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【决战期末·50道综合题专练】北师大版七年级下册期末数学试卷
1．如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长.
2．家里装修时都会设置空气断路器，又叫空气开关，能对短路、严重过载进行保护，一旦家里发生短路，空气开关会自动跳闸，从而保护我们的人身安全．如图，小颖家客厅里装有三个空气开关，分别控制着（客厅）、（卧室和卫生间）、（厨房）三条线路的用电，拉下任意一个空气开关均可断开对应的一条线路的用电，现在由于客厅线路维修，需要拉下与客厅线路相对应的空气开关，但是小颖不知道哪个空气开关是控制客厅线路的．
（1）若小颖任意拉下一个空气开关，则小颖断开客厅线路的概率是多少？
（2）若任意拉下一个空气开关后，再拉下另外两个空气开关中的任意一个，则恰好客厅和厨房断电的概率是多少？请用画树状图法或列表法加以说明．
3．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．
（1）用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积．
（2）在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）．
4．如图，在中，平分，平分，于点.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积.
5．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，．
（1）填空：　 　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数；
（3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
6．2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕.为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动.学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.
7．阅读解答：
（1）填空：21-20=2（　 　），22-21=2（　 　），23-22=2（　 　），…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式.
（3）计算：20+21+22+23+24+…+21000
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．
（1）求AB长；
（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；
（3）t为何值时，△APM为直角三角形？
9．今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是　 　事件，“小悦被抽中”是　 　事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
10．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
11．如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
　
　
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
12．为了解全校学生上学的交通方式，我校九年级（21）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，其中“步行”的人数是　 　人；
（2）在扇形统计图中，“乘公交车”的人数所占的百分比是　 　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　 　；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
13．有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
14．如图， 为半圆O的直径，且 为半圆上的一点， ．
（1）请用尺规作图在 上作一点D，使得 ；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的面积．
15．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别.
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率.
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率.（要求列表或画树状图说明）
16．某校举行“教师基本功和课堂教学”竞赛，共有甲、乙、丙、丁、戊5位教师报名参加，需从中选取两名成绩最优者参加市级决赛.他们的竞赛成绩分别为：79，85，92， ，89，且平均分为86.
（1）请通过计算帮助学校确定应派哪两名优胜者去参加市级决赛；
（2）参加市级决赛的规则是：课堂教学内容由参赛教师抽签确定，每位老师从3个分别标有 ， ， 内容的签中，随机抽出一个作为自己课堂教学比赛的内容.请你用树状图或列表法求出该校两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率.
17．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
18．如图，小华和小丽两人玩游戏，她们准备了A、B两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘．游戏规则：小华转动A盘、小丽转动B盘．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6，小华获胜．指针所指区域内的数字之和大于6，小丽获胜．
（1）用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．
19．如图， 垂足为 在一条直线上， ．
（1）求证 ；
（2）判断并说明 和 的关系．
20．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　CF，EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　 　，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
21．一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为 ．
（1）求纸盒中黑色棋子的个数；
（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．
22．综合实践：
某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达 的点 ，再连接 ，并分别延长 至 至 ，使 ，最后测出 的长即为 的距离．
乙：如图②，先过点 作 的垂线 ，再在 上取 两点，使 ，接着过点 作 的垂线 交 的延长线于点 ，则测出 的长即为 的距离．
丙：如图③，过点 作 ，再由点 观测，在 的延长线上取一点 ，使 ，这时只要测出 的长即为 的距离．
（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有　 　；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
23．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点B、D在线段AE上，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，
试说明：
（1）∠C=∠F；
（2）AC∥DF．
24．黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t（小时），A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？
（3）表示B等级的扇形圆心角α的度数是多少？
（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
25．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场.
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.
26．老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
第一次
第二次
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
27．
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　．方法2：　 　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　．
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=10，ab=24，求阴影部分的面积．
28．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
29．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
30．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.
（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE，请说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
（3）归纳(1)、(2)，请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
31．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 73 113 154 370 604 751
摸到黑球的频率 0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751
（1）请估计；当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有　 　只；
（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率.
32．如图，在中，
（1）当时，求的度数；
（2）当的度数变化时，的度数是否变化？如不变，求的度数.
