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第6章《平行四边形》章节复习题
【题型1 添加条件使成为平行四边形】
1.如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD．添加下列一个条件后，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．

3.下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．

(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________．
(2)选择其中一个条件，写出证明过程：
我选择________，
证明过程如下：
【题型2 根据平行四边形的性质求解】
1.如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
2.如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ．
3.如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为 ．
4.在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为（　　）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
【题型3 平行四边形的证明】
1.在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边的延长线上．
(1)求证：；
(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由．
2.如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，若，，则______．
3.如图，点是平行四边形对角线的交点，过点的直线交于两点，交，的延长线于两点．

(1)求证：；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
4.在中，于点D，E是的中点，F是上一点，过点D作交的延长线于点G，且．

图1 图2
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度与长度相等的所有线段（不包括线段）．
【题型4 根据平行四边形的判定与性质求线段长】
1.如图，，，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
3.如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【题型5 根据平行四边形的判定与性质求角度】
1.如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ 　）
A． B． C． D．
2.在中，，若E为的中点，则 ．
3.如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则 ．
4.已知如图，直线，，、在上，且满足，平分．
（1）若平行移动，那么的值是 ；
（2）在平行移动的过程中，当 （度）时，．
【题型6 根据平行四边形的判定与性质求面积】
1.如图，四边形中，交于点，，，，点在上，、分别在、上，且，，，连接，图中阴影部分的面积为（ ）

A．24 B．20 C．18 D．16
2.如图，已知平行四边形中，点是的中点，且，，，则该平行四边形的面积为 ．

3.如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为 ．

4.如图①，P为所在平面内任意一点(不在直线上)，，，D为边中点，操作：以、为邻边作 ，连接并延长到点E，使，连接．

(1)探究：判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)应用：如图②，当点在同一条直线上，且M为中点时，平行四边形的面积为_________．
【题型7 尺规作图与平行四边形的综合运用】
1.如图，在平行四边形中，点E在对角线上，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：在的左侧作，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：在左侧作，使，与对角线交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，① ．
∴② ．
在与中，
∵，
∴．
∴，③ ．
∴，即，
∴④ ．
∴四边形为平行四边形．
2.在数学课上，老师布置任务：利用尺规 “作以三点A，B，C为顶点的平行四边形”．

小怀的作法如下：
①分别连接线段；
②以点A为圆心，长为半径，在上方作弧，以点C为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点D；
③分别连接线段．所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵_________，__________，
∴四边形是平行四边形（________________________）（填推理的依据）．
3.如图，在中，，点E为内一点，且为等边三角形．
(1)用尺规完成以下基本作图：以BC为边在内作等边．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）所作图形中，连接CE、AF，猜想四边形AFCE的形状，并证明你的猜想．
4.请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作与，其中，，．求作：线段PC的中点E．
按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．
证明：连接CD．
，
（依据1），
，
，同理，．
……
(1)【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：________．
(2)【任务2】请补全证明过程．
(3)【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作：，使的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）
【题型8 坐标系中的平行四边形问题】
1.如图，在平面坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点C是y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，当点C在y轴负半轴时，在平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，在中，，，点是的平分线上一点，于，交的延长线于，交的延长线于，连接．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）建立如图2所示的坐标系，若，，直线绕点顺时针旋转45°得到直线，求直线的表达式．
3.如图，平面直角坐标系中有．
(1)求出所在直线的解析式．
(2)已知一条与平行的直线在坐标系中运动，且与有交点，则b的取值范围是________．
(3)在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标是___________．
4.如图，在平面直角坐标系内，已知，，，，，仅用无刻度的直尺在给定坐标系中按步骤完成下列画图．
（1）过点画线段，使，且；
（2）在边上画一点，使直线平分四边形的面积；
（3）是边上一点，若线段将四边形的面积分为的两部分，则点的坐标是 ．
【题型9 三角形的中位线】
1.如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，菱形的对角线，相交于点，为中点，，则菱形的周长为 ．
3.如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且．连接，，交于点F．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
4.如图，是的中位线，点F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为2，则的面积为（ ）

