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第6章《平行四边形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形是平行四边形的是（　　）
A．，且 B．，
C．， D．，且
2．如果一个正多边形每个内角都为，那么该正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
3．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F．则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）

A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等
8．如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ 　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点E是的中点，点F是内一点，且是，连接并延长，交于点G．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　）
①
②
③
④四边形是平行四边形

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当 ，使直线把四边形的面积四等分．
12．如图，中，，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
14．如图，，则 ．
15．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E，F分别是的中点，连接于点交于点N，若，则线段的长为 ．
16．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．
18．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．

(1)在图①中以、为顶点画一个面积为3的平行四边形．
(2)在图②中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形．
(3)在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形（正方形除外）．
19．（8分）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．

(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
20．（8分）在平行四边形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，则______；
(2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）；
(3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长．
21．（8分）小红根据学习平行四边形的经验，对平行四
边形进行了拓展探究．
【问题探究】
如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中找一点D，画线段且使，连接；
(2)在括号内填写根据：
∵且CD＝BA，
∴四边形是平行四边形（____________）
【拓展延伸】
(3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？
22．（8分）八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，．
(1)【思路探究】
如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：；
(2)【迁移应用】
如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：．
23．（8分）如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒．
(1) ______ 含的代数式表示；
(2)如图，连接，，，当时，求的面积；
(3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______.
参考答案
选择题
1．D
【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．
【详解】解：、依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、由，得出，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、，，，
，
，
∴依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、不能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意，
故选：．
2．D
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴它的外角是：，
．
即这个正多边形是九边形．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．
【详解】解：连接、两点，过点作于点，

，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：B．
4．C
【分析】由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形．
【详解】已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB，
DF∥BC且DF＝CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
故选C．
5．B
【分析】根据，，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到是等腰直角三角形，即可得到的值．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】首先根据勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得出，，根据作图可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，可得．
【详解】解：在中，，，，
，
D，E分别是的中点，
，，
，
由作图知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选C．
7．C
【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：

，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，
的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确
四边形的面积四边形的面积，故B选项正确
∴A、B、D正确，C不正确；
故选：C．
8．A
【分析】由旋转的性质，等边对等角，可得，证明四边形是平行四边形，进而可得结果．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，解得，
故选：A．
9．B
【分析】延长交的延长线于H，可证是的中位线，由中垂线的性质可得，可求，由“”可证，可得，根据线段的和差可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．B
【分析】顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③．
【详解】解：如图，

顺次连接，连接，连接交于点，
∵分别在四边形的各边上取中点，，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
由对称性可得：，
，
，
四边形是平行四边形，
故④正确；
四边形是平行四边形，
，
无法证明，
故②不正确；
依题意，四边形四边形，四边形四边形，
由题意得，四边形是由移动得到的，
∵，
∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的，
∴，
即在同一条直线上，，，
∴，
又∵四边形是由四边形移动后得到的，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，，，
∵，，
∴四边形四边形，
，
∴，
故③正确；
故答案为：B．
二．填空题
11．
【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质以及三角形、四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，
由平行四边形是中心对称图形可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，直线，把四边形的面积四等分，
故答案为：．
12．1
【分析】根据平行四边形的性质可得出，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可证，，得出，，从而可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：中，，，
∴，，，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，．
∵，即
∴．
∵点G，H分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：1．
13．或或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为：或或．
14．
【分析】连接，由三角形内角和，以及对顶角相等，可将，转化为五边形内角和，即可列式求解，本题考查了三角形内角和，多边形内角和，解题的关键是：找到已知角的等角，作出辅助线．
【详解】解：连接，设与交于点，
，，
，
五边形内角和，
由多边形内角和公式可得：，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】设，根据三角形的中位线定理表示，可得，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，，最后利用勾股定理计算x的值，可得的长．
【详解】解：设，
∵点E，F分别是的中点，，
∴是的中位线，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
连接，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
易得，
∴，，
中，由勾股定理得：，
即
解得
∴
故答案为：
16． 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
【详解】解：（1） ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
三．解答题
17．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
18．（1）解：如图：

即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图：

即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图：

即为所求．
19．（1）五边形广场的内角和，
故答案为：；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是度，
故答案为：；
（3）延长NE交AB于点F

∵
∴
∵
∴
∵在五边形中
∴
20．（1）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案为：；
（2）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
，
．
，
，．
，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
21．（1）解：如图所示；
（2）解：由平行四边形的判定定理可得判定四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（3）解：经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，则：
米，米，米，米，
∵，
∴只需或或或，即得四边形是平行四边形．
①由，得：，解得： ；
②由，得：，解得：，不合题意，舍去；
③由，得：，解得：；
④由，得：，解得：．
答：经过1秒或秒或3秒，直线将四边形截出一个平行四边形．
22．（1）证明： ，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
点为线段的中点，
又点为线段的中点，
为的中位线，
．
（2）证明：延长交于点，连接，则易知与均为等腰直角三角形，
，，
点为中点，又点为中点，
．
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
点为中点，
又点为中点，
．
在与中，
，
，
，
．
23．（1）解：在中，，
由题意，，
.
故答案为：；
（2）如图中，
四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
如图，点与重合，
由对称得：，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
如图4，在斜边上，此时，
由对称得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
的取值范围为.
故答案为：.

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