33．如图，
（1）由点A到河边I的最短路线的依据是　 　；
（2）如果要从A点经过B再到河边I，要使路程最短，在图中画出行走路线．
34．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1：　 　；方法2：　 　；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　 　．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
35．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
（1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝ ，BC＝ ；
（2）在△ABC中，AB边上的高为　 　．
36．如图所示，点M是线段 上—点， 是过点M的一条直线，连接 、 ，过点B作 交 于F，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， ，求证： ．
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
38．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是　 　，摸到黑球的概率是　 　；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
39．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 18 20 22 24 26 28 …
（1）不挂物体时，弹簧的长度为　 　；
（2）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？
40．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有　 　只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值.
41．
（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为　 　；
（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：∠GEF= ▲ .
证明：过点 E 作 EH∥AB，
∴∠FEH=∠BFE（ ），
∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）
∴EH∥CD（ ），
∴∠HEG=180°-∠CGE（ ），
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH= ▲ .
（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论．
42．已知直线分别交直线于点，且
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点分别在射线上，点分别在射线上，连接，且，分别延长交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接平分，且平分，若，直接写出的度数．
43．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过点O作射线OE，使，作的平分线OD，求和的度数；
（3）在（2）的条件下，请过点O作射线OP，使与互余，并求出的度数．
44．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．
（1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是.
（2）如图2，
若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数系．
45．
（1）猜想：如图1，已知：在 中， ， ，直线m经过点A， 直线m， 直线m，垂足分别为点D、E试猜想 、 、 有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，A、E三点都在直线m上，并且有 （其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段 的长度始终为n，连接 、 ，若 ，试判断 的形状，并说明理由．
46．问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点 ，点 叫做该多边形的内心，点 到其中一边的距离叫做 .
问题解决：如图1，在面积为 的 中， ， ， ，内心 到边 的距离为 ，试说明 .
类比推理：如图2，存在内心 的四边形 面积为 ，周长为 ，用含有 与 的式子表示内心 到边 的距离 ▲ ；
理解应用：如图3，在四边形 中， ， ， ， ，对角线 ，点 与 分别为 与 的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为 和 ，求 的值.
47．如图
（1）如图1，要使 ， 、 、 应满足的数量关系是　 　.
（2） ，直线MN分别与AB、CD交于点M、N，平面内一点P满足 ，
①如图2，若 于点P，判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ， ，求 用含 的式子表示 .
48．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点平分交于点，且．
（1）求证：；
（2）点是射线上一动点（不与点重合），连接平分交于点，过点作于点，，．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②点G在运动过程中，探究和两者之间的数量关系，并说明理由．
49．已知：在 中， ，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 .
（1）如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
（2）如图2，若 ，点 是线段 延长线上一点，连接 与 交于点 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，过点 作 交 于点 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 、 、 的关系.
50．如图，在 中， ，点D在 上，又在 的垂直平分线l上，点E在 的延长线上，点F在 上， .
（1）试说明： .
（2）若 平分 ，求 的度数.
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【决战期末·50道综合题专练】北师大版七年级下册期末数学试卷
1．如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长.
【答案】（1）解：S△ABC＝ AB·CE＝ ×12×9＝54.
（2）解：因为S△ABC＝ BC·AD，
所以 ×10×BC＝54.
所以BC＝ .
【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式计算；
(2)由S△ABC＝ AB·CE＝ BC·AD建立方程即可求解.
2．家里装修时都会设置空气断路器，又叫空气开关，能对短路、严重过载进行保护，一旦家里发生短路，空气开关会自动跳闸，从而保护我们的人身安全．如图，小颖家客厅里装有三个空气开关，分别控制着（客厅）、（卧室和卫生间）、（厨房）三条线路的用电，拉下任意一个空气开关均可断开对应的一条线路的用电，现在由于客厅线路维修，需要拉下与客厅线路相对应的空气开关，但是小颖不知道哪个空气开关是控制客厅线路的．
（1）若小颖任意拉下一个空气开关，则小颖断开客厅线路的概率是多少？
（2）若任意拉下一个空气开关后，再拉下另外两个空气开关中的任意一个，则恰好客厅和厨房断电的概率是多少？请用画树状图法或列表法加以说明．
【答案】（1）
（2）
3．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．
（1）用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积．
（2）在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）．
【答案】（1）；平方米
（2）制作整个造型的造价为元．
4．如图，在中，平分，平分，于点.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：∵平分，平分
∴，
∵，
∴，
∴在中，
（2）解：过点作于点
∵平分
∴
∵，∴
∵，∴
【解析】【分析】（1）因为CD平分∠ACB，BD平分∠ABC，题中给出了∠ACB，∠ABC的度数，可算出∠DBC和∠DCB，则可直接用180°减去∠DBC与∠DCB。
（2）通过作辅助线，可证明，可得DF=DE，最后通过三角形的面积公式即可求解。
5．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，．
（1）填空：　 　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数；
（3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
6．2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕.为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动.学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.
