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2024-2025学年第二学期九年级第三次模拟考试试卷
数学
一、选择题（共30分）
1．（3分）的倒数的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．0
2．（3分）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（3分）若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，等边三角形为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C．14 D．12
5．（3分）如图，是的直径，是上的两点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，点D在边上，连接若的周长为12.5，则的周长为（ ）
A．20 B．25.5 C．30 D．35.5
9．（3分）如图，在中，，点D是上的一点，以为直径作，交于点E，过点E作的切线交于点F．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图，若主视图面积为a，则左视图面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（3分）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ．
12．（3分）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为 ．
13．（3分）已知二次函数，当时，无论m取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m的取值范围是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称， ．
15．（3分）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ．
16．（3分）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，若，则 ．
17．（3分）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ．
18．（3分）如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，的长为半径作与边相切，D为边的中点，连接．若，则的半径长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（3分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出．
20．（6分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款6.25亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？
22．（8分）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
23．（9分）某中学为了解学生在课外每年大约阅读课外书本数的情况，采用了随机抽样调查的方式，下面是根据调查数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据两幅统计图中的信息解答下面的问题．
（1）（2分）本次随机抽取调查的总人数为______人；
（2）（2分）计算并补全条形统计图；
（3）（2分）若该校一共有500名学生，请根据调查结果估计该校学生中每年阅读课外书籍“3本”的人数；
（4）（3分）若从该校九年级的女生A、B、C和男生D、E中随机抽取一名女生和一名男生参加课外阅读竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中女生A和男生D的概率．
24．（8分）如图，内接于为的直径，过点B作直线的垂线，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径，求的长．
25．（8分）如图，平面直角坐标系中，的图象经过．
（1）求k和m的值；
（2）在第一象限内取一点D，使得四边形为平行四边形，求直线的函数解析式．
26．（8分）如图，是的直径，弦交于点．
（1）求证；
（2）若，求的正切值．
27．（10分）如图，在等腰三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，抛物线的图象经过点C．
（1）（3分）求抛物线的函数表达式；
（2）（3分）把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求扫过区域的面积；
（3）（4分）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形 如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
1-5 CDDDD 6-10 BCAAB
11．9 12． 13． 14．5 15．94 16．8 17．2.4 18．
19．如图所示，即为所求．
20．（1）；（2）
21．设每年拨款的增长率为x，
依题意得，，
解得：（不合题意舍去），
答：每年拨款的增长率为．
22．（1）由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）根据题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
取的交点为F，
，
，
．
23．（1）60；
（2）
（3）样本中每年阅读课外书籍“3本”的人数为15人
人中每年阅读课外书籍“3本”的人数为人；
（4）列表如下，女生，男生，
A B C
D
E
由表格知一共有6种等可能的结果，恰好是A和D的结果有一种，
∴恰好选中女生A和男生D的概率为．
24．（1）如下图所示，连接，连接并延长交于点H，连接，
，
是线段的垂直平分线，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是的切线；
（2）由（1）可知四边形是矩形，
，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
25．（1）反比例函数的图象过点，
，
；
（2）设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为；
又平行四边形中，，
∴直线可以看作是直线平移可得，且过点，
∴直线的函数解析式为：．
26．（1）连接．
圆心角与圆周角都对着，
．
，
．
，
；
（2）是的直径，
．
，
．
设，其中．
则在中，．
．
在中，．
27．（1）∵点在二次函数的图象上，
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）过点C作轴，垂足为K．
为等腰直角三角形，
．
又，
．
又，
．
在和中，
，
，
．
．
∴当点B平移到点D时，设，
则，解得（舍去）或．
由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和，
即；
（3）存在；
当时，过点P作轴，垂足为G．
为等腰直角三角形，
．
．
又，
．
在和中，
，
，
，
．
当时，，
∴点不在抛物线上．
当，过点P作轴，垂足为F．
同理可知：，
，
．
当时，，
∴点在抛物线上，
综上，所有符合条件的点P的坐标为．

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