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浙江省2025年中考数学试题猜想卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．瓷凳是一种古代的坐具，在不同的历史时期有着不同的特点和风格．图中是清晚期龙纹瓷粉彩凳，现收藏于西南民族大学民族博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
2．下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
4．将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1的度数是（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
5．某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（　　）
①超市第四周销售总额为20万元；
②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；
③第二周和第五周零食类销售总额相同；
④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了10%；
⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了．
A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤
6．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，﹣2＜3m+2n＜5，则下列判断中正确的是（　　）
A．﹣1＜m＜4 B．﹣1＜n＜0
C．﹣5＜2m﹣7n＜9 D．﹣3＜m+3n＜4
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（　　）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
8．如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
9．定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜5 B．m＜3
C．3＜m＜5或m＜3 D．3＜m＜4或m＜3
10．图1是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为2m，2n（m＜n）．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论：
①△ABG是等边三角形；
②四边形GTSH为菱形；
③六边形ABCDEF是轴对称图形，不是中心对称图形；
④存在m，n，使四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为1：2．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②④ C．①③ D．①②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣12＝　 　 ．
12．龙芯3A6000的发布，标志着我国自主研发的CPU达到新高度．龙芯3A6000采用的工艺制程为0.000000012m，将0.000000012用科学记数法可表示为 　 　 ．
13．草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选5株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 方差
甲 79 81 80 78 82 80 2
乙 80 77 79 83 81 80 4
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是　 　 （填“甲”或“乙”）．
14．一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 　 　 ．
15．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝60°，顶点A在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B在反比例函数的图象上．若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则k＝ 　 　 ．
16．如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　 　 °， 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）九年级光学探究社团进行一次光的反射实验，如图，一束光线AB先后经平面镜OP，OQ反射后，反射光线CD与AB平行，已知∠ABP＝37°，OB＝20cm，求OC的长．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
19．（8分）根据如图所示的程序，解决下列问题：
（1）求C（结果需化简）；
（2）若输出的C的结果为3，求输入的x的值．
20．（8分）4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分九年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为　 　 ，图①中m的值为　 　 ；
（2）本次调查的这组数据的中位数是　 　 ；
（3）若学校有2000名学生，试估计读书时间不少于8小时的学生有多少人？
21．（8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长约为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
①在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为、的三角形；
②在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是45°；
③在图③中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形．
22．（10分）某物流公司需将一批紧急物资运往灾区，现可租用甲、乙两种型号的卡车．已知租用2辆甲种卡车和3辆乙种卡车一次可运输46吨物资；租用1辆甲种卡车和2辆乙种卡车一次可运输28吨物资．
（1）求每辆甲种卡车和每辆乙种卡车一次分别能装运多少吨物资；
（2）已知甲种卡车每辆租金为450元，乙种卡车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆卡车，请求出租用卡车的总费用W（元）与租用甲种卡车的数量a（辆）之间的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，为了保障能运完这批物资，发现甲种卡车不少于5辆，请你为该物流公司设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）．
（1）二次函数的顶点坐标为　 　 ；
（2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得，
①求线段AB的长；
②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E．点F是BC的中点，连接AF，与DE相交于点G，连接DF．已知点G为DE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，点P为CE的中点，连接DP并延长，交BC的延长线于点Q，连接AQ，求tan∠CAQ的值；