【答案】（1）50
（2）解：C等级人数为（名）
补全图形如下：
（3）解：画树状图为：
由图可知，共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有2种，所以恰好选中甲、乙两名同学的概率为.
【解析】【解答】解：（1）本次共调查学生＝50（名），
故答案为：50；
【分析】（1）利用B等级人数除以其百分比，即得调查总人数；
（2）根据四个等级人数和等于调查总人数，可求出C等级人数，再补图即可；
（3）利用树状图列举出共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有2种，然后利用概率公式计算即可.
7．阅读解答：
（1）填空：21-20=2（　 　），22-21=2（　 　），23-22=2（　 　），…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式.
（3）计算：20+21+22+23+24+…+21000
【答案】（1）0；1；2
（2）解：根据（1）问中算式的规律，
可得到24-23=23，25-24=24，
……，
所以第n个等式为2n－2n-1＝2n-1；
（3）解：根据（1）问和（2）问的暗示，可得到下列等式：
21-20=20，
22-21=21，
23-22=22，
……，
21000-2999=2999，
21001-21000=21000，
将以上等式左边相加，右边相加，得到：
21001-1=20+21+22+23+24+…+21000，
即20+21+22+23+24+…+21000=21001-1，
所以答案为21001-1.
【解析】【解答】解：（1）计算左边的算式，结果分别为1，2，4，依次为20，21，22，所以填空的结果依次为0，1，2.
【分析】（1）根据有理数的乘方法则以及减法法则计算出左边的式子，据此解答；
（2）根据（1）中的算式不难写出第n个等式；
（3）易得21-20=20，22-21=21，……，21000-2999=2999，21001-21000=21000，将以上等式左边相加，右边相加，然后化简即可.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．
（1）求AB长；
（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；
（3）t为何值时，△APM为直角三角形？
【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），
∴AO=10，BD=8，AD=6，
由勾股定理可求得：AB=10
（2）解：∵AB=10，
∴10÷2=5，
∵0≤t≤5，
∴点M在AB上，
作ME⊥OA于E，
∴△AEM∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∴ME= t，
∴S= PA ME= （10﹣t） =﹣ =﹣ （t﹣5）2+20，
∵0≤t≤5，
∴t=5时，S取最大值，此时PA=10﹣t=5，
即：点P在OA的中点处
（3）解：由题意可知：0≤t≤7，
当点P是直角顶点时，
∴PM⊥AP，
∴PA=10﹣t，
若0≤t≤5时，点M在AB上，如图2，
此时AM=2t，
∵cos∠BAO= ，
∴ = ，
∴
∴t= ，
若5＜t≤7时，点M在BC上，如图3，
∴CM=14﹣2t，OP=t，
∴OP=CM，
∴t=14﹣2t，
∴t= ，
当点A是直角顶点时，
此时，∠MAP不可能为90°，此情况不符合题意；
当点M是直角顶点时，
若0≤t≤5时，M在AB上，如图4，
此时，AM=2t，AP=10﹣t
∵cos∠BAO= ，
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
若5＜t≤7时，点M在BC上，如图5，
过点M作ME⊥x轴于点E，
此时，CM=14﹣2t，OP=t，
∴ME=8，PE=CM﹣OP=14﹣3t，
∴EA=10﹣（14﹣2t）=2t﹣4，
∵∠PMA=∠MEA=90°，
∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，
∴∠PME=∠MAP，
∴△PME∽△MAE，
∴ ，
∴ME2=PE EA，
∴64=（14﹣3t）（2t﹣4），
∴3t2﹣8t+60=0，
△=﹣656＜0，故此情况不存在；
综上所述，t= 或 ；
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，利用勾股定理求出AB的长度；（2）先判断出点M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面积公式即可；（3）△APM为直角三角形时，由于没有规定哪个顶点是直角顶点，所以分三种情况进行讨论；利用锐角三角函数或相似三角形的性质即可．
9．今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是　 　事件，“小悦被抽中”是　 　事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
【答案】（1）不可能；随机；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，
所以“小惠被抽中”的概率是： .