A．18 B．16 C．14 D．12
【题型10 多边形内角和、外角和有关的计算】
1.已知一个多边形的内角和与外角和的差为．
(1)求这个多边形的边数；
(2)如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________．
2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．
（1）求这个多边形的边数和内角和；
（2）从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为　 ，此时多边形中有　 　个三角形．
3.按要求完成下列各小题．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和多，求这个多边形的边数．
(2)如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，求的度数．
4.在五边形ABCDE中，，，．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若比小，求出的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数．
【题型11 多边形截角、少（多）算一个角问题】
1.解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？
2.某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度 并求这个多边形是几边形．
3.在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
4.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
【题型12 多边形外角和的实际应用】
1.如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．

(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
2.在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（ ）

A． B． C． D．
3.如图所示，分别以六边形的顶点为圆心，以为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）

A． B． C． D．
4.如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．

(1)小玲一共走了多少米？
(2)求这个多边形的内角和．
参考答案
【题型1 添加条件使成为平行四边形】
1.D
【分析】根据平行四边形的性质和判定及三角形全等逐个分析即可．
【详解】解：选项A：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故选项A不符合题意；
选项B：∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故选项B不符合题意，
选项C：∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠CBF，
在△DEF与△CBF中，∠DEF＝∠CBF，∠DFE＝∠CFB，EF＝BF，
∴△DEF≌△CBF（ASA），
∴DF=CF，
∵EF=BF，
∴四边形BCED为平行四边形，故选项C不符合题意；
选项D：∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：D．
2.或或．
【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．
【详解】解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证．
故答案为：或或．
3.C
【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故A选项不符合题意；
∵，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故B选项不符合题意；
∵，，不可判定出四边形为平行四边形，故C选项符合题意；
∵，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定出四边形为平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
4.（1）
解：填①②④的任意一个都正确；
故答案为：①②④；
（2）
解：选择①，，、为垂足；
证明：∵，，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
选择②，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
选择④，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
∴，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【题型2 根据平行四边形的性质求解】
1.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知，结合，，可得，连接，由F、G分别为、的中点，可得，，进而可得四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
连接，
∵F、G分别为、的中点，
∴，，
∴四边形的面积，
故答案为：4.5．
2.
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长交延长线于G，根据折叠得到得到，结合平行四边形的性质得到，，证明，即可得到答案
【详解】解：延长交延长线于G，
∵折叠得到，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
3.或1或
【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
①如图，若，为边，是对角线，
∵四边形是平行四边形，且，，
∴；
②若，为边，为对角线，
∵四边形是平行四边形，
∴；
③若，为边，为对角线，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：或1或．
4.B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是先根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，分两种情况讨论：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：设的平分线交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当，时，如图1，
则，，
∴；
当，时，如图2，
则，，
∴，
∴平行四边形的周长为26或28，
故选：B．
【题型3 平行四边形的证明】
1.（1）证明：由旋转性质得
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2） 四边形是平行四边形，
理由如下：
由旋转性质得，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
2.（1）证明：在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
3.（1）证明：如图，连接，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）连接，

