＋15y＋20z＝500中
10x＋15×（30－x－z）＋20z＝500
10x＋450－15x－15z＋20z＝500
5z－5x＋450＝500
5z－5x＝500－450
5z－5x＝50
5×（z－x）＝50
z－x＝50÷5
z－x＝10
故答案为：C
10．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇。若乙车慢一些，则乙车每时行（ ）千米。
A．93 B．99 C．111
【答案】A
【解题思路】根据题意可知，乙车慢一些，两车在距离中点30千米处相遇，说明甲车比乙车多行了两个30千米，设乙车每小时行驶x千米，5小时行驶5x千米，甲车5小时行驶105×5千米，用甲车行驶的距离－乙车行驶的距离＝甲车比乙车多行的距离，列方程：105×5－5x＝30×2，解方程，即可解答。
【详细解答】解：设乙车每小时行x千米。
105×5－5x＝30×2
525－5x＝60
5x＝525－60
5x＝465
x＝465÷5
x＝93
故答案为：A
【考点点评】解答本题的关键明确，甲车与乙车相遇时甲车行驶的距离比乙车多两个30千米。
11．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是（ ）。
A． B． C．
【答案】A
【解题思路】甲杯中有a毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍，乙杯中的饮料是4×a＝4a（毫升），从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，即乙杯减去30毫升等于甲杯加上30毫升，可列方程，或根据乙杯比甲杯多2倍的30毫升列方程，解答即可。
【详细解答】由分析可列方程：
或。
故答案为：A
【考点点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为a，由此列方程解决问题。
12．下图，每横行、竖行、斜行三个数的和都相等，则☆处应该填（ ）。
A．15 B．18 C．24 D．30
【答案】D
【解题思路】，如图所示，设正中间一格中的数是x，则每横行、竖行、斜行三个数的和都等于3x，据此分别表示出①和②格中的数，第一行三个数相加等于3x，列方程求出x，进而求出☆的值。
【详细解答】解：设正中间一格中的数是x。
（2x－9）＋12＋（2x－21）＝3x
4x－18＝3x
x＝18
2x－21＝18×2－21＝15
☆＝3×18－15－9
＝54－15－9
＝30
故正确答案为：D
【考点点评】此题考查了数阵问题，明确每横行、竖行、斜行三个数的和都等于中间一格数的3倍是解题关键。
13．甲、乙同时沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，已知甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局。问：甲乙在中途何时相遇？（ ）
A．8点48分 B．8点30分 C．9点 D．9点10分
【答案】A
【解题思路】根据甲的速度是乙的1.5倍，把乙每小时行的路程看作1份，甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局，相差2小时，即甲、乙相距看作2份，由路程÷速度和＝时间，列式解答。
【详细解答】我们把乙行1小时的路程看作1份，
那么上午8时，甲乙相距10－8＝2份
所以相遇时，乙行了2÷（1＋1.5）＝0.8份，0.8×60＝48分钟
所以在8点48分相遇
故答案选：A
【考点点评】解答此题首先设乙每小时行的路程为1份，再求甲乙达到邮局相差多少，根据相遇问题的基本数量关系式解答即可。
14．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题。已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是（ ）。
A．29 B．31 C．33 D．35
【答案】B
【解题思路】根据题意知：答对2道、3道、4道的人数是：52－7－6＝39人，由此设答对2道和3道的人数为人，则做对4道的人数为39－2人，进而列出方程，据此解答。
【详细解答】解：设答对2道和3道的人数均为x人，则做对4道的人数为52－7－6－2x即做对4道的人数为39－2x人，根据题意可得方程：
1×7＋2x＋3x＋4×（39－2x）＋5×6＝181
7＋5x＋156－8x＋30＝181
193－3x＝181
3x＝12
x＝4
做对4道的人数为：39－2×4＝39－8＝31（人）
故答案为：B
【考点点评】此题含有3个未知数，根据题意分别设出这三个未知数是解答本题的关键。