【解析】【解答】解：（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中”是随机事件，
第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为 ，
故答案为：不可能， 随机， ；
【分析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.
10．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
【答案】（1）解：如图，直线DE为线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=70°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB.
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=70°- 40°=30°．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可补全图形；
（2）根据线段垂直平分线的旋转即可求∠DBC的度数。
11．如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
　
　
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
【答案】（1）解：前8次的指针所指数字的平均数为
（2）解：∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为 .
【解析】【分析】（1）利用前8次的数字和除以8即得；
（2）根据“ 这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5 ”可得后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7， 利用树状图列举出由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果， 然后利用概率公式计算即可.
12．为了解全校学生上学的交通方式，我校九年级（21）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，其中“步行”的人数是　 　人；
（2）在扇形统计图中，“乘公交车”的人数所占的百分比是　 　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　 　；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）300；88
（2）42%；24°
（3）解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率= =
【解析】【解答】解：（1）本次接受调查的总人数为54÷18%=300（人），“步行”的人数=300-54-126-12-20=88（人）；
（ 2 ）“乘公交车”的人数所占的百分比是= =42%；扇形统计图中“其他方式”所在扇形的圆心角度数为 ×360°=24°；
【分析】（1）根据百分数=小组人数样本容量可求得接受调查的总人数；则“步行的人数”=调查的总人数-其余各组的人数；
（2）百分数=小组人数样本容量可求得“乘公交车”的人数的百分比；根据圆心角的度数=“其他方式”的百分数X360可求得“其他方式”的圆心角的度数；
（3）由题意可画出树状图，由树状图的信息可知共有20种等可能的结果，其中选出一男一女的结果有12次，则选出一男一女的概率可求解。
13．有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）400；54°
（2）解：画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种， 所以恰好选出1名男生和1名女生的概率= =
【解析】【解答】解：（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人），
扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为 ×360°=54°，
乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人），
补全条形统计图为：
【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可知：乘公交车的人数是160人，乘公交车的人数所占的百分比是40%，用乘公交车的人数除以其所占的百分比即可算出本次接受调查的总人数；用360°乘以骑自行车的人数所占的百分比即可算出扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数；用本次调查的总人数分别减去骑自行车的人数，乘公交车的人数，步行的人数即可算出乘私家车的人数，根据计算的人数补全条形统计图即可；
（2）根据题意画出树状图，由图可知： 共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，根据概率公式即可求出恰好选出1名男生和1名女生的概率 。
14．如图， 为半圆O的直径，且 为半圆上的一点， ．
（1）请用尺规作图在 上作一点D，使得 ；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的面积．
【答案】（1）如图，作法如下：
延长 ，在 的延长线上截取 ，使得 ；
分别以点E，B为圆心，大于 画弧，作BE的中垂线，中垂线与BE的交点即为所求的D点．
（2）连接 ．
，
∴OD为△ABE的中位线，
∴ ，
是直径，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）延长BC，在BC的延长线上截取CE，使得CE=AC，作线段BE的垂直平分线垂足为D，点D即为所求作；
（2）解直角三角形求出AC，BC，可得结论。
15．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别.
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率.
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率.（要求列表或画树状图说明）
【答案】（1）解：根据题意，上面的数字恰好是“3”的概率为：，
即所求概率为；
（2）解：利用树状图列举法：
如图
两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为：.
【解析】【分析】（1）利用写有3的球的个数除以球的总数即可求出相应的概率；
（2）画出树状图，找出总情况数以及两次之和为“3”的情况数，然后根据概率公式进行计算.
16．某校举行“教师基本功和课堂教学”竞赛，共有甲、乙、丙、丁、戊5位教师报名参加，需从中选取两名成绩最优者参加市级决赛.他们的竞赛成绩分别为：79，85，92， ，89，且平均分为86.
（1）请通过计算帮助学校确定应派哪两名优胜者去参加市级决赛；
（2）参加市级决赛的规则是：课堂教学内容由参赛教师抽签确定，每位老师从3个分别标有 ， ， 内容的签中，随机抽出一个作为自己课堂教学比赛的内容.请你用树状图或列表法求出该校两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率.
【答案】（1）解：∵5位教师的竞赛成绩分别为：79，85，92，x，89，且平均分为86，
∴ （79+85+92+x+89）＝86，
解得：x＝85，
∴甲、乙、丙、丁、戊5位教师的竞赛成绩分别为：79，85，92，85，89
∴应派丙、戊两名优胜者去参加市级决赛；
（2）解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的结果有3种，
∴两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率为 .
