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北师大版2024—2025学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
3．若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点 绕点 顺时针旋转90°，得到的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
6．一个多边形每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，已知函数与图象都经过轴上的点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
9．如图，锐角按下列步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点；③连接FG、CG，作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．OG=OC B．
C．OF垂直平分CG D．OC=2FG
10．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为　 　．
12．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为　 　．
13．如果a＜b，那么﹣3a　 　﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．
14．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是　 　 （写序号）
15．某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为　 　．
16．不等式组的整数解只有2个，则a的取值范围是　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
18．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数）
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请求出总利润的最大值．
19．整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用．
例如：已知，求代数式：的值．
解：．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）已知：，求代数式的值；
（2）边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）直接写出：不等式的解集．
21．福建连江有很多独特的美食，如鱼丸、肉燕等，某商场计划购进一批鱼丸和肉燕，已知一袋鱼丸的价格比一袋肉燕的价格多5元，且用250元钱购进鱼丸的袋数与用200元钱购进肉燕的袋数相等．
（1）求鱼丸、肉燕每袋各多少元？
（2）因连江鱼丸更受人欢迎，为了满足客户需求，若商店要购进两种商品鱼丸、肉燕共100袋，且鱼丸袋数不少于肉燕袋数的两倍，假设购买鱼丸为t袋，总费用为W元，怎样进货才能使所花的总费用W最少？并求出W的最小值．
22．
（1）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
23．在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
24．在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 ，得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， .
（1）如图1，当点 恰好在 上时，求 的度数；
（2）如图2，点 是边 的中点，当 时，请证明 ， ， 三点共线.
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片 的边 ， 在 轴的正半轴上，点 与点 重合，点 坐标为 ，若把图形按如图所示折叠，使 、 两点重合，折痕为 ．
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）求折痕 的长．
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北师大版2024—2025学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：OA=4，OC=3，BC=5，
∴，
∴以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形.
故答案为：A.
【分析】根据数轴求得：OA=4，OC=3，BC=5，再根据勾股定理逆定理即可求解.
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
【答案】D
【解析】【解答】 把分式中的x和y都扩大3倍 ，则：
，
所以分式的值缩小了3倍；
故答案为：D。
【分析】根据分式的性质求出答案即可。
3．若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知：，解不等式组得：2≤m＜3.
故答案为：2≤m＜3.
【分析】根据图象的位置，可得出不等式组，解不等式组即可求得m的取值范围。
4．在平面直角坐标系中，点 绕点 顺时针旋转90°，得到的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，由图中可以看出点M′的坐标为（5，-2），
故答案为：B．
【分析】本题主要理解在平面直角坐标系中，点的坐标变化和旋转的关系
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【答案】A
【解析】【解答】解：∵有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，52+122=132，
∴三角形沙田为直角三角形，
∴面积为×5×500×12×500=7500000平方米=7.5平方千米.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理逆定理知三角形沙田为直角三角形，根据直角三角形的面积公式可得面积为(×5×500×12×500)平方米，计算即可.
6．一个多边形每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个多边形每一个外角都等于30°，多边形外角和360°，
∴多边形的边数为.
故答案为：B.
【分析】由多边形的外角和等于360°可得这个多边形外角和360°，结合已知用360°÷30°可求得多边形的边数.
7．如图，已知函数与图象都经过轴上的点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：令y1=-2x+3中的y1=0，得x=，
∴A（，0）.
由图象可得：-2x+3>kx+b的解集为x<.
故答案为：A.
【分析】令y1=-2x+3中的y1=0，求出x的值，得到点A的坐标，然后结合图象就可得到不等式的解集.
8．下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、如图，四边形ABCD中，E、F、C、D分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，求证四边形EFGH是平行四边形，
连接BD，
∵E、H是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH=BD，
∵F、G是BC、CD的中点，
∴FG∥BD，且FG=BD，
∴FG=EH，且FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项说法正确，是真命题；
B、根据全等三角形的判定定理HL"可得B选项说法正确，是真命题；
C、根据等腰三角形的三线合一"等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的角平分线”互相重合，故C选项的说法错误，是假命题；
D、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠B=∠D，求证四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项说法正确，是真命题.
故答案为：C.
