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-2025学年高二下学期数学
（人教A版）期末模拟试题
一、单选题
1．设全集，集合A满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）
A．210种 B．420种 C．1260种 D．630种
4．随机变量，且，则（ ）
A．6.4 B．12.8 C．25.6 D．3.2
5．函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．
7．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A．20 B．27 C．32 D．40
8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若，，则
B．若随机变量，且，则
C．一组数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7
D．若样本数据，，…，的平均数为3，则，， ，的平均数为10
10．如图是函数的导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
11．关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有8项 B．展开式的所有项系数之和为1
C．展开式的二项式系数之和为256 D．展开式中含有常数项
三、填空题
12．已知函数，则=
13．二项式，则该展开式中的常数项是 ，二项式系数最大项是第 项.
14．对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是 ．
四、解答题
15．在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6
年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4
(1)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；
(2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量.
16．设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
17．已知函数．
(1)求曲线的图象在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．
18．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
(1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A D D B D BD BC
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据全集及补集写出集合A即可.
【详解】由题知，
由，得．
故选：C
2．D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
3．A
【分析】由分步乘法计数原理即可求出.
【详解】先从人中选人去甲场馆，有种，再从剩下的人中选人去乙场馆，有种，再将剩下的人安排去丙场馆，有种，
则由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有种.
故选：A.
4．A
【分析】根据二项分布的期望（均值）求，再求，再根据公式求解.
【详解】由，
因为，所以，
所以.
故选：A
5．D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率.
【详解】函数，求导得，则，
所以所求切线的斜率为3.
故选：D
6．D
【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，所以，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D
7．B
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
【详解】依题意得，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
8．D
【分析】根据导数和单调性的关系，得到在区间上恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解.
【详解】由已知，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，，
所以
故选：D
9．BD
【分析】根据二项分布期望、方差公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据百分位数的概念判断C，根据平均数定义计算D.
【详解】对A，由题意，解得，故A错误；
对B，由正态分布的对称性知，，
则，故B正确；
对C，由知，第60百分位数为由小到大排列的第5个数9，故C错误；
对D，由题意知，则
，故D正确.
故选：BD
10．BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当时，，故单调递减；
当，，故单调递增；
当，，故单调递减；
当，，故单调递增，且，，，
则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值.，
即BC错误，
故选：BC
11．BC
【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法即可判断B；由二项式系数和的性质即可求解C；根据通项特征即可判断D．
【详解】对于A，，所以展开式共有9项，故A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，展开式的二项式系数之和为，故C正确；
对于D，展开式中的通项是，
令，解得，所以展开式中没有含常数项，故D错误；
故选：BC．
12．3
【分析】根据给定条件，分段判断代入求值.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：3
13． 7
【分析】根据二项式的通项公式、二项式系数的性质进行解答即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
当时，即时，常数项为：，
因为，所以二项式系数最大项是第项，
故答案为：；
14．
【分析】根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出和的值，然后求出，进而由，，可求出，从而可求出关于的线性回归方程；
（2）当年份为2025年时，年份代码为，由（1）求得的回归方程，求出的值即可．
【详解】（1）由题意可知：
，
，
，
所以，
又，
故关于的线性回归方程为．
（2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为，此时．
所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为万吨．
16．(1)，定义域为
(2)0
【分析】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到的值 ；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可求出定义域；
（2）由（1）将函数解析式整理得到，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值.
【详解】（1）因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
（2）由（1）得，
因为，令，
令，则函数单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程.
（2）利用导数求出函数的极值，并作出其图象，数形结合求出的范围.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线的图象在点处的切线方程为，即.
（2）函数，定义域为，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增；在上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图，

若方程有3个不同的根，则直线和函数的图象有3个交点，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有3个交点，
所以实数的取值范围为．
18．(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望；
（2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论.
【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为，
按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，
所以随机变量的所有取值为.
则 ， ， ，
，
所以的分布列为
1 2 3 4
所以.
（2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
因为，假设成立，
所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
如果把所有数据都扩大10倍后，
，，
所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可.
（2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可.
（ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可.
【详解】（1）由题可知任意，
且，，即，解得，
因为，所以解得，即的取值范围为．
（2）（i）设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
得到，即，
故是上的“好函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，
令，则，
即，
故，
化简可得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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