【解析】【分析】（1）根据平均数=这组数据的总和除以数据的个数建立方程，求出x的值，然后找出成绩位于前两位的即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的情况数，然后利用概率公式进行计算.
17．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
【答案】（1）解：作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）解：作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【解析】【分析】（1） 作
，根据角平分线的定义得出
，
， 根据平行线的性质可得
，
， 代入
求出即可；
（2）分为三种情况：点E在AB、CD之间， 作
，根据角平分线的定义得出
，
， 根据平行线的性质可得
，
， 代入
求出即可；点E在AB之上，根据角平分线的定义得出
，
，根据平行线的性质可得
，由
可得
，点E在CD之下，根据角平分线的定义得出 ，
，
，根据平行线的性质可得
， 由
，
可得
， 综上所述可得
的度数。
18．如图，小华和小丽两人玩游戏，她们准备了A、B两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘．游戏规则：小华转动A盘、小丽转动B盘．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6，小华获胜．指针所指区域内的数字之和大于6，小丽获胜．
（1）用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
B和A 3 4 5 6
0 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
∵共有12种等可能的结果，小华获胜的有6种情况、小丽获胜的有3情况，
∴P（小华获胜）= = ，P（小丽获胜）= =
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，
∵P（小华获胜）＞P（小丽获胜），
∴游戏规则对双方不公平
【解析】【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小华、小丽获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）比较小华、小丽获胜的概率的大小，即可知这个游戏规则对双方公平．
19．如图， 垂足为 在一条直线上， ．
（1）求证 ；
（2）判断并说明 和 的关系．
【答案】（1）证： ，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，
延长 交 于H，
，
， ，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明 ；（2）延长 交 于 ，根据 得出 ， ，再根据余角的性质可得 ，即 .
20．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　CF，EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　 　，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
【答案】（1）=；=
（2）∠α+∠BCA＝180°
【解析】【解答】（1）在图1中，
∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，
故答案为＝，＝.
（ 2 ）∠BCA=180°-∠α
在图2中，
∵∠DFA=180°-∠α=∠BCA，
∴∠BCE+∠ACF＝180°-∠α，
∵∠ACF+∠CAF＝180°-∠α，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
【分析】（1）根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.（2）证明和（1）类似，根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
21．一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为 ．
（1）求纸盒中黑色棋子的个数；
（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．
【答案】（1）解：3÷ ﹣3=1．
答：黑色棋子有1个；
（2）解：共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，
所以概率为 ．
【解析】【分析】（1）白色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去白色棋子的个数即为黑色棋子的个数；（2）列举出所有情况，看两次摸到相同颜色棋子的情况数占总情况数的多少即可．
22．综合实践：
某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达 的点 ，再连接 ，并分别延长 至 至 ，使 ，最后测出 的长即为 的距离．
乙：如图②，先过点 作 的垂线 ，再在 上取 两点，使 ，接着过点 作 的垂线 交 的延长线于点 ，则测出 的长即为 的距离．
丙：如图③，过点 作 ，再由点 观测，在 的延长线上取一点 ，使 ，这时只要测出 的长即为 的距离．
（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有　 　；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙、丙
（2）解：选甲（答案不唯一），理由如下：
在 和 中，
；
选乙：
在 和 中，
；
选丙：在 和 中，
．
【解析】【分析】（1）根据图形及所给方案进行判断即可；
（2）利用SAS和ASA证明三角形全等，进行作答即可。
23．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点B、D在线段AE上，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，
试说明：
（1）∠C=∠F；
（2）AC∥DF．
【答案】（1）解：∵AD=BE(已知)
∴AD+DB=DB+BE(等式的性质)
即AB=DE
∵BC∥EF(已知)
∴∠ABC=∠E(两直线平行，同位角相等)
又∵BC=EF(已知)
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴∠C=∠F，∠A=∠FDE(全等三角形的对应角相等)
（2）解：∵∠A=∠FDE，
∴AC∥DF(同位角相等，两直线平行)
【解析】【分析】（1）由等式的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定和性质即可得出结果；
（2）由同位角相等，即可得出结论．
24．黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t（小时），A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？
（3）表示B等级的扇形圆心角α的度数是多少？
（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
【答案】（1）解：共调查的中学生数是：60÷30%=200（人），
C类的人数是：200﹣60﹣30﹣70=40（人），
如图1：
（2）解：本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内
（3）解：根据题意得：α= ×360°=54°
（4）解：设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3，
一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，
∴P（2人来自不同班级）= =
【解析】【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数；求出C的人数从而补全统计图；（2）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；（3）用B的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角α的度数；（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．
25．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场.