【分析】A、画出示意图，由三角形中位线定理可得FG=EH，且FG∥BD，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断此选项；
B、根据全等三角形的判定定理"HL"可判断此选项；
C、根据等腰三角形底边上的三线合一可判断此选项；
D、画出示意图，由平行线的性质及等量代换可得∠D+∠C=180°，再由平行线的判定方法可得AD∥BC，进而根据两对边分别平行的四边形是平行四边形可判断此选项
9．如图，锐角按下列步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点；③连接FG、CG，作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．OG=OC B．
C．OF垂直平分CG D．OC=2FG
【答案】D
【解析】【解答】解：由作法得OC=OF=OG，FG=FC，∴OF垂直平分CG，A、C选项的结论正确，不符合题意；
∵OC=OG，OF=OF，CF=GF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠OCF=∠OGF，B选项正确，不符合题意；
不能证出OC=2CF，由于CF=FG，∴也不能证出OC=2FG，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，据此可直接判断A选项；根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点O、F都在线段CG的垂直平分线上，进而根据过两点有且只有一条直线可得OF是CG的垂直平分线，据此可判断C选项；用SSS判断出△OCF≌△OGF，由全等三角形的对应角相等得∠OCF=∠OGF，据此可判断B选项；不能证出OC=2CF，由于CF=FG，故也不能证出OC=2FG，据此判断D选项
10．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝ ，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝ ，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为　 　．
【答案】30°或30度
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴6∠B＝180°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出AD∥BC，再求出∠A＝150°，最后计算求解即可。
12．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵直线y=mx-6m经过定点B（6，0），A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），
∴CD∥AB，CD=8-2=6= AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC= S△ADC=S平行四边形ABCD，
又∵直线y=mx-6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m-6m=3或5m-6m=6，
∴m=-或-6，
故答案为：-或-6．
【分析】由题意直线y=mx-6m经过定点B（6，0），又一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），利用待定系数法即可解决问题．
13．如果a＜b，那么﹣3a　 　﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．
【答案】＞
【解析】【解答】解：在不等式a＜b的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，所以﹣3a＞﹣3b．
故答案是：＞．
【分析】根据不等式的性质分析．
14．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是　 　 （写序号）
【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC=BE+AE=AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B=90°，
∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断①正确，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，判断②正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断④正确；根据同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判断⑤正确，并得到③错误．
15．某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修1.5x米，
可得：
故答案为：
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可．
16．不等式组的整数解只有2个，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由x-a<0，得x由5-2x<1，得：x>2，
∵不等式组的整数解只有2个，
∴不等式组的整数解为3、4，
∴，
故答案为：.
【分析】分别求出不等式x-a<0与5-2x<1的解集，结合不等式组整数解的个数可得a的范围.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得BO=OD，OA=OC，结合，，可得OF=OE，根据对角线互相平分即证四边形是平行四边形；
（2）先求出OE=6，再利用平行四边形的性质可得BE=DF=8，然后利用勾股定理求出OB=10，由BD=2OB即得结论.
18．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数）
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请求出总利润的最大值．
【答案】（1）解：由题意得：，
∵工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴总利润的最大值为22万元．
【解析】【分析】（1） 设生产A产品x件，则B产品（10-x）件，设总利润为y万元，由表格可知，A产品每件利润1万元，B产品每件利润3万元，可得y=x+3（10-x），整理为y=-2x+30；由表格可知，A产品每件成本2万元，B产品每件利润5万元，根据工厂计划投入资金成本不超过38万元，可得2x+5（10-x）≤38①，根据总利润不少于16万元，可得：-2x+30≥16②，联合①②组成不等式组，可求得自变量的取值范围；
（2）y=-2x+30，因为-2小于0，根据函数的性质，当x取最小值时，函数值最大，由（1）知4≤x≤7可知：当x=4时，函数y的值最大，求出此时的函数值即可。
19．整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用．
例如：已知，求代数式：的值．
解：．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）已知：，求代数式的值；
（2）边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】 （1）仿照题干的方法，先进行分解因式，再利用整体的思想，把、代入式子进行运算；
（2）根据长方形的周长为16，面积为15，列方程解得a和b的值，将a和b的值代入中计算即可．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）直接写出：不等式的解集．
【答案】（1）解：根据题意，得
解得
∴点P的坐标是（2，-2）.
