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初三第二学期3月学科适应性练习
数学
（清华附中上地学校初22级）2025.03
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥
2. 经文化和旅游部数据中心测算，2024年清明节假期3天，全国国内旅游出游1.19亿人次，国内游客出游花费539.5亿元．将539.5亿用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 若二元一次方程组的解为则a+b的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6. 将抛物线向左平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，M，N分别是边上的点，，．若的面积为1，则的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x
其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．
10. 分解因式：__________．
11. 分式方程的解是___________．
12. 已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为________．
13. 近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有________只A种候鸟．
14. 如图，是的直径，点C为圆上一点且，D是劣弧的中点，连接，，则的度数为______．
15. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为___________．
16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．
小区 需送快递数量 需取快递数量
15 6
10 5
8 5
4 7
13 4
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求代数式值．
20. 如图，在四边形中，，，，平分交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
（1）求出点A的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
22. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
23. 3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识、加强水资源保护．某校为提倡节约用水、增强节约用水意识，在全校开展了节约用水知识竞赛活动．七、八、九年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解三个年级的竞赛答题情况，从三个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，下面给出了部分信息：
．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
60 67 69 75 75 75 77 77 78 78
80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：）：
其中成绩在的数据如下（单位：分）：
．三组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 79.2 79
八年级 80.3 78
九年级 79.5 79 81
根据所给信息，解答下列问题：
（1）______，______；
（2）估计______年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，九年级抽出的20名学生中有10人优秀，估计三个年级此次竞赛成绩优秀的总人数．
24. 如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，点是的延长线上的一点，，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25. 根据以下素材，探索完成任务．
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
（1）任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行．
（2）任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个．
26. 已知抛物线．
（1）求该抛物线顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
27. 如图，在中，，，过点做，点在点的左侧，是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，过点作交于点，平分交于点，交于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点逆时针旋转得到点，称点为点关于点的“平移旋转点”．已知点．
（1）如图，若点，点为点关于点“平移旋转点”，则点的坐标为___________；
（2）若点为轴上一点，点为点关于点的“平移旋转点”，点的横坐标为，求点的坐标；
（3）如图，若的半径为，是上一点，点为点关于点的“平移旋转点”，直接写出长的最大值与最小值．

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