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.
【答案】（1）解：∵确定小亮同学打第一场，
∴再从小莹、小芳和小刚中随机选取一人打第一场，恰好选中小刚同学的概率为
（2）解：画树状图如下：
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与小刚不同的结果有2个，
则小莹和小芳打第一场的概率为 .
【解析】【分析】（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中小刚的概率即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率.
26．老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
第一次
第二次
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
【答案】（1）解：补全小明同学所画的树状图：
（2）解：共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况．
小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：
【解析】【分析】（1）根据题意可得此实验是放回实验，据此补图即可.
（2）由树状图可知共有9种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种 ，然后直接利用概率公式计算即得.
27．
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　．方法2：　 　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　．
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=10，ab=24，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
，
∵，，
．
【解析】【解答】（1）由题意可得：
方法1：
， 方法2：
，
故答案为：
，
；
（2）
，
故答案为：
；
【分析】（1）由图可知：
，
；
（2）由图易知：
；
（3）由图可知：
，列式进行化简，利用（1）的结果进行计算。
28．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
【答案】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为： =
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为： =
（3）解：∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ，
∴P（甲胜）=P（乙胜），
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平
【解析】【分析】（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案；（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．
29．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
【答案】（1）AB∥CD；
理由：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝∠EBC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠ABC＝130°，∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝130°﹣90°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝40°．
【解析】【分析】（1）先证明AD//BC，可得∠ADE＝∠C，再结合∠A＝∠C，可得∠ADE＝∠A，从而可得AB//CD；
（2）先利用角的运算可得∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝130°﹣90°＝40°，再结合AB//CD，可得∠BEC＝∠ABE＝40°。
30．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.
（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE，请说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
（3）归纳(1)、(2)，请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
【答案】（1）证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中
∵
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）解：BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：
证明：在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE；
（3）解：当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
【解析】【分析】（1）由BD垂直于AE，得到三角形ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由∠BAC=90°，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AB=AC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=AD+DE，等量代换即可得证；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：同（1）得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=DE-AD等量代换即可得证；（3）由（1）（2）总结得到当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
31．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 73 113 154 370 604 751
摸到黑球的频率 0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751
（1）请估计；当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有　 　只；
（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率.
【答案】（1）0.75；3
（2）解：由题意，将这4个球中3白1黑，两次摸球的所有可能的结果有16种，如下表所示：
它们每一种结果出现的可能性相等，
从表中看出，两次摸出的球都是黑的结果有1种，
故两次摸出的球都是黑的概率为 .
【解析】【解答】（1）统计表中第三行的数据分别为：
0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751
因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，
白球的概率为0.75，设口袋中白球个数为x个，
则 ，解得 ，即口袋中白球个数为3个，
故答案为：0.75；3；
【分析】 (1) 看表格数据可知当n很大时，频率越来越接近0.75，根据频率估计摸到白球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可；
(2)根据题意，画出树状图表示出所有等可能出现的结果数，再找出两次摸出的球都是黑球的结果数，再计算概率即可.
32．如图，在中，
（1）当时，求的度数；
（2）当的度数变化时，的度数是否变化？如不变，求的度数.
【答案】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
当 的度数变化时， 的度数不变化， .
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可先求出∠AMC=75°，再求出∠CNB的度数，然后利用三角内角和即可求解；
（2）由等腰三角形及三角形内角和可得 ， 利用三角形内角和可得 .
