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填空题典型考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
一、填空题
1．因式分解： ．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为 ．
4．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．
5．因式分解： ．
6．不透明袋子中装有6个球，其中有3个绿球、2个红球、1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则它是红球的概率为 ．
7．当 时，分式的值为2．
8．如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为 ．
9．不等式的所有非负整数解为 ．
10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
11．如图，内接于，，点在上，平分．若，则 ．
12．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．
13．某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排 名男学生，此次团体操表演最少需要 名学生．
14．一次函数图象上有两点，，则 （填，，）
15．关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，求的取值范围是 ．
16．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为 .
17．如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，点都在直线上，点都在轴上，直线与轴交于点A，点与原点重合，则的坐标为 ．
18．如图，在中，已知点，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为 ．
19．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
20．已知，则的值是 ．
21．如图，在中，，正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为 ．
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
23．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ．
参考答案
1．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
2．且
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
3．68°
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故答案是：68°．
【点睛】考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
4．
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解．
【详解】解：依题意得：
当，，
当水位上升 时，则此时，
则：，
解得：或，
∴水面宽为：，
故答案为：．
5．/
【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式m即可．
【详解】解：，
故答案为：．
6．
【分析】本题考查求概率，直接利用红球的个数除以总个数进行计算即可．
【详解】解：随机摸出1个球，共有6种等可能的结果，是红球的结果有2种，
∴；
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意得，再解出值，最后验根，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴
∴，
∴
∴，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：．
8．
【分析】如图，过作于，在的延长线上取点，使，运用菱形的性质以及折叠的性质，三角形外角性质来证明，则，设，则，故，即可作答．本题考查了折叠的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：如图，在的延长线上取点，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
由对折可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解此题的关键是求出不等式的解集．
先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
所以所有非负整数解为，
故答案为：．
10．3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根得到是解题的关键．
根据题意，,，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，，
∴，，
解得，或，
∴，
故答案为： ．
11．55
【分析】本题考查了等边对等角，垂径定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识，正确作出辅助线是关键．
如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，根据等边对等角，圆内接四边形得到，根据垂径定理得到即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．4
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
同理可得，
∴，
故答案为：．
13． 426 206
【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为行列，则师生总数满足，即，而，据此计算即可求解．
【详解】解：设矩形方阵为行列，
∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师，
∴师生总数满足，
整理得，
∵、都是正整数，，
∵男生总数为，当男生人数最多时，需要最大，
此时，，
解得，，
∴，
∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生；
当，，
解得，，
∴，
∴此次团体操表演最少需要206名学生；
故答案为：426；206．
14．
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据，得随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组至少有3个整数解，即可求解的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组至少有3个整数解，
∴
∴
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是扇形面积计算，旋转的性质，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键．作于F，解直角三角形分别求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于F，
∵，
∴，
在中，，
∴， ，
由旋转的性质可知，，
∴图中线段扫过的阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积扇形的面积
扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
17．
【分析】可设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，．通过求交点A、C的坐标可求．根据，，都是等边三角形，得到，，，…．都是等腰三角形，从而求得，，，，…从而总结得出的纵坐标为，然后把代入，求得，则，然后把代入即可求解．
【详解】解：令，则，解得：，
∴，
∴，
设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，如图，
令，则，
∴，
∴
∴
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴当时，，
∴
同理，，，…
∴的纵坐标为，
把代入，得，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查点坐标规律探究，一次函数的应用，正三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，综合性强，难度大．
18．/
【分析】过点作轴于点，连接交于点，首先根据勾股定理解得的长度，结合折叠的性质可得，，，，易得，在和中，由勾股定理解得，的长度；再证明，为等腰三角形，结合相似三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作轴于点，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，轴，
∴，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
19．或
【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，
∴当与相切时，最大
如解图1，当点P在左侧时，
根据题意得，，，
∵
过点P作，交的延长线于点H，
∴
∴，
又∵
，即
，
；
如解图2，当点P在右侧时，
同理，可得，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大．
20．4
【分析】本题主要的考查整式的混合运算，先将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
21．1
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
如图所示，过点作于点，可证，得，设，则，在中由勾股定理得，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴等腰直角三角形，，
∴，且，
∴，
∴，
设，
∴，则，
在中，，即，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
∴
故答案为： ．
22．12π．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：该圆锥的侧面积＝＝12π（cm2）．
故答案为12π．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
23．/
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题．
连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图，连接，
是的中点，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图：
当，，三点共线时，的值最小，
四边形是菱形，，，
，，
∴，
∵，，
∴
，
的最小值为．
故答案为：．
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