15．王阳和李军分别从相距810米的A，B两地同时出发，相向而行，王阳每分钟走65米，李军每分钟走70米。当他们相遇时，王阳走了（ ）。
A．420米 B．405米 C．390米 D．982米
【答案】C
【解题思路】总路程÷速度和＝相遇时间，王阳的速度×相遇时间＝王阳走的路程，据此列式计算。
【详细解答】810÷（65＋70）×65
＝810÷135×65
＝6×65
＝390（米）
当他们相遇时，王阳走了390米。
故答案为：C
16．佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（ ）。
A． B． C．
【答案】A
【解题思路】速度×时间＝路程，根据佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，即可列出方程，据此分析。
【详细解答】A．，佳佳速度×相遇时间－青青速度×相遇时间＝两人路程差，方程错误；
B．，用到的等量关系：佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，方程正确；
C．，用到的等量关系：佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，方程正确。
方程中错误的是。
故答案为：A
三、解答题
17．A、B两地相距480米。甲、乙两人同时从两地相对出发，甲每分钟行35米，乙每分钟行45米。一只小鸟以每分钟行90米的速度和甲同时出发向乙飞去，遇到乙又折回向甲飞去，遇到甲又返回飞向乙，这样一直飞下去，两人相遇时小鸟飞了多少米？
【答案】540米
【解题思路】开始时甲、乙分别从A、B两地相对出发，而小鸟从A地快速飞行，遇到乙返回，遇到甲再返回，直到相遇同时停止，通过分析发现小鸟用的时间就是甲、乙的相遇时间。
【详细解答】＝540（米）
答：两人相遇时小鸟飞了540米。
【考点点评】这道题关键是理解小鸟飞行的时间就是甲乙的相遇时间。
18．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？
【答案】540千米
【解题思路】两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。
【详细解答】解：设经过x小时两车相遇。
60x－48x＝30×2
12x＝60
x＝60÷12
x＝5
（60＋48）×5
＝108×5
＝540（千米）
答：A、B两地间的距离是540千米。
19．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面，求每名一级技工、二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？
【答案】每名一级技工每天粉刷122平方米，每名二级技工一天粉刷112平方米
【解题思路】每名一级技工粉刷的墙面＝（8个房间的面积－50）÷3，每名二级技工粉刷的墙面＝（10个房间的面积＋40）÷5。设每个房间有x平方米，则数量关系为：每名一级技工－二级技工＝10。列出方程求出方程的解。
【详细解答】解：设每个房间有x平方米。
每名一级技工：（8×52－50）÷3
＝（416－50）÷3
＝366÷3
＝122（平方米）
每名二级技工：（10×52＋40）÷5
＝（520＋40）÷5
＝560÷5
＝112（平方米）
答：每名一级技工每天粉刷122平方米，每名二级技工一天粉刷112平方米。
【考点点评】本题主要考查列方程解应用题，当方程里有除法，同时是除以一个整数的时候，可以转换成分数的形式进行解方程。
20．两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，甲车每小时行驶33千米，乙车每小时行驶42千米，经过多长时间两车相距75千米？
【答案】3小时；5小时
【解题思路】此题应考虑两种情况，一种是未相遇；另一种是相遇后再相距。设经过x小时后，两车相距75千米；根据公式：总路程＝速度之和×所用时间，分别列方程为：（33＋42）x＝300－75，（33＋42）x＝300＋75，据此解出方程即可。注意：第一种情况总路程为（300－75）千米；第二种情况总路程为（300＋75）千米。
【详细解答】解：设经过x小时后，两车相距75千米。
（33＋42）x＝300－75
75x＝300－75
75x＝225
75x÷75＝225÷75
x＝3
（33＋42）x＝300＋75
75x＝375
75x÷75＝375÷75
x＝5
答：未相遇是3小时后两车相距75千米，相遇后再相距是5小时后两车相距75千米。
【考点点评】本题的关键是根据实际情况分析出两车相距的路程，再根据公式：路程÷速度之和＝所用时间，可以列算式解答，也可以用方程解答。
