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(共82张PPT)
第2节
带电粒子在磁场中的运动
一、洛伦兹力及其特点
qvB
1.定义：运动电荷在磁场中受到的力，叫做洛伦兹力.
2.洛伦兹力的大小.
(1)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向垂直时，电荷所
受洛伦兹力 F洛＝____________.
0
0
(2)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向平行时，电荷所
受洛伦兹力 F洛＝________.
(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝________.
3.洛伦兹力的方向.
反方向
B 和 v
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向，
即正电荷运动的方向同向或负电荷运动的________.
(2)方向特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即 F洛垂直于________决定的
平面.如图所示：
v 与 B 垂直
甲
v 与 B 不垂直
乙
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
匀速直线
1.速度与磁场平行时：带电粒子不受洛伦兹力作用，在匀强磁
场中做__________运动.
匀速圆周
2.速度与磁场垂直时：带电粒子受洛伦兹力作用，在垂直于磁
感线的平面内以入射速度 v 做__________运动.
3.半径和周期公式：(v⊥B).
F＝qvB
(1)基本公式：________.
mv
qB
2πm
qB
(2)导出公式：半径 R＝________；周期 T＝________.
，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期
【基础自测】
1.判断下列题目的正误.
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用.(
)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向
不垂直.(
)
(3)根据公式 T＝
2πr
v
T 与 v 成反比.(
)
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与
带电粒子的比荷有关.(
)
(5)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观
点.(
)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向开
始运动，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，
则(
)
A.电子将向右偏转，速率不变
B.电子将向左偏转，速率改变
C.电子将向左偏转，速率不变
D.电子将向右偏转，速率改变
答案：A
3.(2022 年广东肇庆二模)等边三角形的三个顶点上垂直纸面
放置 3 根长直导线，导线中通以大小相同的电流，电流方向如示
意图所示，一束带正电的粒子垂直纸面向里射入三角形中心，关
于粒子束所受洛伦兹力方向，下列示意图正确的是(
)
A
B
C
D
解析：带正电的粒子束可以等效为垂直纸面向内的电流，根
据同向电流相吸，异向电流相斥，可以判断粒子受力方向向下，
A 正确.
答案：A
中做匀速圆周运动，则(　　)
A.氕核和氘核做圆周运动的周期之比为 2∶1
B.若入射速率相等，氕核和氘核做圆周运动的角
速度相同
C.若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周
半径相等
D.增大入射速率，它们的周期也会增大
，ω＝ ＝
速度大小之比为 2∶1，与入射速率无关，B 错误;由 r＝
粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝
mv
qB
v qB
r m
，氕核和氘核的角
mv
qB
可知，若质
量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周半径相等，C 正确;入射速率
与周期无关，所以增大入射速率，它们的周期也不变，D 错误.
答案：C
热点 1 洛伦兹力的特点
[热点归纳]
1.洛伦兹力的特点：
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向
确定的平面.
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.
(4)根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定先区分正、负
电荷.
(5)洛伦兹力一定不做功.
类型 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0 且 v 不与 B 平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力的方向与场
的方向的关系 一定是 F⊥B，F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
2.洛伦兹力与电场力的比较：
类型 洛伦兹力 电场力
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果 只改变电荷的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向
(续表)
3.洛伦兹力与安培力的联系及区别.
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都
是磁场力.
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.
考向 1 洛伦兹力的方向
【典题 1】(2023 年山西卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小
孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 P 上的 a
和 b两点，a 点在小孔 O 的正上方，b 点在 a 点的右侧，如图
强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(
)
A.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向外
答案：C
解析：假设电子打在 a 点，则有eE＝evB，由于 α 粒子的速度小于电子的速度，所以 2eE＞2ev′B，α 粒子经过电磁叠加场向右偏转，即其所受合力方向水平向右，即所受电场力方向水平向右，由于 α 粒子带正电，所以电场方向水平向右，电子所受电场力方向水平向左，由于电子所受洛伦兹力和电场力等大反向，故磁场方向垂直纸面向里；假设电子打在 b 点，同理可得，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，C正确.