（3）若⊙O的半径为，且CF＝FG，求AE的长．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙江省2025年中考数学试题猜想卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．瓷凳是一种古代的坐具，在不同的历史时期有着不同的特点和风格．图中是清晚期龙纹瓷粉彩凳，现收藏于西南民族大学民族博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：由实物图，它主视图和左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同．
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式除以单项式可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
【解答】解：b2+b3不能合并，故选项A错误，不符合题意；
2a3b÷b＝2a3，故选项B正确，符合题意；
（2a2）3＝8a6，故选项C错误，不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【分析】利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
4．将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1的度数是（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
【分析】先根据平行线的性质得出∠BCD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴∠1＝∠BCD﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
5．某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（　　）
①超市第四周销售总额为20万元；
②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；
③第二周和第五周零食类销售总额相同；
④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了10%；
⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了．
A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤
【分析】①用销售总额减去其它四个月份销售额判断即可；②③④⑤根据折线统计图和条形统计图数据判断即可．
【解答】解：超市第四周销售总额为：186﹣50﹣40﹣36﹣40＝20（万元），故①结论正确；
由题意可知，第四周零食类销售额为：20×20%＝4（万元），第三周零食类销售额为：36×10%＝3.6（万元），第四周零食类销售额比第三周增加了，故②结论错误；
由题意可知，第二周零食类销售额为：40×12%＝4.8（万元），第五周零食类销售额为：40×13%＝5.2（万元），第二周和第五周零食类销售总额不同，故③结论错误；
由题意可知，第四周零食类销售额为：20×20%＝4（万元），第三周零食类销售额为：36×10%＝3.6（万元），所以第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了（4﹣3.6）÷3.6≈11.1%，故④结论错误；
由题意可知，第四周零食类销售额为：20×20%＝4（万元），第五周零食类销售额为：40×13%＝5.2（万元），所以第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了，故⑤结论正确；
所以判断中正确的是①⑤．
故选：D．
6．已知实数m，n满足2m﹣n＝1，﹣2＜3m+2n＜5，则下列判断中正确的是（　　）
A．﹣1＜m＜4 B．﹣1＜n＜0
C．﹣5＜2m﹣7n＜9 D．﹣3＜m+3n＜4
【分析】根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【解答】解：由条件可知n＝2m﹣1，，
又∵﹣2＜3m+2n＜5，
∴﹣2＜3m+2（2m﹣1）＜5，
解得0＜m＜1，
∴，
∴﹣1＜n＜1，
∴0＜2m＜2，﹣7＜﹣7n＜7，﹣3＜3n＜3，
∴﹣7＜2m﹣7n＜9，﹣3＜m+3n＜4，
故选：D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（　　）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
【分析】根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，4（x﹣1）＝3x+9．
故选：D．
8．如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得出，，OE＝AB，求出DF＝20cm，即可求解．
【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE＝AB，
即，
解得DF＝20cm，
∴，
故选：C．
9．定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜5 B．m＜3
C．3＜m＜5或m＜3 D．3＜m＜4或m＜3
【分析】首先通过已知条件x2＝2y+t，y2＝2x+t（x≠y），利用等式相减因式分解得出x+y的值，进而得到y关于x的表达式，然后将其代入反比例函数，得到一个一元二次方程．最后根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质来确定m的取值范围．
【解答】解：∵x2＝2y+t，y2＝2x+t（x≠y），
∴x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝2（y﹣x），
即（x﹣y）（x+y+2）＝0，
∵x≠y，
∴x+y+2＝0，即y＝﹣x﹣2，
∵点（x，y）在反比例函数的图象上
∴﹣x﹣2
整理可得x2+2x+（m﹣3）＝0，
∵反比例函数图象上总存在两个关联点，意味着方程x2+2x+（m﹣3）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣3）＝16﹣4m＞0，
∴m＜4，
∵若反比例函数中m﹣3≠0，
∴m的取值范围为3＜m＜4或m＜3．
故选：D．
10．图1是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为2m，2n（m＜n）．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论：
①△ABG是等边三角形；
②四边形GTSH为菱形；
③六边形ABCDEF是轴对称图形，不是中心对称图形；
④存在m，n，使四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为1：2．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②④ C．①③ D．①②④
【分析】根据选项逐一判断求解即可．
【解答】解：由题意可知∠ABG＝60°，∠BAT＝60°，
∴△BAG为等边三角形，故①正确；
同①可得△SDE也为等边三角形，
∵AT＝TE＝n，AG＝SE＝m，
∴GT＝ST＝m﹣n，
由题可得四边形GHST为平行四边形，
∴四边形GHST为菱形，故②正确；
由②可知，六边形ABCDEF既是轴对称图形，又是中心对称图形，故③错误；
∵，，
∴要使得四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为1：2，则，
解得，
故存在，即④正确，
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣12＝　3（x+2）（x﹣2）　 ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
12．龙芯3A6000的发布，标志着我国自主研发的CPU达到新高度．龙芯3A6000采用的工艺制程为0.000000012m，将0.000000012用科学记数法可表示为 　1.2×10﹣8　 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000012＝1.2×10﹣8．