21．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。
【答案】6小时
【解题思路】设出发经过x小时，丙在甲、乙之间；甲x小时行6.5x千米，乙x小时行5.5x千米，丙x小时行4.5x千米；丙在甲、乙中间，用杭州到绍兴的路程减去乙和丙行驶的路程和，等于甲比乙多行驶的路程的一半，列方程：63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2，列方程，即可解答。
【详细解答】解：设出发后经过x小时，丙在甲、乙的中间。
63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2
63－10x＝x÷2
63－10x＝0.5x
10x＋0.5x＝63
10.5x＝63
x＝63÷10.5
x＝6
答：出发后经过6小时，丙在甲、乙的中间。
【考点点评】本题考查方程的实际的应用，根据三人的速度各不相同，以及行驶的路程，利用三人行驶的路程之间的关系，设出未知数，找出相关的量。列方程，解方程。
22．甲、乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本，回家后甲还给乙6元钱，问：日记本每本多少钱？
【答案】3元
【解题思路】本题考查了列方程解应用问题，由于乙买了8本，剩下钱的钱借给甲，后面甲又还给乙6元，所以乙借给甲6元，根据等量关系：8本日记本的价钱元本日记本的价钱元，列方程求解即可。
【详细解答】解：设日记本每本x元。

答：日记本每本3元。
【考点点评】读懂题意，并正确找出题干中的数量关系是解答此类问题的关键。
23．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？
【答案】18公顷
【解题思路】根据题意，设菜地有x公顷，已知菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，则麦地有（13－x）÷公顷，又因为“麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷”，根据这个等量关系列方程解答即可。
【详细解答】由分析得：
解：设菜地有x公顷，则麦地有（13－x）÷公顷。
x＋（13－x）÷×＝12
x＋（13－x）×3×＝12
x＋（13－x）×＝12
x＋－x＝12
－x＝12
x＝－12
x＝
x＝÷
x＝18
答：菜地有18公顷。
【考点点评】这种等量代换的题，用方程解答比较简单，有两个等量关系，一个等量关系表示另一个未知量，第二个等量关系来解方程。
24．用方程解决下面的问题。
端午节当天，食堂买来两桶粽子，乙桶中粽子的个数是甲桶中的，从甲桶中取出39个粽子放入乙桶中，这时乙桶中粽子的个数是甲桶中的。乙桶中原有粽子多少个？
【答案】81个
【解题思路】根据题意可得等量关系式：（原来甲桶中粽子的个数－39）×＝原来乙桶中粽子的个数＋39；设原来甲桶中有x个粽子，那么原来乙桶中就有x个粽子，然后列出方程求出原来甲桶中有多少个粽子，然后进一步解答即可。
【详细解答】解：设原来甲桶中有x个粽子，那么原来乙桶中就有x个粽子，由题意得：
（x－39）×＝x＋39
x－＝x＋39
x－x＝＋39
x＝
x＝189
189×＝81（个）
答：乙桶中原有粽子81个。
【考点点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
25．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行20米，甲乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行。相遇后乙车立即回头行，甲车继续往前行，当乙车回头行道B点时，甲车过了B点恰好又回道A点，此时甲车立即回头行，乙车继续前行，再过多少分钟两车又相遇？
【答案】3分钟
【解题思路】根据题意可知，甲、乙第一次相遇时，甲车行驶了圆形道的一半，也就是360÷2＝180（米），除以甲车的速度，可求出甲车用的时间，此时乙车行驶的路程＝圆形道一半的周长－90米，用时与甲车用时相等，根据速度＝路程÷时间，求出乙车的速度，最后相遇时间＝总路程÷速度和，解答即可。
【详细解答】360÷2÷20
＝180÷20
＝9（分钟）
（180－90）÷9
＝90÷9
＝10（米/分）
90÷（20＋10）
＝90÷30
＝3（分钟）
答：再过3分钟两车又相遇。
【考点点评】此题考查了多次相遇问题，先求出乙的速度是解题关键。
26．马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？
【答案】30岁