（2）解：x＜2
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 得 ，再解方程组求解即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
21．福建连江有很多独特的美食，如鱼丸、肉燕等，某商场计划购进一批鱼丸和肉燕，已知一袋鱼丸的价格比一袋肉燕的价格多5元，且用250元钱购进鱼丸的袋数与用200元钱购进肉燕的袋数相等．
（1）求鱼丸、肉燕每袋各多少元？
（2）因连江鱼丸更受人欢迎，为了满足客户需求，若商店要购进两种商品鱼丸、肉燕共100袋，且鱼丸袋数不少于肉燕袋数的两倍，假设购买鱼丸为t袋，总费用为W元，怎样进货才能使所花的总费用W最少？并求出W的最小值．
【答案】（1）解：设每袋肉燕x元，则每袋鱼丸元．
依题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
∴（元）．
答：鱼丸每袋25元、肉燕每袋20元．
（2）解：依题意，购买肉燕袋
，整理得，
根据题意，得，解得，
∵，所以W随t的增大而增大，
∴t取最小值时，W的值最小．
又∵t是整数，所以当时，W的最小值为（元），
∴
答：购买67袋鱼丸，33袋肉燕，总费用最小，且最小值为2335元．
【解析】【分析】（1）根据题干：已知一袋鱼丸的价格比一袋肉燕的价格多5元，且用250元钱购进鱼丸的袋数与用200元钱购进肉燕的袋数相等 ，列出分式方程：，求解即可；
（2）根据题干：商店要购进两种商品鱼丸、肉燕共100袋，且鱼丸袋数不少于肉燕袋数的两倍，列出不等式：，得到t的取值范围；根据总花费=每一袋花费 袋数，列出一次函数：，再根据一次函数的比例系数，判断W随t的变化怎么变化，取满足题意的t，求值即可.
22．
（1）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：解不等式①，得；
解不等式②，得．
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下：
原不等式组的解集为：
（2）解：方程两边都乘以得，，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验：是原方程的增根，原方程无解．
【解析】【分析】（1）先分别解两个不等式，然后再根据：”同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了“求出公共解，最后再在数轴上面表示出来即可；
（2）本题的最简公分母是（x-2），方程两边都乘最简公分母，将分式方程转化成整式方程，最后注意检验结果，求解即可.
23．在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且，
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得 ，
又由（1）知，，且，
∴，
∴在中，， ， ，
∴由勾股定理得.
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求出AD∥EF，EF=AB，再结合已知条件求出EF=AD，即可判断四边形AFED为平行四边形，从而证明AF与DE互相平分；
（2）根据勾股定理求出AC的长度，结合四边形AEFD是平行四边形即可求出OA长度，最后利用勾股定理和已知条件即可求出DO长度.
24．在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 ，得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， .
（1）如图1，当点 恰好在 上时，求 的度数；
（2）如图2，点 是边 的中点，当 时，请证明 ， ， 三点共线.
【答案】（1）解：如图1，
由旋转性质，得
AB=AD，∠EAD=∠CAB=45°，∠DEA=∠BCA=90°，
∴ ，
∴
（2）证明：如图2，
由旋转性质，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ (SAS)，
∴ ，
∵AC=BC，∠ACB=90°， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ， ， 三点共线
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到AB=AD，∠EAD=∠CAB=45°，∠DEA=∠BCA=90°，再结合题意即可求解；
（2）由旋转的性质得到 ， ，结合题意根据三角形全等的判定即可得到 (SAS)，进而得到 ，再根据扥腰三角形的性质证明即可求解.
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片 的边 ， 在 轴的正半轴上，点 与点 重合，点 坐标为 ，若把图形按如图所示折叠，使 、 两点重合，折痕为 ．
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）求折痕 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF＝∠OFE，
由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∴△DEF是等腰三角形
（2）解：设BE＝OE＝x，则AE＝8 x，
在Rt△AEO中，AE2＋OA2＝OE2，
∴（8 x）2＋42＝x2，解得：x＝5，
∴OF＝OE＝5，AE＝CF =8-5=3，
∴E（3，4），F（5，0），
∴EF＝
【解析】
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF＝∠OFE，
由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∴△DEF是等腰三角形
(2)解：设BE＝OE＝x，则AE＝8 x，
在Rt△AEO中，AE2＋OA2＝OE2，
∴（8 x）2＋42＝x2，解得：x＝5，
∴OF＝OE＝5，AE＝CF =8-5=3，
∴E（3，4），F（5，0），
∴EF＝
【分析】（1）角平分线+平行线=等腰三角形，EF为折痕，即为角平分线，AB∥OC
（2）设OE为x，在 EAO中运用勾股定理求出x，之后可以得到E、F两点坐标，即可求出线段EF的长度
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