故答案为：1.2×10﹣8．
13．草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选5株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 方差
甲 79 81 80 78 82 80 2
乙 80 77 79 83 81 80 4
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是　甲　 （填“甲”或“乙”）．
【分析】可根据“方差越小越稳定”进行求解即可．
【解答】解：甲的方差比乙的方差小，所以每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲；
故答案为：甲．
14．一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为 　﹣10　 ．
【分析】先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【解答】解：如图：
由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是m+n﹣4，
∴m+n﹣4＝A+m+2，
∴A＝n﹣6，
∵B＝（m+n﹣4）﹣（A﹣4）＝m+n﹣4﹣（n﹣6﹣4）＝m+6，
∴x＝（m+n﹣4）﹣（B+n）＝（m+n﹣4）﹣（m+6+n）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
15．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝60°，顶点A在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B在反比例函数的图象上．若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则k＝ 　10　 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定和性质进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A、点B分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则S△OAM|﹣4|＝2，
∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，即S△OAC＝S△BOC，
∴AC＝BC，AM＝BN，
∴RtACM≌Rt△BCN（HL），
∴S△ACM＝S△BCN，
∵∠AOB＝60°，
∴tan60°，
∵AC＝BC，
∴，
∵∠OAB＝90°，AM⊥OC，
∴△ACM∽△OAM，
∴，
∵S△OAM＝2，
∴S△ACM2，
∴S△OBN＝S△OBC+S△BCN＝25|k|，
∵k＞0，
∴k＝10，
故答案为：10．
16．如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　36　 °， 　　 ．
【分析】设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解．
【解答】解：设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝x，AD∥CB，
∴∠BCD′＝∠D′，
∵CD′平分∠ACB，
∴∠ACD′＝∠BCD′，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠D′，
∴∠BCD′＝∠ACD′＝x，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°，
∵∠D′＝∠ACD′＝36°，
∴AD′＝AC，
∵∠CAJ＝∠CJA＝72°，
∴AC＝CJ，
设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，
∵∠D′＝∠D′，∠D′AJ＝∠ACD′＝36°，
∴△D′AC∽△D′JA，
∴D′A2＝D′J D′C，
∴m2＝（n﹣m） n，
∴n2﹣nm﹣m2＝0，
∴（）21＝0，
∴．
故答案为：36，．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】利用零指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝1+21＝3．
18．（8分）九年级光学探究社团进行一次光的反射实验，如图，一束光线AB先后经平面镜OP，OQ反射后，反射光线CD与AB平行，已知∠ABP＝37°，OB＝20cm，求OC的长．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【分析】根据题意得出∠ABP＝∠OBC＝37°，再由各角之间的关系得出∠OCB＝53°．利用三角形内角和定理得出∠BOC＝90°，然后利用正切函数求解即可．
【解答】解：已知∠ABP＝37°，反射光线CD与AB平行，OB＝20cm，
由题意得∠ABP＝∠OBC＝37°，
∴∠ABC＝106°．
∵CD∥BA，
∴∠BCD＝74°．
∵∠OCB＝∠DCQ，
∴∠OCB＝53°．
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°．
在Rt△OBC中，OB＝20cm，
，
解得：OC＝15，
∴OC的长为15cm．
19．（8分）根据如图所示的程序，解决下列问题：
（1）求C（结果需化简）；
（2）若输出的C的结果为3，求输入的x的值．
【分析】（1）根据题意可得，据此先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）
．
（2），
两边同乘x得x﹣2＝3x，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴输入的x的值为﹣1．
20．（8分）4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分九年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为　50　 ，图①中m的值为　24　 ；
（2）本次调查的这组数据的中位数是　8.5小时　 ；
（3）若学校有2000名学生，试估计读书时间不少于8小时的学生有多少人？
【分析】（1）由6小时人数及其所占百分比可得总人数，用8小时人数除以总人数即可得出m的值；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）总人数乘样本中读书时间不少于8小时的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为5÷10%＝50（人），
m%100%＝24%，即m＝24，
故答案为：50，24；
（2）观察条形统计图，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是8和9，
8.5（小时），因此这组数据的中位数是8.5小时；
故答案为：8.5小时；
（3）20001480（人），
答：估计读书时间不少于8小时的学生有1480人．
21．（8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长约为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
①在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为、的三角形；
②在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是45°；
③在图③中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形．
【分析】①利用网格结合勾股定理画图即可．
②结合平行四边形的判定按要求画图即可．
③结合菱形的判定按要求画图即可．
【解答】解：①如图①，△ABC即为所求．
