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第4章《因式分解》章节知识点复习题
【题型1 因式分解的概念辨析】
1.在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
2.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A． B．
C． D．
3.若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝ ．
4.如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是 .（填出符合条件的一个值）
【题型2 因式分解（提公因式与公式法综合）】
1.因式分解 ．
2.下列因式分解不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.因式分解：
(1)； (2)．
4.小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
【题型3 因式分解（十字相乘法】
1.利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
2.因式分解： ；
3.分解因式：．
4.现有纸片：4张边长为的正方形，3张边长为的正方形（），8张宽为，长为的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 因式分解（分组分解法）】
1.典型例题学习：
例题：把多项式分解因式．
解：
（分成两组）
（在各组内用公式法 提公因式法分解）
学以致用：
(1)请仿照例题分解因式的方法，把多项式分解因式．
(2)请运用上述分解因式的方法，把多项式分解因式．
2.因式分解：．
3.分解因式： ．
4.多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．
【题型5 利用因式分解求值】
1.若，，那么式子值为 ．
2.长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ．
3.若，则代数式的值为 ．
4.已知，，且，则值为 ．
【题型6 利用因式分解解决新定义问题】
1.定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
2.若定义一种运算：，如：．
(1)计算：．
(2)将（1）计算所得的多项式分解因式；
(3)若，求（1）中计算所得的多项式的值．
3.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“方差优数”，例如 ，12就是一个“方差优数”，可以利用进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是 ．
4.定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，，求的“和积数”；
(2)若，，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求．（用含的式子表示）
【题型7 利用因式分解解决整除问题】
1.已知，则按此规律推算的结果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
2.一定能被下面哪个数整除（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
3.利用因式分解说明：能被21整除．
4.已知能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为 ．
【题型8 因式分解中的规律探究问题】
1.规律探索题：有一系列等式
；
；
；
；
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______；
(2)试猜想：______；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
2.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，，，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”
(1)40________“智慧数”，44________“智慧数”．（填“是”或“不是”）
(2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是8的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．…，按此规律拼叠到正方形，其边长为200，求阴影部分的面积．
3.通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
(1)若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数 × ；
(2)若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：
，
______
4.【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
参考答案
【题型1 因式分解的概念辨析】
1.
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
2.A
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】A、 是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、 中含有分式，此选项不符合题意；
C、 不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
3.1
【分析】设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．
【详解】解：设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是，
∴，
∴，，即，，
∴，
故答案为：1．
4.5
【分析】根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.
【详解】当m=5时，原式为，不能因式分解，
故答案为：5.
【题型2 因式分解（提公因式与公式法综合）】
1.
【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】解：
2.C
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．
利用提取公因式，公式法分解得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意；
B. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意；
C. ，原因式分解错误，故此选项符合题意；
D. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
3.（1）解：
；
（2）解：
．
4.D
【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案．
【详解】解：，
而3对应的是我，对应的是国，对应的是祖，对应的是爱，
结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，
故选：D．
【题型3 因式分解（十字相乘法】
1.（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
2.
【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
3.解：设，
则原式
，
∴
．
4.A
【分析】先计算所拼成的长方形的面积（是一个多项式），再对面积进行因式分解，即可得出长方形的长和宽．
【详解】解：根据题意可得：
拼成的长方形的面积=4a2+3b2+8ab，
又∵4a2+3b2+8ab=（2a+b）（2a+3b），且b＜3b，
∴那么该长方形较长的边长为2a+3b．
故选：A．
【题型4 因式分解（分组分解法）】
1.（1）解：原式
．
（2）解：原式
……
．
2.解：
．
3.
【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
4.
【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴必须与一组，
∴
，
故答案为：
【题型5 利用因式分解求值】
1.-4042
【分析】根据，，可得，，，再把变形为，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-4042
2.
【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，
∴，，
整理得：，，
，
故答案为：．
3.1
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先把原式变形为，再把整体代入得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1．
4.7
【分析】首先求出的值，再根据求出的值．
【详解】解：①，②，
①②，得
，
，
，
因为，
所以，
即③，
①②，得
，
④，
③平方，得
⑤，
⑤④，得
，
，
．
【题型6 利用因式分解解决新定义问题】
1.（1）解：根据题意得：，
即，
∴；
故答案为：2
（2）解：不存在整数，使得，理由如下：
由（1）得：，
即，
∴，
∴不存在整数，使得．
2.（1）解：由题意，得：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴．
3.
【分析】
本题考查因式分解的应用和新定义下方差优数的计算和分类，根据新定义，可以分别列出和的值，进而即可求解．
【详解】
解：注意到，知，
∴．
当时，由产生的方差优数为：，……
当时，由产生的方差优数为：……
当时，由产产生的方差优数为：……
当时，由产生的方差优数为：，
当时，由产生的方差优数为：
当时，由．产生的方差优数为：
当时，由产生的方差优数为：
综上，将上述产生的方差优数从小到大排列如下：，
……
故第个方差优数是，
故答案为：．
4.（1）由题意得，
∴所求的“和积数”为；
（2）由题意， ，
∵，，
∴，
∴，
∴或；
（3）由题意，，
∵， ，
∴，
当时，即时，
变为，，
此时，为任意数；
当时，即时，
由可得，
，
∴，
综上，时，为任意数；时，．
【题型7 利用因式分解解决整除问题】
1.D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
2.A
【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用因式分解解答问题．可提取公因式进行因式分解．
【详解】解：，
一定能被7整除．
故选：A．
3.∵
∴能被21整除．
4.15和17
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：∵
∴这两个整数为15和17．
故答案为：15和17．
【题型8 因式分解中的规律探究问题】
1.（1）解：∵；
；
；
∴
．
故答案为：11881；
（2）猜想：．
故答案为：；
（3）证明：
．
2.（1）解：，
40不是“智慧数”，44是“智慧数”；
（2）解：
，
由这两个连续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数；
（3）解：
．
3.（1）解：由规律可得：这两个数为63，67；
故答案为：63，67；
（2）
，
，
∴ ，
．
故答案为：
4.（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则
，
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．

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