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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟命题研究卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等于（）
A． B． C． D．
2．一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6，任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　）
A．40° B．44° C．48° D．52°
5．对于等式中，△代表的是（　　）
A．3y B．9y C． D．
6．已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示：
温度℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
传播速度/（m/s） 319 325 331 337 343 349
下列说法错误的是（　　）
A．自变量是温度，因变量是传播速度
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音5s可以传播1655m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
7．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
8．如图， ， ， ，则 的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中 ， ， ， ，有下列结论：
① 与 互为补角；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　.
12．若a2﹣5a﹣1＝0，则a2＋ ＝　 　.
13．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝ AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 　 　.
14．一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为 　 　.
15．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为　 　．
16．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．
（1）如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；
（2）若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．
18．如图，已知点在上，平分平分.
（1）试说明：；
（2）若，试判断与平行吗 为什么
19．一个小球在如图所示的方格地板上自由地滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同．
（1）该小球停留在黑色区域的概率是多少？
（2）甲，乙两人比赛，小球落到白色区域甲赢，落在黑色区域乙赢，你认为这个游戏公平吗？
20．如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1．
（2）求出△OCC1的面积．
21．如图，直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线相交于点E，设∠ABC＝，∠ADC＝．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，探究∠BED与、之间的关系并加以证明：
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，（1）中关系是否依然成立？说明理由．
22．如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
23．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题.请你观察、思考并解决下列问题：
（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；
（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积.
24．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
25．如图，在四边形ABCD中，，点E在AD上，点F在BC上．
（1）尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规，在四边形内部找一点M，使得点M到AD，AB的距离相等，且；
（2）在（1）的条件下，延长AM交BC于点N，且，连接EF，求证：E，M，F三点共线．
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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟命题研究卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用负整数指数幂计算求解即可。
2．一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6，任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：任意掷一次骰子，得到6种等可能结果，其中掷出结果为“2的倍数”的有3种，
∴掷出结果为“2的倍数”的概率为．
故答案为：D
【分析】利用概率公式求解即可。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可。
4．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　）
A．40° B．44° C．48° D．52°
【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，再结合∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，利用三角形的内角和求出∠EAF的度数即可。
5．对于等式中，△代表的是（　　）
A．3y B．9y C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
整理得，，
移项得，，
，．
，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式和待定系数法可得，，再求解即可。
6．已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示：
温度℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
传播速度/（m/s） 319 325 331 337 343 349
下列说法错误的是（　　）
A．自变量是温度，因变量是传播速度
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音5s可以传播1655m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
【答案】C
【解析】【解答】解：A选项，自变量是温度，因变量是传播速度，故该选项正确，不符合题意；
B选项，温度越高，传播速度越快，故该选项正确，不符合题意；
C选项，当温度为10℃时，声音的传播速度为337m/s，所以5秒可以传播337×5＝1685m，故该选项错误，符合题意；
D选项，温度每升高10℃，传播速度增加6m/s，故该选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用表中可知自变量和因变量，可对A作出判断；利用表中数据，可得到传播速度随温度的变化情况，可对B，C，D作出判断.
7．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故A选项不符合题意；
B、∠1=∠2，无法判定AB∥CD，故B选项符合题意；
C、∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故C选项不符合题意；
D、∠2+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各选项逐一判断即可.
8．如图， ， ， ，则 的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A=∠D=65°，
∴∠C=180°-∠ABC -∠A=35°，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的性质求出∠A的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
9．将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中 ， ， ， ，有下列结论：
① 与 互为补角；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
，故①说法正确；
，
，故②说法正确；
，故③说法正确；
，故④说法错误.
故答案为：C.
【分析】先分别表示出∠BAE和∠CAD，再相加，即可判断①；
先根据三角形外角的性质可得∠EPA=90°，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断②；
根据在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即可判断③；
由垂直定义可得∠EPA=90°，利用三角形外角的性质可求出，从而求出，据此判断④.
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝ ∠BA1C＝ ×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（ ）2×75°，∠FA4A3＝（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】9
【解析】【解答】解：连接CF，如图所示.
∵△AEF与△CEF等高，CE=2AE，
∴S△CEF=2S△AEF=2×3=6，
又∵S△ABC=36，BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD= S△ABC=18，
∴S△CFD=18-3-6=9，
又∵△BFD与△CFD同底等高，
故S△BFD=S△CFD=9，
即阴影部分面积为9，
故答案为：9.
