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人教版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练（一）
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下面各组数是三角形三边长，其中为直角三角形的是（　　）
A．8，12，15 B．5，6，8 C．8，15，17 D．10，15，20
2．下列图象中，y是关于x的函数的是（　　）
A．B． C．D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．2 B．431
C． D．2
4．下列二次根式：，，，，，，其中，最简二次根式的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+c+b|的化简结果是（　　）
A．b﹣2c B．b﹣2a C．﹣2a﹣b D．2c﹣b
6．一次函数y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．B． C．D．
7．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．38，39 B．42，40 C．42，41 D．42，42
8．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＝10，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝144，S2＝169，则S△ACP：S△BCP等于（　　）
A．12：5 B．13：5 C．3：1 D．13：4
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知y1，则xy＝　 　．
12．平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，4），则点P到原点的距离是 　 　．
13．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 　 　．
14．已知，则x2﹣4x﹣1的值为 　 　．
15．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，E是边AB上一点，AE＝2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则△GCD的周长最小值是 　 　．
人教版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练（一）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：（1）（1）．
18．如图，在珠海横琴一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积．
19．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，．
求：（1）BC的长；
（2）S△ABC．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
21．如图1，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°）．
（1）如图2，当α＝90°时，连接BD交AF于点P，
①直接写出∠DCF的度数；
②求证：．
（2）如图1，当∠DCF＝135°时，若，求的值．
22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简； 　 　 ． 　 　 ．
（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．
（3）当a＞b＞0时，化简：．
23.最美人间四“阅”天，4月23日是“世界读书日”，某书店购进了甲、乙两类学生最喜欢的书籍共200套，设购进甲类书籍x套，销售完这两类书籍所获得的利润为y（元），已知这两类书籍的进价与售价如表所示：
甲类书籍 乙类书籍
进价（元/套） 15 22
售价（元/套） 20 30
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，求销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润．
24．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣3k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OB＝OA，点C的坐标为（﹣1，0）．
（1）直接写出点A的坐标以及直线AB的解析式；
（2）如图1，点D在x轴上，连接BD，使∠ABD＝∠CBO，求点D的坐标；
（3）如图2，已知点M（m，m2﹣2m﹣3）在第四象限内，直线AM交y轴的负半轴于点P，过点A作直线AQ∥CM，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段PQ的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
参考答案
一、选择题
1—10：CBDCC BCDDA
二、填空题
11．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x≥2且x≤2，
∴x＝2，
y＝1，
∴xy＝21＝2．
故答案为：2．
12．【解答】解：由点P的坐标为（1，4），
则点P到原点的距离．
故答案为：．
13．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AOAB＝1，BOAODO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FHAO，FH∥AO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE，OH，
∴EH，
∴EF，
故答案为：．
14．【解答】解：∵，
∴x2﹣4x﹣1
＝（x2﹣4x+4）﹣1﹣4
＝（x﹣2）2﹣5
＝（2﹣2）2﹣5
＝（）2﹣5
＝5﹣5
＝0．
故答案为：0．
15．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣FG＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB10．
故答案为：10．
16．【解答】解：如图，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EH，连接GH，并延长交BC于N，
∵AB＝5，AE＝2，
∴BE＝3，
∵将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，
∴EF＝EG，∠GEF＝90°，
∵将BE绕点E逆时针旋转90°得到EH，
∴BE＝EH＝3，∠BEH＝90°＝∠GEF，
∴∠GEH＝∠BEF，
在△BEF和△HEG中，
，
∴△BEF≌△HEG（SAS），
∴∠EBF＝∠EHG＝90°，BF＝GH，
∴点G在过点H且垂直EH的直线上运动，
作点C关于直线GH的对称点C'，连接C'D，则CG+DG的最小值为C'D的长，
∵∠ABC＝∠BEH＝90°，∠EHN＝90°，
∴四边形EBNH是矩形，
∴BN＝EH＝3，
∴CN＝6，
∴CC'＝12，
∴C'D13，
∴CG+DG的最小值为13，
∵CD＝AB＝5，
∴△GCD的周长最小值是13+5＝18，
故答案为：18．
三、解答题
17．【解答】解：原式．
18．【解答】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△ACD
10×248×6
＝96．
