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2025年河南省周口市沈丘县五校联考 二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是( )
A． B． C．1 D．0
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图，若主视图面积为a，则左视图面积为（ ）
A． B． C． D．
3．杜岭方鼎是商代早期青铜器中的杰出代表，它以宏大的器型、精美的纹饰和神秘的历史背景，成为河南博物院的镇馆之宝之一．已知其质量超64千克，“64千克”用科学记数法表示为（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
4．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A．m B．－m C．m＋1 D．m－1
6．如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B，C分别在y轴，x轴上，且B，D两点的纵坐标相同，将菱形绕点C顺时针旋转，每次旋转，若最后点D的对应点落在坐标轴上，则旋转次数可以是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、填空题
11．用代数式表示a与b的立方差： ．
12．不等式组的解集是 ．
13．某校为全面了解学生周末作业外的时间安排，对该校2400名学生进行调研并将结果整理成如扇形统计图，其中把作业外时间用于“运动”的约有 人．
14．如图，是半圆O的直径，将直径绕点A逆时针旋转得扇形，若，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．跳绳是一种古老的汉族民俗娱乐活动，起源于古代，清末以后称作“跳绳”，作为一种简便易行的健身活动，跳绳不仅可以强身健体，还具有观赏性和协调性．某跳绳教练对自己任教的①②两个组（每个组均为40人）的学生进行跳绳检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．成绩等级分为：A（160次及以上），B（次），C（次），D（120次以下），其中A为优秀级别．
第①组成绩数据 第②组成绩数据 特别备注
平均数，众数，中位数，优秀率 158，152，152， 第②组中B等级的成绩分别是：140，142，146，146，146，148，152．154，156．158．
根据以上信息，回答下列问题，
(1)第②组成绩在（次）区间的数据个数为 ，第②组成绩的中位数为 ；
(2)从优秀率来看，哪组的成绩更好一些？
(3)已知第①组每种成绩最多有2人相同，则成绩是152次的学员，在第 （选填“①”或“②”）组的名次更好些．
18．如图，在中，，，，点P为上一点，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点Q，使得 ；(保留作图痕迹，不写作法）
(2)求线段的长．
19．如图，平面直角坐标系中，的图象经过，．
(1)求k和m的值；
(2)在第一象限内取一点D，使得四边形为平行四边形，求直线的函数解析式．
20．“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案．
方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费；
方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下：
(1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式；
(2)求交点P的坐标，并说明其实际意义；
(3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由．
21．项目式学习表：
实践任务 利用所学知识计算经纬线的长度
资料查阅 经线和纬线是人们为了在地球上确定位置和方向而在地球仪和地图上画出来的．经纬线相互垂直．经线是一条条长度相等的弧线，连接南北两极．因为经线指示南北方向，所以，经线又叫子午线；纬线是一条条长度不等的圆圈，为东西走向，最长的纬线是赤道，地球半径约为．
模型构造 是经过南、北极的经线圈，弦，连接，．若，则以为直径的圆的周长是北纬纬线的长度．
任务构建 求北纬纬线的长度．
求解过程
参考数据 π取3，，，．
22．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值．
23．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题．
问题提出
（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．
的度数是 ；
周长的最小值是 ．
问题探究
（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值．
问题解决
（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值．
《2025年河南省周口市沈丘县五校联考 二模数学试题》参考答案
1．A
解：，
∴最小的数是，
故选：A．
2．B
解：如图，
∵主视图看到四个正方形，面积为a，
∴左视图看到的三个正方形，其面积为.
故选：B．
3．B
解：64千克克克；
故选：B．
4．C
解：∵，，
∴，，
∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，
∴，
故选：C．
5．A
原式＝＝=＝m，
故选：A．
6．D
解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
故选：D．
7．D
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且，
即，解得，
∴a的取值范围是且，
故选：D．
8．C
列表如下：
　　　　个位　十位 1 2 3
1 11 12 12
2 21 22 22
3 31 32 32
∴所有可能的两位数共有种，符合条件的两位数：12、21、33，共3种．
∴所得两位数能被3整除的概率是．
故选：C．
9．C
根据题意，可知图2中第一个方程是．已知，代入即可解得．
第2个方程等号的左边是，将，代入，得．
被墨水所覆盖的图形为，
故选C．
10．D
解：如图，
由题可知，将菱形绕点C顺时针旋转，每次旋转，
∴每旋转4次则回到原位置，每次从起始点旋转2次，点D落在轴负半轴上，
A．，则此时菱形的位置在从起点起第3次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
B．，则此时菱形的位置在从起点起第4次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
C．，则此时菱形的位置在从起点起第1次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
D．，则此时菱形的位置在从起点起第2次旋转的位置，点落在轴负半轴上，故此选项符合题意；
故选：D．
11．
解：a与b的立方差是：，
故答案为：．
12．
解：
不等式两边同时乘2：
移项：
系数化为1：；
故答案为：．
13．240
解；人，
∴把作业外时间用于“运动”的约有240人，
故答案为：240．
14．
解：连接，过点D作交于点E，如图：
根据题意得：，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∵
在中，
∴，
∴
∴
故答案为：．
15．
解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
∵
根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆，
∵正方形的边长为2，
∴，则圆心为，半径为，
∴圆的方程为，
∵，
∴圆心到点C的距离为
∵，
∴点C在圆外，
∴最小值为，
最大值为，
故答案为：，．
16．（1）；（2）
解：（1）；
（2）．
17．(1)3，144
(2)第①组的成绩更好一些
(3)②
（1）解：，
∴第②组成绩在（次）区间的数据个数为3；
把第②组40人的跳绳成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名的成绩，
∵，
∴第②组成绩的中位数为；
（2）解：第②组的优秀率为，
∵，
∴从优秀率来看，第①组的成绩更好一些；
（3）解：∵①组每种成绩最多有2人相同，且第①组成绩的中位数为152次，
∴成绩是152次的学员在第①组的最好成绩为第20名，
∵成绩是152次的学员在第②组的成绩为第16名，
∴成绩是152次的学员，在第②组的名次更好些．
18．(1)见解析
(2)2
（1）解：如图，点Q即为所求；
（2）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴．
19．(1)，
(2)
（1）解：∵反比例函数的图象过点、，
∴，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
又平行四边形中，，
∴直线可以看作是直线平移可得，且过点，
∴直线的函数解析式为：．
20．(1)，
(2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元
(3)王林选择方案一花费更少，见解析
（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为，
方案二费用与剪发次数的函数关系式为；
（2）依据题意联立方程组得：，
解得，
∴点，
点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元；
（3）选择方案一花费更少．
理由：根据图象可知：当时，；当时，；
∴当时，；
∴王林选择方案一花费更少．
21．北纬纬线的长度约为
解：过点O作，垂足为E，
∵
∴
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
∴北纬的纬线长．
答：北纬纬线的长度约为．
22．(1)
(2)
（1）解：∵抛物线过，，
∴
解得：，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，，
解得，，
∴点A的坐标为，，
当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，
∴．
23．（1），；
（2）；
（3）米
解：点与点关于对称，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
，
故答案是：；
解：点与点关于对称，
，，
点与点关于对称，
，，
，
由可知，
是等边三角形，
，
的周长是，
周长的最小值是，
故答案是：；
解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接，
则点与点关于直线对称，
连接交于点，则，
线段的长度就是的最小值，
是等腰直角三角形，，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
的最小值是；
如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，
四边形为一个矩形，
，
，米，
米，
米，
，
点是矩形的中心，
，
，
，
，
在中， ，，
，
在和中，，
，
，米，
米，
米，
的最小值是米，
米，
的最小值是米．

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