【分析】连接CF，易得S△CEF=2S△AEF=6，S△ABD=S△ACD=S△ABC=18，进而求得S△CFD，由△BFD与△CFD同底等高可得S△BFD=S△CFD=9，据此解答.
12．若a2﹣5a﹣1＝0，则a2＋ ＝　 　.
【答案】27
【解析】【解答】由a2﹣5a﹣1＝0得：a2﹣1＝5a
∵a≠0
∴两边同除以a，得：
∴
即
移项得：
故答案为：27.
【分析】由已知条件可得a2-1=5a，然后给两边同时除以a，得到a-=5，然后结合完全平方公式进行计算.
13．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝ AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝ AC＝2，
∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6.
故答案为6.
【分析】由作法得MN垂直平分AB，则CA＝CB＝4，PA＝PB，由CD＝AC可得CD的值，进而得到AD的值，然后根据PA+PD≤AD进行求解.
14．一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为 　 　.
【答案】
【解析】【解答】 共6个数字，其中小于3的数有2个
投掷一次，朝上的面的数字小于3的概率为 .
故答案为：
【分析】找出小于3的数字的个数，然后根据概率公式进行计算.
15．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BP，
∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴AP＋PC＝AP＋BP，
∴当AB与m的交点为P时，AP＋BP最小，
∴△APC的周长的最小值为AB＋AC＝8＋5＝13，
故答案为：13．
【分析】此题的关键轴对称，即Ｂ、Ｃ关于直线m对称。由于△APC中边AC长度固定，实质是求线段PA+PC的最小值，而PB=PC，显然当Ａ、B、Ｐ三点共线时，PB+PC有最小值。
16．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠A1BC=∠ABC，∠ACA1=∠A1CD=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
即∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC=∠ACD-∠ABC
∴，
同理可得，
，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】利用三角形外角关系，易推导出，同理得出，进而得出，总结出规律，得出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．
（1）如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；
（2）若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵CFBE，∴∠FCD﹦∠EBD．∵AD是BC边上的中线，∴．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．
（2）解：BFCE．理由如下：如图，连接BF，CE．
∵ CF⊥AD于F，BE⊥AD于E，∴CFBE．由（1）的结论可知△BDE≌△CDF，∴．∵AD是BC边上的中线，∴BD =CD．在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE．∴，∴BFCE．
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明△BDE≌△CDF即可；
（2）利用“SAS”证明△BDF≌△CDE，可得，再利用平行线的判定可得BF//CE。
18．如图，已知点在上，平分平分.
（1）试说明：；
（2）若，试判断与平行吗 为什么
【答案】（1）证明：∵AE平分∠BEF，CE平分∠DEF，
∴∠BEF=2∠2，∠DEF=2∠3，
∵∠BEF+∠DEF=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴AE⊥CE.
（2）解：AB与CD 平行.
理由：∵AE平分∠BEF，CE平分∠DEF，
∴∠BEF=2∠1，∠DEF=2∠4，
∵∠BEF+∠DEF=180°，
∴2∠1+2∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠1=∠A，∠4=∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C=180°；
∵∠1+∠A+∠4+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥CD.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠BEF=2∠2，∠DEF=2∠3；再利用平角的定义去证明∠2+∠3=90°，然后利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠BEF=2∠1，∠DEF=2∠4，由此可推出∠1+∠4=90°，结合已知条件可得到∠1+∠A+∠4+∠C=180°；然后利用三角形的内角和定理可推出∠B+∠D=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
19．一个小球在如图所示的方格地板上自由地滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同．
（1）该小球停留在黑色区域的概率是多少？
（2）甲，乙两人比赛，小球落到白色区域甲赢，落在黑色区域乙赢，你认为这个游戏公平吗？
【答案】（1）解：由图可知，黑色方砖有6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个地板中所占的比值∴该小球停留在黑色区域的概率是；
（2）解：我认为这个游戏不公平，理由如下：该小球停留在白色区域的概率是，所以P（白）（黑），∴这个游戏不公平．
【解析】【分析】（1）先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，再求概率即可；
（2）先求出 该小球停留在白色区域的概率是 ，再求解即可。
20．如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1．
（2）求出△OCC1的面积．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）解：△OCC1的面积4×3＝6．
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线OM对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可.