考向 2 洛伦兹力与电场力的比较
【典题 2】(多选)如图所示，带电小球 a 以一定的初速度 v0
竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ha；带电小球 b 在水平
方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大
高度为 hb；带电小球 c 在水平方向的匀强电场以相同的初速度 v0
竖直向上抛出，上升的最大高度为 hc，不计空气阻力，三个小球
的质量相等，则(
)
A.他们上升的最大高度关系为 ha＝hb＝hc
B.他们上升的最大高度关系为 hbC.到达最大高度时，b 小球动能最小
D.到达最大高度时，c 小球机械能最大
解析：带电小球 a 以一定的初速度 v0 竖直向上抛出，带电小
球 c 在水平方向的匀强电场中以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，
在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，它们上升的最大高度关系
为 ha＝hc，带电小球 b 在水平方向的匀强磁场中以相同的初速度
v0 竖直向上抛出，受到与速度垂直的洛伦兹力作用，上升的最大
高度为 hb 一定减小，即它们上升的最大高度关系为 hbB 正确，A 错误;到达最大高度时，b、c 两小球还有速度，而 a 球
在最大高度时速度为零，可知 a 动能最小，由于洛伦兹力不做功，
重力做负功，电场力做正功，所以到达最大高度时，a 与 b 小球动
能相同， C 错误;由于洛伦兹力不做功，电场力做正功，根据功
能关系，带电 a、b 小球机械能守恒，c 小球机械能增加，到达最
大高度时，c 小球机械能最大， D 正确.
答案：BD
考向 3 洛伦兹力作用下的动态分析问题
【典题 3】如图所示，一质量为 m、带电量为＋q 的小物块
静止放在绝缘水平地面上，地面上方存在垂直纸面向里、磁感
应强度为 B 的匀强磁场，某时刻物块获得一初速度 v0 开始向右
运动，运动距离 x 后停止.已知物块与水平面之间的动摩擦因数为
μ，重力加速度为 g，此过程中物块与地面之间由于摩擦产生的热
量为(
)
解析：物块受到竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、支
持力，还受到水平向左的摩擦力，物体运动过程中只有摩擦力做
正确.
答案：B
思路导引
由于带电体运动速度的变化直接引起洛伦兹力变
化，间接引起物体与水平面间弹力、摩擦力的变化，不能根据摩
擦力和位移求摩擦产生的热量，需要从能量角度考虑.物体的动能
转化为摩擦产生的内能.
热点 2 带电粒子在磁场中的运动
[热点归纳]
1.匀速圆周运动的规律.
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平
面内以入射速度 v 做匀速圆周运动.
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①速度垂线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度垂线的交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点
2.粒子在磁场中做圆周运动的规律.
(续表)
(续表)
考向 1 直线边界磁场
带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性，
如图所示).
甲
丙
乙
【典题 4】(多选，2021 年广东潮州模拟)如图所示，A粒子
和 B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为 d、方向垂直纸面向外
有界匀强磁场的边界上的 O 点分别以与边界成 37°和 53°方向
射入磁场，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界
飞出，若粒子重力不计，则下列说法中正确的是(　　)
A.A、B 两粒子均带正电
B.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是 4∶3
C.A、B 两粒子比荷之比是 4∶3
D.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比是 53∶37
解析：作出粒子运动轨迹如图 所示，根据左手定则可判断
答案：AC
思路导引 由运动轨迹结合左手定则可判断粒子的电性.过 O
点做两粒子速度的垂线，与有边界的交点即为圆心，由几何关系
得到两粒子运动的半径.结合半径、圆心角、周期分析 C、D 选项.
【迁移拓展1】(2024 年广西卷)Oxy 坐标平面内一有界匀强磁
场区域如图所示，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里.质量
为 m，电荷量为＋q 的粒子，以初速度 v 从O点
沿 x 轴正向开始运动，粒子过 y 轴时速度与y轴
正向夹角为 45°，交点为 P.不计粒子重力，则
P点至 O 点的距离为(　　)
解析：粒子运动轨迹如图所示.