33．如图，
（1）由点A到河边I的最短路线的依据是　 　；
（2）如果要从A点经过B再到河边I，要使路程最短，在图中画出行走路线．
【答案】（1）垂线段最短
（2）
【解析】【解答】（1）由点A到河边l的最短路线的依据是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
【分析】（1）利用点到直线的距离垂线段最短，进而得出答案；
（2）利用要从A经过B再到河边l，利用两点之间线段最短，以及点到直线出线段最短，进而得出答案。
34．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1：　 　；方法2：　 　；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　 　．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：由题意得，（a+b）2=a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，
∴ab==12；
（3）解：由题意得图3中阴影部分的面积为：==，
∴当a+b=8，ab=15时，
图3中阴影部分的面积为：．
【解析】【解答】解：(1)用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由题意得出（a+b）2=a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，两个等式作差即可求得答案；
（3）由题意得出==，从而得出答案。
35．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
（1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝ ，BC＝ ；
（2）在△ABC中，AB边上的高为　 　．
【答案】（1）解：△ABC如图所示．
（2）
【解析】【解答】解：设CD⊥AB，
∵S△ABC= AB CD=4- ×2×1- ×2×1- ×1×1，
∴CD= ，
故答案为 ．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可。
36．如图所示，点M是线段 上—点， 是过点M的一条直线，连接 、 ，过点B作 交 于F，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1）解：∵
∴
在 和 中，
∴
∴BF=AE=5；
（2）证明：∵ ，
∴
∴
又
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再利用“ASA”证明，即可得到BF=AE=5；
（2）根据得到，再证明得到，最后利用线段的和差计算即可。
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）解：∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，求出角C，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据等腰三角形的性质得出∠CAD＝∠C＝40°，即可得出答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可。
38．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是　 　，摸到黑球的概率是　 　；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.60
（2）0.60；0.40
（3）解:因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是30×0.6=18个，
黑球是30×0.4=12个
【解析】【解答】答：（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
39．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 18 20 22 24 26 28 …
（1）不挂物体时，弹簧的长度为　 　；
（2）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？
【答案】（1）18
（2）解：不挂物体时，弹簧的长度为 ，所挂物体的质量每增加 ，弹簧的长度增加 ，
∴ ，
∴当 时， ，
即当所挂物体的质量为 时，弹簧的长度为 ．
【解析】【解答】解：（1）不挂物体，物体的质量为0kg，对应的弹簧的长度为18cm，故答案为：18.
【分析】（1）由表格知，弹簧不挂物体时，弹簧的长度是18cm；
（2）由表中的数据可知，x=0时，y=18，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，依此可求所挂重物为7千克时（在允许范围内）时的弹簧长度。
40．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有　 　只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值.
【答案】（1）0.6
（2）18
（3）解：根据题意可知： ，解得 ，故答案为30.
【解析】【解答】解：（1）∵根据表格可知摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6；故答案为0.6；
（ 2 ）∵摸到白球的频率为0.6，共有30只球，
∴则白球的个数为30×0.6=18只，故答案为18；
【分析】（1）根据频率估算出概率即可；（2）用总数乘以其频率即可得出答案；（3）利用概率公式求解即可.
41．
（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为　 　；
（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：∠GEF= ▲ .
证明：过点 E 作 EH∥AB，
∴∠FEH=∠BFE（ ），
∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）
∴EH∥CD（ ），
∴∠HEG=180°-∠CGE（ ），
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH= ▲ .
（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】（1）90°
（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180° ∠CGE，
证明：过点 E 作 EH∥AB，
∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）
∴EH∥CD（平行线的迁移性），
∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180° ∠CGE，
（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，
理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，
∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，
在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF ∠PFM＝∠CGP ∠BFQ，
∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE ∠BFE＋∠GEF＝×180°＝90°．
即∠GPQ＋∠GEF＝90°．
【解析】【解答】（1）如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，
∵∠CGE＝130°，
∴∠HEG＝50°，a
∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；
故答案为：90°；
【分析】（1）先求出AB∥CD∥EH，再求出∠HEG＝50°，最后计算求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE， 再计算求解即可。
42．已知直线分别交直线于点，且
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点分别在射线上，点分别在射线上，连接，且，分别延长交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接平分，且平分，若，直接写出的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）证明：过点K作，如图，
，，
，
，，
，
，
即，
；
（3）
【解析】【解答】（3）解：理由如下：过M作 ，过K作 ，如图，
， ， ，
，
平分 ， ，
，
，
设 ， ，
平分 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
即 ，解得 ，
．
【分析】（1）根据对顶角相等，得∠CHG=∠DHF，再利用等量代换，得到同旁内角互补，两直线平行；
（2）通过作KR∥AB，得到KR∥AB∥CD，由平行线的性质可知： ，， 代入即可；
（3）过M作 ，过K作 ，可以得到，设，，利用平行线的性质，用含有x的代数式表示出各个角，建立等式，用方程解出x，再代入即可求出。
43．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过点O作射线OE，使，作的平分线OD，求和的度数；
（3）在（2）的条件下，请过点O作射线OP，使与互余，并求出的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC+∠COB=180°，∠BOC=102°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=78°；
（2）解：∵∠COE=∠AOC+∠AOE=90°，∠AOC=78°，
∴∠AOE=90°-∠AOC=12°，
∵∠AOC=78°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=39°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=39°+12°=51°；
（3）解：由（2）可得∠AOD=∠COD=39°，
∵与互余，
∴∠BOP=90°-39°=51°，
①如图，射线OP在射线OB上方时，∠BOP=51°，
∠COP=∠BOC-∠BOP=102°-51°=51°，
②如图，射线OP在射线OB下方时，∠BOP=51°，
∠COP=∠BOC+∠BOP=102°+51°=153°；
【解析】【分析】（1）利用邻补角的性质求出∠AOC的度数即可；
（2）利用角平分线的定义求出∠AOD的度数，再利用角的运算求出∠AOE的度数，最后列出算式∠DOE=∠AOD+∠AOE求解即可；
（3）分两种情况：①射线OP在射线OB上方时，∠BOP=51°，②射线OP在射线OB下方时，∠BOP=51°，分别画出图形，再利用角的运算求解即可。
44．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．
（1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是.
