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福建省漳州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（北师大版A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（ ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形中，一个角为40°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　）
A．100° B．40° C．40°或70° D．70°
6．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若分式的值为0，则x的值等于（ ）
A． B． C．2 D．0
8．小丽同学学了物理《浮力》这一章后，明白了浸没在水中的物体，当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．现有一实心木块（不吸水）的密度为a千克每立方米，把它浸没在水中后放手，木块最终漂浮在水面，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
10．如图，在平行四边形中，平分，交于点，，垂足为点，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是
14．如图，在中，，点在内部，，则点到的距离是 ．

15．如图，的顶点坐标分别为，将绕某一点旋转可得到的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 ．
16．在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②当时，；③关于的不等式的解集是；④关于的不等式的解集是．其中正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）
三、解答题
17．解不等式组．
18．化简求值：，其中．
19．如图，，，，．求证：．
20．为了创建干净整洁、文明和谐的社区环境，某社区准备购买A、B两种分类垃圾桶．购买A种垃圾桶共花费1600元，B种垃圾桶共花费1200元．已知A种垃圾桶的单价是B种垃圾桶单价的2倍，且购买A种垃圾桶的数量比B种垃圾桶的数量少10个，求A，B两种垃圾桶买的单价．
21．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在中，______．
求证：______．
证明：
22．根据以下思考，探索完成任务．
完全平方的思考
素材1 “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 如：分解因式． 解：原式 ．
素材2 若，则．
任务1 分解因式 用素材1的方法分解因式：．
任务2 方案选择 为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案： 方案1：第一次投入的增长率为，第二次投入的增长率为； 方案2：两次投入的增长率均为． 若，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？
23．已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点．
(1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若，求的长．
24．阅读以下材料，回答问题．
对于三个数，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则．例如：，．
(1)______．
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，．
(1)求出点的坐标；
(2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：；
(3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《福建省漳州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（北师大版A卷）》参考答案
1．A
解：A、是最简分式，符合题意；
B、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
C、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
D、中分子与分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：A
2．A
解：该作品运用的数学方法是平移，
故选：A．
3．D
解：，
，
∴，
∴该不等式的解集在数轴上表示为：
故选D．
4．B
解：A、，原不等式错误，不符合题意；
B、，，原不等式正确，符合题意；
C、，原不等式错误，不符合题意；
D、，原不等式错误，不符合题意；
故选：B
5．C
解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数= ；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°.
故选C.
6．D
A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；
C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选D．
7．C
解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故选C．
8．D
解：依题意，设木块的体积为立方米，
∵当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面．且水的密度为千克每立方米
∴
则
则a的取值范围是
故选：D
9．B
解：点，分别为，的中点，
是的中位线，，
，
在和中，
，
，
∴，
长方形的面积为：，
的面积是48，
故选：B．
10．B
解：如图所示：过点A作
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
∵平分，
∴
∴
则
∵
∴
∴
则
∵
∴在
即，
故选：B．
11．x≠3
∵有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3．
故答案为x≠3．
12．
解：，
故答案为：
13．
解：，
即这个正八边形的一个内角是，
故答案为：
14．/
解：如图，延长交于点，
，，
在的垂直平分线上，
，
，，
，
在中，，
，
即点到的距离是，
故答案为：

15．
解：如图所示：
连接，然后作的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此时旋转中心的坐标是
故答案为：
16．①④/④①
解：由图象可知一次函数与轴交于一点
∴把代入
得出
故①是正确的；
∴当时，
则②是错误的；
对于，当时，；当时，；
如图所示：
结合图象，关于的不等式的解集是；
故③是错误的；
令，则看做是向左平移一个单位得出
如图所示：
∴关于的不等式的解集是
故④是正确的
故答案为：①④．
17．
解：
由得出
由得出
∴不等式组的解集为
18．，
解：
把代入，得
19．证明见解析
证明：∵，，
∴和都是直角三角形，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
20．A种垃圾桶的单价是80元，B种垃圾桶的单价是40元
解：设种垃圾桶的单价是元，则种垃圾桶的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：B种垃圾桶的单价是40元，A种垃圾桶的单价是80元．
21．见解析
解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线．
求证：与互相平分．
证明：如图，连接、，
是边上的中线，
点是的中点，
点、分别是、的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
22．任务1：；任务2：方案2的教育经费较多，理由见解析
解：任务1：
；
任务2：方案2的教育经费较多，理由如下：
由题意可知，连续投入两次后，方案1的教育经费为，方案2的教育经费为，
，
，
，
，
方案2的教育经费较多．
23．(1)见详解
(2)
（1）解：即为所求，如图：
（2）解：依题意，连接
∵把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点．
∴
∴是等边三角形
∴
∴．
24．(1)2
(2)
(3)
（1）解：依题意，∵
∴
故答案为：2
（2）解：∵，
∴
即
解得
（3）解：依题意，
当时，即时，
∴
∵
∴
∴与相矛盾，故舍去
当时，即时，
∴
∵
∴
∴
当时，即时，
∴
∵
∴
即
∴与相矛盾，舍去
∴，则
25．(1)
(2)见详解
(3)存在，或
（1）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴点的坐标
（2）解：∵，且由（1）得点的坐标
∴
∵一次函数的图象分别与线段交于两点，
∴把代入，得出，即
∴把代入，得出，即
则
∴；
（3）解：存在：
如图所示：连接，即相交于一点，即为
图形观察：点W的横坐标小于C的横坐标
依题意，当为对角线时，
∵以为顶点的四边形是平行四边形
∴
∵由（2）知，点的坐标，
∴，即点W的横坐标大于C的横坐标，
与图形表示的信息是矛盾的，故当为对角线的情况舍去；
当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示：
∵四边形是平行四边形
∴
∵点的坐标，
∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为
∵点是直线上一动点
∴此时点与点重合的
∴
则
∵当N在轴的负半轴
∴；
∵
∴当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示：
设点N的坐标为
∵四边形是平行四边形
∴
∵点的坐标，
∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点，
∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M，
∴点的纵坐标为
∵点是直线上一动点
∴设的解析式为
把，代入
则
解得
∴的解析式为
把代入
解得
∴
∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M，
∴
∴
综上：或

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