，
，
四边形是平行四边形．
4.（1）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
图2中长度与长度相等的所有线段为、、、．
【题型4 根据平行四边形的判定与性质求线段长】
1.B
【分析】过点A作交于点E，又由，得到四边形是平行四边形，从而，，又，得到，再，得到是等边三角形，因此，从而．
【详解】解：过点A作交于点E，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B．
2.D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，
∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
∴，
故选D．
3.D
【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．
【详解】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵DF＝CD，AE＝AB，
∴DF平行且等于AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝1cm，
∵AB＝2AD，
∴AB＝2cm，
∵AB＝2AD，AB＝2AE，
∴AD＝AE，
∴∠1＝∠4，
∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，
∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵AE＝BE，
∴DE＝BE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，
∴∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，
∴（cm），故D正确．
故选：D．
4.D
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，先由平行四边形性质得BC=5，再由勾股定理求出AC=12，然后证四边形ACED是平行四边形，得CE=AD=5，DE=AC=12，然后再由勾股定理求解即可
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵，
∴BC=AD=5，ADBC，
∵
∴∠ACB=90°，
由勾股定理，得AC==12，
∵DE⊥BC，
∴ACDE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=5，DE=AC=12，
∴BE=BC+CE=10，
∵DE⊥BC，
∴由勾股定理，得BD=，
故选：D．
【题型5 根据平行四边形的判定与性质求角度】
1.A
【分析】由旋转的性质，等边对等角，可得，证明四边形是平行四边形，进而可得结果．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，解得，
故选：A．
2.
【分析】根据平行四边形的性质和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四边形AFEB，推出AF＝DF＝EF，然后推出∠AEB=∠AEF，∠FED=∠CED，由此即可求解．
【详解】解：取AD的中点F，连接EF，
∵平行四边形ABCD，BC＝2AB，E为BC的中点，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，
∴AB＝BE＝AF＝DF，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴∠EAF=∠AEB，四边形AFEB是平行四边形，
∴EF＝AB＝AF＝DF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠AEB=∠AEF，
同理可得∠FED=∠CED，
∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，
∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°
故答案为：90°．
3.24
【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答．
【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由绕点B逆时针旋转所得且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：24．
4. 15
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，从而得出答案，
（2）根据平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，
∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，
又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，
∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：2，
故答案为：1：2；
（2）当∠COE=15°时，∠OEC=∠OBA．
∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∴四边形AOCB为平行四边形，
∴∠OEC=∠EOB+∠AOB，∠OBA=∠BOC=∠COE+∠EOB，
又∵∠OEC=∠OBA，
∴∠AOB=∠COE，
∴∠COE=∠EOF=∠FOB=∠AOB=60°÷4=15°，
∴∠EOB=2×15°=30°，
∴∠OBA=∠OEC=30°+15°=45°，
故答案为：15．
【题型6 根据平行四边形的判定与性质求面积】
1.C
【分析】用勾股定理求出，由得到，则，设交于点O，证明四边形是平行四边形，则，，可证，则，再证四边形是平行四边形，得，可证，则,即可得到．
【详解】解：∵交于点，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设交于点O，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
故选：C
2.
【分析】如图，过点作 交的延长线于点．证明，进而即可求解．
【详解】
， ，
四边形是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
3.10
【分析】过点作于，过点作垂直于的延长线于，由旋转的性质得出≌≌，然后得出，是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积得出结论．
【详解】解：过点作于，过点作垂直于的延长线于，如图所示：

根据题意知，≌≌，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
4.（1）解：连接和，

∵四边形是平行四边形，
∴且，
又∵，为边中点，即，
∴四边形是平行四边形，
∴且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴且，
即与的数量关系是：，位置关系是：；
（2）连接、，设与交于点O，

∵四边形是平行四边形，
∴O是和的中点，
∴，
∵M为中点，
∴，
∴，
∵为边中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型7 尺规作图与平行四边形的综合运用】
1.（1）如图：以点为圆心长为半径画弧，交于点，连接，则即为所求