19．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝45°，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，
即，
∴CD＝AD＝2，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝4，
由勾股定理得，
∴；
（2）由（1）得，AD⊥BC，AD＝2，，
∴
．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
21．【解答】解：（1）①∠DCF的度数是45°，
理由：如图2，作FN⊥CD于点N，FM⊥BC交BC的延长线于点M，则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠M，∠BAE＝∠MEF＝90°﹣∠AEB，∠MCN＝90°，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM＝BC，BE＝MF，
∵BE＝BC﹣CE＝EM﹣CE＝CM，
∴CM＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC＝45°，
∴∠DCF＝90°﹣∠MCF＝45°，
∴∠DCF的度数是45°．
②证明：如图2，连接AC交BD于点Q，连接CP，则AQ＝CQ，DQ＝BQ，
∵BD垂直平分AC，
∴AP＝CP，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠ACF＝∠DCA+∠DCF＝90°，
∴∠PCF＝90°﹣∠PCA＝90°﹣∠PAC＝∠PFC，
∴FP＝CP，
∴AP＝FP，
∴CF＝2QP，
∴CF+2DP＝2QP+2DP＝2DQ＝BD，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴BDBC，
∴CF+2DPBC．
（2）如图1，作FL⊥BC交BC的延长线于点L，在CL上取一点H，使CH＝BE，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α，
∴AB＝BC＝BE+CE＝CH+CE＝EH，∠BAE＝∠HEF＝180°﹣α﹣∠AEB，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（SAS），
∴BE＝HF，∠B＝∠EHF，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴∠FHL＝∠HCF+∠HFC＝2∠HCF，
∵AB∥CD，∠DCF＝135°，
∴∠B＝∠DCH，
∴∠EHF＝∠DCH＝135°+∠HCF，
∴135°+∠HCF+2∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝15°，
∴∠FHL＝30°，
设FL＝m，
∵∠L＝90°，
∴CH＝HF＝2FL＝2m，
∴HLm，
∴CF2＝（2mm）2+m2＝（8+4）m2，
∵，
∴ECCH2m＝3m，
∴CD＝BC＝EH＝3m+2m＝5m，
∴CD2＝（5m）2＝25m2，
∴，
∴的值为．
22.【解答】解：（1），33；
故答案为：，33；
（2）另一边长为：6﹣2，
所以2（2+6﹣2）＝16﹣2，
答：这个矩形的周长为16﹣2；
（3）当a＞b＞0时，
．
23.【解答】解：（1）设购进甲类书籍x套，则设购进乙类书籍（200﹣x）套，
∴y＝（20﹣15）x+（30﹣22）（200﹣x）
＝5x+1600﹣8x
＝﹣3x+1600；
（2）∵购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，
∴x≥3（200﹣x），
解得x≥150，
∵y＝﹣3x+1600，﹣3＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x＝150时，y有最大值，最大值为﹣3×150+1600＝1150，
答：销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润为1150元．
24.【解答】解：（I）如图，过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝90°．
∴FH∥BC，∠FAH＝∠FHA＝45°．
∴∠HFG＝∠E，AF＝HF．
∵CE＝AF，
∴HF＝CE．
在△FHG和△ECG中，
∴△FHG≌△ECG（AAS）．
∴FG＝EG；
（Ⅱ）如图，取I为BF的中点，连接IG．
由（I）知FG＝EG，
∴．
∴∠AIG＝90°．
∴∠IGA＝∠IAG＝45°．
∴AI＝IG．
∴．可得．
∴；
（Ⅲ）．
理由：∵AD＝6，AF＝2，
∴FB＝AB﹣AF＝4，BE＝BC+CE＝8，
由勾股定理，得EF，
由（I）知BG是Rt△EFB斜边EF的中点，
∴GB＝GEEF，
∴∠GBE＝∠GEB，
如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，
则PN'＝PN，∠N'EB＝∠NEB＝∠GBE，
∴PM+PN＝PM+PN'≥N'M，EN'∥QB，
∴EQ为两平行线EN'与QB间的距离，
∴PM+PN'≥N'M≥EQ，
∴PM+PN的最小值为EQ，
取BE的中点J，连接GJ，
则GJ∥FB，GHFB＝2，
∴GJ⊥BE，
∵S△GBEBG EQBE GJ，
∴EQ，
∴PM+PN的最小值为．
25.【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣3k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝﹣3k，当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣3k），
∴OA＝3，OB＝3k，
∵OA＝OB，
∴3k＝3，
∴k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）设D（m，0），如图，当点D在线段OA上时，
由（1）知，OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠CBO＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABO＝45°，
∵∠ODB＝∠OAB+∠DBA＝45°，
过点C作CT⊥BD于点T，则△CTB为等腰直角三角形，
过点N作QR⊥x轴交过点B和x轴的平行线于点R，
∵∠CTQ+∠BTR＝90°，∠BTR+∠TBR＝90°，
∴∠CTQ＝∠TBR，
∵∠CQT＝∠TRB＝90°，BT＝CT，
∴△CQT≌△TRB（AAS），设点T（x，y），
则CQ＝RT且BR＝TQ，即x+1＝y+3且x＝﹣y，
解得：x＝﹣y＝3，则点T（3，﹣3），
由点B、T的坐标得，直线BT的表达式为：y＝2x﹣3，
则D（，0）；
当点D（D′）在射线OA上时，
过点D作DN∥y轴交AB于点N，连接AH，
则DNH为等腰直角三角形，
同理可得：△ADH为等腰直角三角形，则四边形DNHA为正方形，
当x时，y＝x﹣3，即正方形的边长为，
则点D关于直线AB的对称即为点H（3，），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：yx﹣3，
令y＝3，则x＝6，
即点D′（6，0）；
综上，D（，0）或（6，0）；
（3）不变，为定值12，理由：
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
同理可得：AM的表达式为：y＝（m+1）（x﹣3），则点P（0，﹣3m﹣3），
∵AQ∥CM，
则直线AQ的表达式为：y＝（m﹣3）（x﹣3），则点Q（0，﹣3m+9），
则PQ＝﹣3m+9﹣（﹣3m﹣3）＝12为定值．
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