【解题思路】先设马丁的女儿岁，然后根据题意可知，分别表示出其他三人的年龄，即儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。再根据把他们的年龄都加起来，正好等于祖母的年龄，列方程解答，进而求出马丁的年龄。
【详细解答】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。
马丁的年龄：（岁）
答：马丁30岁。
27．斑马、鸵鸟的速度分别是多少？（先写出等量关系，再列方程解答。）
【答案】等量关系见详解；28千米/时；52千米/时
【解题思路】可以设斑马的速度为x千米/时，把斑马的速度看作单位“1”，已知羚羊的速度是斑马速度的，用斑马的速度就是羚羊的速度；再把鸵鸟的速度看作单位“1”，已知斑马的速度是鸵鸟速度的，用鸵鸟的速度×就是斑马的速度；据此解答。
【详细解答】斑马的速度羚羊的速度
鸵鸟的速度斑马的速度
解：设斑马的速度为x千米/时。
x＝28
鸵鸟的速度：
＝28×
＝52（千米/时）
答：斑马的速度是28千米/时，鸵鸟的速度是52千米/时。
28．为节约用水，安安爸爸将家里的2个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量比普通龙头少。
（1）按照每个龙头每天平均使用10分钟计算，每个月（按30天计算）安安家里可以节约用水多少升？
（2）安安发现节水龙头的节水效果还是很明显的，于是他对单元楼的56户居民进行了统计，发现已使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的。已使用节水龙头的用户有多少户？
【答案】（1）900升
（2）35户
【解题思路】（1）由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则节水龙头每分钟的流水量比普通龙头可节约的流水量为9×＝升；用乘2就是2个节水龙头可节水的流水量，然后再乘10可得到两个龙头每天可节约的流水量，最再乘30即可求出每个月（按30天计算）安安家里可以节约用水多少升；
（2）由题意可知，设未使用节水龙头的有x户，则已使用节水龙头的有x户，根据等量关系：未使用节水龙头的户数＋已使用节水龙头的户数＝56，据此列方程解答即可。
【详细解答】（1）9××2×10×30
＝×2×10×30
＝3×10×30
＝30×30
＝900（升）
答：每个月安安家里可以节约用水900升。
（2）解：设未使用节水龙头的有x户，则已使用节水龙头的有x户。
x＋x＝56
x＝56
x÷＝56÷
x＝56×
x＝21
56－21＝35（户）
答：已使用节水龙头的用户有35户。
29．林丽和李芳家相距1800米，她们约好周末一起去博物馆参观。两人同时分别从家骑自行车相向而行。
（1）估计两人会在何处相遇，请在图中用“△”标出来。
（2）几分后两人相遇？（列方程解决问题）
【答案】（1）图见详解；
（2）4分
【解题思路】（1）由图可知，林丽每分钟骑行200米，李芳每分钟骑行250米，因为李芳骑的速度快一点，所以相遇时李芳骑行的路程应该比林丽多一点；据此作图。
（2）因为是同时出发，且相向而行，所以相遇时所用的时间是相等的，所以林丽的速度×相遇的时间＋李芳的速度×相遇的时间＝1800米，可以设x分后两人相遇，列出方程解答即可。
【详细解答】（1）作图如下：
；
（2）解：设x分后两人相遇。
250x＋200x＝1800
450x＝1800
450x÷450＝1800÷450
x＝4
答：4分后两人相遇。
30．京张高速铁路是一条连接北京市和河北省张家口市的城际铁路，是2022年北京冬奥会重要交通保障设施。京张高速铁路全长174千米。假如A、B两列火车分别从北京北站和张家口站同时出发，从北京北站开出的A火车平均每小时行驶215千米，从张家口站开出的B火车平均每小时行驶220千米。（列方程计算）
（1）出发后经过几小时两车相遇？
（2）两车相遇时离北京北站有多远？
【答案】（1）0.4小时
（2）86千米
【解题思路】（1）设出发后经过x小时两车相遇，A、B火车的速度和乘时间也是京张高速铁路全长174千米，据此列方程即可。
（2）A火车从北京北站出发，用时间乘速度，即可算出从出发到相遇时距离北京北站有多远。
【详细解答】（1）解：设出发后经过x小时两车相遇。
（215＋220）x＝174
435x＝74
x＝0.4
答：出发后经过0.4小时两车相遇
（2）215×0.4＝86（千米）
答：两车相遇时离北京北站86千米。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系式并列方程：相遇时间＝路程÷速度和，掌握后能够据此解决有关的实际问题。
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