21．如图，直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线相交于点E，设∠ABC＝，∠ADC＝．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，探究∠BED与、之间的关系并加以证明：
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，（1）中关系是否依然成立？说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β．
（2）解：当点B在点A的右侧时，（1）中关系不成立，理由如下，
过点E作EF∥AB，如图，
则∠BEF+∠EBA=180°，
∴∠BEF=180°-∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．
【解析】【分析】（1） 过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠EBA，根据平行线的性质可EF∥CD，∠FED=∠EDC，则∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，由角平分线定义得∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，则∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β；
（2）过点E作EF∥AB，则∠BEF+∠EBA=180°，∠BEF=180°-∠EBA，根据平行线的性质可得EF∥CD，∠FED=∠EDC，则∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，由角平分线定义得∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，则∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β。
22．如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
【答案】（1）解：∵∠MON=50°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=25°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=25°；
（2）解：当∠BAD=∠ABD时，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=25°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=105°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=25°，
∴∠BAD=77.5°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=52.5°.
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠AOB=∠BON=25°，利用平行线的性质可得∠ABO=∠BON=25°；
（2） 分两种情况：当∠BAD=∠ABD时；当∠BAD=∠BDA时，分别求解即可.
23．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题.请你观察、思考并解决下列问题：
（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；
（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn，m+n＝7，m2+n2＝25，
∴72＝25+2mn，
∴mn＝12，
∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，mn＝12，m2+n2＝25，
∴ ＝25﹣2×12＝1，
又∵m＜n，
∴m﹣n＜0，
∴m﹣n＝﹣1；
（2）解：设BA＝xm，AD＝ym，
∵长方形ABCD的周长是160米，
∴2（x+y）＝160，
即x+y＝80，
又∵两块正方形的面积和为4000平方米，
∴x2+y2＝4000，
∴
答：长方形ABCD的面积为1200平方米.
【解析】【分析】（1）根据 (m+n)2＝m2+n2+2mn结合已知条件可得mn的值，然后根据(m-n)2＝m2+n2﹣2mn结合m（2）设BA＝xm，AD＝ym，则2(x+y)＝160，x2+y2＝4000，然后根据计算即可.
24．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
【答案】（1）解：EF∥GH，
理由：在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）解：，
理由：如图，作GM∥EF，
∵EF∥HK，
∴GM∥HK，
∵∠1＝∠2，∠1＝β，
∴∠2＝β，
∴∠FEG＝180°－2β，
∴∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，，
∴∠3＝180°－135°－∠2＝45°－β，
∴∠3＝∠CGH＝45°－β，
∴∠MGH＝180°－∠3－∠EGM－∠CGH＝180°－2（45°－β）－2β＝90°，
∵GM∥HK，
∴∠MGH＋∠GHK＝180°，
∴∠GHK＝90°，
∵∠GHC＝∠KHD，∠GHK＝180°－∠GHC－∠KHD＝90°，
∴∠GHC＝∠KHD＝45°，
∴∠BCD＝180°－∠CGH－∠CHG＝180°－（45°－β）－45°＝90°＋β，即．
【解析】【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3＋α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 ∠FEG＋∠EGH＝180° ，进而根据“同旁内角互补两直线平行”可得 EF∥GH ；
（2） 作GM∥EF ，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥HK ，结合已知条件和平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可证 ∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β ，利用△BEG内角和及已知条件可得 ∠3＝∠CGH＝45°－β ，进一步求出 ∠MGH＝90° ，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 .
25．如图，在四边形ABCD中，，点E在AD上，点F在BC上．
（1）尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规，在四边形内部找一点M，使得点M到AD，AB的距离相等，且；
（2）在（1）的条件下，延长AM交BC于点N，且，连接EF，求证：E，M，F三点共线．
【答案】（1）解：如图，作∠ABC的角平分线，作∠DAB的角平分线，
则两线的交点M即为所求．
（2）解：∵ AD∥BC，
∴∠EAM=∠FNM，
根据（1），得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，BM=BM，
∴△ABM≌△NBM，
∴AM=NM，
∵AE=NF，
∴△AEM≌△NFM，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°
∴∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，
∴E、M、F三点共线．
【解析】【分析】（1）分别作出∠BAD、∠ABC的平分线，两线的交点就是符合题意的点M；
（2）易得∠EAM=∠FNM，根据（1）得∠AMB=∠NMB=90°， ∠ABM=∠NBM，利用ASA证明△ABM≌△NBM，得到AM=NM，进而利用SAS证明△AEM≌△NFM，得到∠AME=∠NMF，根据平角的概念可得∠FMB+∠AMB+∠NMF=180°，则∠FMB+∠AMB+∠AME=180°，据此证明.
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