答案：C
考向 2 三角形磁场
【典题 5】(多选，2022 年广东模拟)如图所示，等腰直角
三角形 abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为 B.三个相同的带电粒子从 b 点沿 bc 方向分别以速度
v1、v2、v3 射入磁场，在磁场中运动的时间分别为 t1、t2、t3，且
t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，直角边 bc 的长度为 L，不计粒子的重力，
下列说法正确的是(　　)
解析：粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，粒子
做匀速圆周运动，如图所示.
可知三个粒子的周期相等，由几何关系可知，若粒
运动的半径 R＝
由 T＝
2πm
qB
子半径 R≤L，则粒子从ab边离开磁场，粒子偏转90°角，若粒子
半径 R＞L，则粒子从ac边离开磁场，粒子偏转小于90°角，由运
动时间 t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，可知 t3 对应的粒子偏转角为 30°.则有
速度 v1、v2 的粒子从 ab 边穿出，则偏转角为 90°，可两者的速度
大小不确定，其半径一定比速度为 v3 的粒子小，由粒子在磁场中
mv
qB
，可知 v3 一定大于 v1 和 v2.对 v1 和 v2，有可能
v1＞v2，也有可能 v1＜v2，A 错误，B 正确;由于速度为 v1 的粒子
转 30°，其运动轨迹如解析图所示，由几何关系可知 L＝R3sin 30°，
D 正确.
答案：BD
考向 3 多边形磁场
【典题 6】(2022 年广东广州二模)阿尔法磁谱仪是目前在太
空运行的一种粒子探测器，其关键的永磁体系统是由中国研制的.
如图，探测器内边长为 L 的正方形 abcd 区域内有垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，当宇宙中带电量为＋q 的粒
子从 ab 中点 O 沿纸面垂直 ab 边射入磁场区域时，磁谱仪记录
到粒子从 ad 边射出，则这些粒子进入磁场时的动量 p 满足(
)
解析：带电量为＋q 的粒子进入磁场，洛伦兹力提供向心力
答案：A
思路导引
确定半径的范围即可确定速度的范围，从 a 点射
出，对应最小的半径，从 d 点射出，对应最大的半径，求最大半
径时，需要构建三角形应用勾股定理求解.
【迁移拓展 2】(多选，2023 年辽宁沈阳一模)如图所示，
在一个边长为 a 的正六边形区域内，存在磁感应强度为 B，方
向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，比荷
已知粒子只受磁场的作用力，则(
)
解析：如图所示，从 F 点飞出的粒子在正六边形区域磁
场中做圆周运动的半径为 r1，洛伦兹力提供向心力，
磁场中做匀速圆周运动的周期为 T＝
2πm
qB
，所有从
AF 边上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角均
B 正确;由几何关系可得，从 E 点飞出的粒子在磁场中转过的圆心
正确;由几何关系可得，从 ED 边上的某一点垂直 ED 飞出磁场的
答案：BCD
考向 4 圆形边界磁场
1.圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域
时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度
方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图甲所示.
2.若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则
粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所
示.
甲
乙
丙
丁
3.若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如
下两个结论：
a.当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒
子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙所示.
b.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场
区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁所示.
【典题 7】(多选，2022 年广东六校联考)如图所示，在直
角坐标 xOy 平面内，有一半径为 R 的圆形匀强磁场区域，磁
感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向里，边界
与 x、y 轴分别相切于 a、b 两点，ac 为直径.一质
量为 m，电荷量为 q 的带电粒子从 b 点以某一初
速度 v0(v0大小未知)沿平行于 x 轴正方向进入磁场
区域，从 a 点垂直于 x 轴离开磁场，不计粒子重
力.下列判断正确的是(
)
A.该粒子的初速度为 v0＝
qBR
2m
B.该粒子从 bc 弧中点 d 以相同的速度进入磁场后在磁场中运
动的时间是第一次运动时间的 1.5 倍
解析：该粒子从 b 点射入磁场，从 a 点垂直 x 轴离开磁场，
错误；该粒子第一次在磁场中运动，其周期 T＝
粒子第二次以相同的初速度从圆弧 bc 的中点 d
沿平行于 x 轴正方向进入磁场，其轨迹半径不变
也为 R，如图所示.