②如图②，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
③如图③，菱形ABCD即为所求（答案不唯一）．
22．（10分）某物流公司需将一批紧急物资运往灾区，现可租用甲、乙两种型号的卡车．已知租用2辆甲种卡车和3辆乙种卡车一次可运输46吨物资；租用1辆甲种卡车和2辆乙种卡车一次可运输28吨物资．
（1）求每辆甲种卡车和每辆乙种卡车一次分别能装运多少吨物资；
（2）已知甲种卡车每辆租金为450元，乙种卡车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆卡车，请求出租用卡车的总费用W（元）与租用甲种卡车的数量a（辆）之间的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，为了保障能运完这批物资，发现甲种卡车不少于5辆，请你为该物流公司设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？
【分析】（1）根据租用2辆甲种卡车和3辆乙种卡车一次可运输46吨物资；租用1辆甲种卡车和2辆乙种卡车一次可运输28吨物资，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以出租用卡车的总费用W（元）与租用甲种卡车的数量a（辆）之间的函数解析式；
（3）根据（2）中的函数解析式和甲种卡车不少于5辆，可以求得该物流公司设计如何租车费用最少，及最少费用是多少元．
【解答】解：（1）设每辆甲种卡车一次能装运x吨物资，每辆乙种卡车一次能装运y吨物资，
由题意可得：，
解得，
答：每辆甲种卡车一次能装运8吨物资，每辆乙种卡车一次能装运10吨物资；
（2）由题意可得，
W＝450a+400（9﹣a）＝50a+3600，
即出租用卡车的总费用W（元）与租用甲种卡车的数量a（辆）之间的函数解析式为W＝50a+3600；
（3）由（2）知，W＝50a+3600，
∴W随a的增大而增大，
∵甲种卡车不少于5辆，
∴a≥5，
∴当a＝5时，W取得最小值，此时W＝3850，9﹣a＝4，
答：该物流公司租甲种出租车5辆，乙种出租车4辆时，租车费用最少，最少费用为3850元．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）．
（1）二次函数的顶点坐标为　（﹣m，2﹣m）　 ；
（2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得，
①求线段AB的长；
②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值．
【分析】（1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可；
（2）①由平移得到a＝﹣1，联立抛物线与直线的解析式，求出A，B点的坐标，两点间距离公式求出AB的长即可；
②根据x的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0），
∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2﹣m）；
故答案为：（﹣m，2﹣m）；
（2）①∵二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得，
∴y＝﹣（x+m）2﹣m+2，
联立，
解得：或，
∵﹣m﹣1＜﹣m，B在A的左侧，
∴B（﹣m﹣1，1﹣m），A（﹣m，2﹣m），
∴；
②由（1）知：x2＝﹣m﹣1，
∵y＝﹣（x+m）2﹣m+2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，（﹣m﹣1，1﹣m）关于x＝﹣m的对称点为（﹣m+1，1﹣m），
∵x2≤x≤﹣2m﹣1，即：﹣m﹣1≤x≤﹣2m﹣1，
1°当﹣m﹣1≤﹣2m﹣1≤﹣m，即：﹣1≤m≤0时，
则当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m+1，
当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最大值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1，
∴，
解得：m＝±2＜1，不符合题意，舍去；
2°当﹣m＜﹣2m﹣1＜﹣m+1，即：﹣2＜m＜﹣1时，
当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m，
当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为﹣m+1，
则：，
解得：，符合题意；
3°当﹣m＜﹣m+1＜﹣2m﹣1，即：m＜﹣2时，
当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m，
当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1，
则：，
解得：（舍去）；
综上：或．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E．点F是BC的中点，连接AF，与DE相交于点G，连接DF．已知点G为DE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，点P为CE的中点，连接DP并延长，交BC的延长线于点Q，连接AQ，求tan∠CAQ的值；
（3）若⊙O的半径为，且CF＝FG，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，DC，利用圆周角定理，直角三角形斜边上的中线的性质，同圆的半径相等的性质和等腰三角形的性质得到∠ODF＝90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理得到∠CAD＝30，∠ACD＝60°，利用直角三角形的边角关系定理得到DE＝AD sin30°AC；利用全等三角形的判定与性质得到CQ＝DE，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
（3）过点F作FK⊥DE于点K，利用等腰三角形的三线合一的性质得到DK＝KG，利用矩形的判定与性质得到FK＝CE，再利用相似三角形的判定与性质得到，则AEAC．
【解答】（1）证明：连接OD，DC，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵点F是斜边BC的中点，
∴DF＝FC＝BF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠CDO＝∠DCO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD+∠FCD＝90°．
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠DCO+∠FCD＝90°，
即OD⊥DF，
∵DF过半径OD的外端点D，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴∠ACD＝2∠CAD．
∴∠CAD＝30，∠ACD＝60°，
∴AD＝AC cos30°AC，
DE＝AD sin30°AC．
∵点P是CE的中点，
∴PE＝PC．
∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴DE∥CQ，
∴∠PED＝∠PCQ．
在△DPE和△QPC中，
，
∴△DPE≌△QPC（ASA）．
∴CQ＝DEAC．
tan∠CAQ；
（3）解：过点F作FK⊥DE于点K，如图，
∵FK⊥DE，CE⊥DE，
∴FK∥CE．
由（1）知：DF＝FC．
∵CF＝FG，
∴DF＝FG，
即△DFG是等腰三角形．
∵FK⊥DE，
∴DK＝KG．
∵点G为DE的中点，
∴DG＝EG．
∴EG＝2KG，
即．
∵DE∥CQ，FK∥CE，∠FCE＝90°，
∴四边形FKEC是矩形．
∴FK＝CE．
∵FK∥AE
∴△FKG∽△AEG，
∴，
∴．
∵⊙O的半径为，
∴AC＝2，
∴AEAC．

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