（2）如图：连接，

∵四边形为平行四边形
∴，
∴
在与中
∵
∴
，
∴
即
∴
∴四边形为平行四边形
故答案为：，，，．
2.（1）解：如图：四边形即为所求．

（2）解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形（组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3.（1）如图所示，
（2）如图，连接CE、AF，四边形是平行四边形，证明如下，
，是等边三角形
,
四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形，
,
，
在和中
四边形是平行四边形
4.（1）解：写出上述证明过程中依据1的内容：同一个三角形中，等边对等角．
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
（2）证明：连接CD，如图2．
，
（同一个三角形中，等边对等角）．
，
，
同理，．
，
，
．
P是AB的中点，
．
在和中，
，
，
．
∵，
四边形APDC是平行四边形.
，
E是PC的中点；
（3）解：如图，即为所求
【题型8 坐标系中的平行四边形问题】
1.（1）解：将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，则，
，
，
的面积是，
，
解得或，
则点的坐标为或．
（3）解：在（2）的条件下，点在轴负半轴上，
，
设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
由①如图，当四边形是平行四边形时，
平行四边形的对角线互相平分，
，解得，
则此时点的坐标为；
②如图，当四边形是平行四边形时，
，
，点的横坐标与点的横坐标相同，即，
则此时点的坐标为；
③如图，当四边形是平行四边形时，
，
，点的横坐标与点的横坐标相同，即，
则此时点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或．
2.（1）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠CEF=45°，
∴∠BEG=45°，
∵AG⊥CE，
∴∠AGC=90°，
∴∠ABF=45°；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
连接，
∵点是的平分线上一点，
∴，
∴．
又∵．
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）延长交直线于点，再连接，作轴于点，
∵在中，，，
∴由勾股定理得，，
∴．
∵，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
由题意得，
∴等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
把，代入得，
，解得，
∴直线的表达式为：．
3.（1）解：由图可知：，，
设所在直线的解析式为，
代入，可得：，解得：，
∴所在直线的解析式为；
（2）解：
由题意可设过点且与平行的直线，
∵
∴当时，，解得，
由图可知，．
故答案为：．
（3）∵四边形，知向，向上移6位，向左移3位，
∴向，上移6位，左移3位得．
②∵四边形知B向C，向下移3位，向右移6位，
∴A向下移3位，右移6位得．
③∵四边形，知A向C下移6位，右移3位，
∴B向下移6位，右移3位得．
故答案为：，，．
4.解：（1）根据题目要求作如下图形：
（2）连接，会使得交于一点，该点为平分四边形的中心，过点连接中心点延长交于于点，即为所求的点，作图如下：
（3）已知，，，，，
，
第一种情况，过作交于点，如下图：
则正方形，
，
即，
则点满足条件，
由图可得：；
第二种情况，当点在位置时连接如下图：
，
，
即，
故点 也满足，
综上所述：或．
【题型9 三角形的中位线】
1.C
【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．
【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF=，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．
2.
【分析】此题考查了菱形的性质和中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理的应用．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
3.（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴O为的中点．
∵四边形是矩形，
∴ F为的中点．
∴为的中位线．
∴．
4.B
【分析】连接，由E是中点得到，由F是中点得到，由是的中位线得到即可求解．
【详解】解：连接，，如图，

∵是的中位线，
∴E是中点，D是中点，
∴，
∵F是中点，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵D是中点，
∴，
故选：B．
【题型10 多边形内角和、外角和有关的计算】
1.（1）解：设此多边形的边数为n，则：
，
解得：．
答：这个多边形的边数为12．
（2）解：这个正多边形的每一个内角是：
2.（1）360°×3﹣180°
＝1080°﹣180°
＝900°．
故这个多边形的边数和内角和是900°；
（2）设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180（n﹣2）＝360×3﹣180，
解得n＝7，
则从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为（n﹣3），此时多边形中有（n﹣2）个三角形．
3.（1）解：设多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
∴这个多边形的边数是9；
（2）解：正五边形的内角和为，
∴正五边形每个内角为，
即，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴．
4.（1）解：如图即为所求．
（2）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵CP平分，DP平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【题型11 多边形截角、少（多）算一个角问题】
1.（1）解：设这个多边形是边形，
由题意得：，
解得，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，
由题意得：，
解得，
则，即，
解得，
为正整数，
，
答：这个多边形是八边形．
2.解：设少加的内角为x度，边数为n．
则（n 2）×180＝2750＋x，
即（n 2）×180＝15×180＋50＋x，
因此x＝130，n＝18．
答：这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．
3.解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
4.（1）解：六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°．
（2）解：∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°，
∴∠BGD＝360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°．
【题型12 多边形外角和的实际应用】
1.（1）五边形广场的内角和，
故答案为：；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是度，
故答案为：；
（3）延长NE交AB于点F

∵
∴
∵
∴
∵在五边形中
∴
2.B
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴每次旋转的角度．
故选：B．
3.B
【分析】根据多边形的外角和是及圆的面积即可解答．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴，
∵圆的半径为，
∴，
故选．
4.（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴，
（米）．
答：小玲一共走了54米．
（2）根据题意，得，
答：这个多边形的内角和是．

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