由几何关系可知，该粒子第二次仍然从 a 点离开磁场，粒子
R，则该点不是 a 点，C 错误;以 2v0 从 b 点沿各种方向进入磁场的
该种粒子在磁场中运动的半径为 2R，则运动时间最长时，对应的
弦最长，最长弦长为 2R，轨迹如图所示，则由几何关系可知
答案：BD
思路导引 本题的难点是 B、D 选项，B 选项考查的是对一个
结论的逆向应用：在圆形磁场中，粒子的运动半径若等于磁场圆
的半径，则从某一点向不同方向射入的速率相等的粒子离开磁场
时，速度方向均相同，由此逆向判断 B 选项的粒子轨迹.
【迁移拓展3】(2024 年广东深圳二模)如图所示，半径为 R
的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在的平面.一速
度为 v 的带电粒子从圆周上的 A 点沿半径方向射入磁场，入射点
︵
A 与出射点 B 间的圆弧AB为整个圆周的三分之一.现有一群该粒子
从 A 点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为
忽略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为(
)
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，设速率为 v 的带电粒
子的运动半径为 r1，其轨迹如图中弧 AB 所示.
答案：C
“数学圆”模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
适用
条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
适用
条件 轨迹圆圆心共线 如图所示( 图中只画出粒子带
正电的情景)，速度 v 越大，运
动半径也越大. 可以发现这些
带电粒子射入磁场后，它们运
动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线 PP′上
界定
方法 以入射点 P 为定点，圆心位于 PP′直线上，将半径放缩作轨
迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
(续表)
【典题8】一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于
纸面向外，其边界如图 中虚线所示，ab为半圆，ac、bd 与直
径 ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 m、电荷
量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒
子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最
长的粒子，其运动时间为(
)
︵
A.
7πm
6qB
B.
5πm
4qB
C.
4πm
3qB
D.
3πm
2qB
T＝
θm
qB
，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆
心角越大，运动时间越长.如图所示，采用放缩圆解决该问题，
粒子垂直 ac 射入磁场，则轨迹圆心必在 ac 直线上，将粒子的轨
迹半径由零逐渐放大.当半径 r≤0.5R 和 r≥1.5R 时，粒子分别从
ac、bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期.
当 0.5R放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从π逐渐增
大，当轨迹半径为 R 时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，
轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于 R 时轨迹圆心角最大，即
答案：C
模型二 “旋转圆”模型的应用
【典题 9】(多选，2022 年河南开封二模)如图所示，在直角
坐标系 xOy 第一象限内 x 轴上方存在磁感应强度大小为 B、方向
垂直纸面向里的匀强磁场，在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右
侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均
为 m，电荷量大小均为 q 的同种带电粒子，所
有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的
重力及粒子间的相互作用均不计，则(
)
D.从 x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短
时间之比为 9∶4
合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子
射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点”可知 SP是其中一个
由几何知识可得从 O 点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为 60°，
方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开
磁场时的位置到 O 点的距离为 d，C 错误;从 x 轴上射出磁场的粒
子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，运动轨迹与 x 轴相切
答案：AB
模型三 “平移圆”模型的应用
【典题 10】如图所示，边长为 L 的正方形有界匀强磁场
ABCD，带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场，恰好从 C 点
飞出磁场.若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P
垂直 AD 射入磁场，从 DC 边的 M 点飞出磁场(M
点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为
t1，由 P 点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重
力不计)，则 t1∶t2 为(
)
解析：画出粒子从 A 点射入磁场到从 C 点射出磁场的轨迹如
图，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为 R＝L，从C点
答案：C

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