（2）如图2，
若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数系．
【答案】（1）解：如图1，连接AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30°，
∴∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AF=EF，
∴EF=FD；
∵∠AEF=60°，
∴∠BAE=30°=∠ABO，
∴AE=BE
（2）解：成立，如图3，
连接CE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，
∴AD=CD，AE=EF，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠AEF=60°，
∴△ACD和△AEF是等边三角形，
∴AC=AD，AE=AF=EF，∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中， ，
△ACE≌△ADF，
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE=EF
（3）解：∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE，
∵点C，E，G在同一条直线上，
∴∠AEG=2∠CAE=30°，
∴∠CAE=15°，
∵∠BAO=60°°，
∴∠BAE=75°，
∵∠ABO= ∠ABC=30°，
∴∠AEB=75°=∠BAE，
∴BE=AB，
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，
∴cos∠ABO= = ，
∴OB= AB= BE，
∴BD=2OB= BE
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；（2）先判断出△ACD和△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论；（3）先求出∠CAE=15°，进而判断出BE=AB，再找出OB与AB的关键，代换即可得出结论．
45．
（1）猜想：如图1，已知：在 中， ， ，直线m经过点A， 直线m， 直线m，垂足分别为点D、E试猜想 、 、 有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，A、E三点都在直线m上，并且有 （其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段 的长度始终为n，连接 、 ，若 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论 成立；
理由如下：∵ ， ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解： 为等边三角形，
理由：由（2）得， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
【解析】【解答】解：（1） ，
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ；
【分析】（1）根据题意求出，再利用AAS证明，最后证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形全等的判定与性质求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。
46．问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点 ，点 叫做该多边形的内心，点 到其中一边的距离叫做 .
问题解决：如图1，在面积为 的 中， ， ， ，内心 到边 的距离为 ，试说明 .
类比推理：如图2，存在内心 的四边形 面积为 ，周长为 ，用含有 与 的式子表示内心 到边 的距离 ▲ ；
理解应用：如图3，在四边形 中， ， ， ， ，对角线 ，点 与 分别为 与 的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为 和 ，求 的值.
【答案】解：问题解决：如图（1），在面积为 的 中， ， ， ，三条角平分线的交点 到三边的距离为 .连接 、 、 ， 被划分为三个小三角形.
，
.；
类比推理： ；
理解应用： ，
；
，
，
【解析】【解答】解：类比推理：如图2中，连接 、 、 、 ，
，
.
故答案为： .
【分析】问题解决：在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，由三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解；
类比推理：连接OA、OB、OC、OD，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解；
理解应用：由AB∥CD可得S△ABD：S△BCD=21：11，表示出r1，r2，进而求出比值.
47．如图
（1）如图1，要使 ， 、 、 应满足的数量关系是　 　.
（2） ，直线MN分别与AB、CD交于点M、N，平面内一点P满足 ，
①如图2，若 于点P，判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ， ，求 用含 的式子表示 .
【答案】（1）
（2）解：①作 ，如图：
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
即 ；
② 过点P作 ，
又 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
即 ，
又 ，
，
，
即 ；
同理
，
，
，
综上所述，
【解析】【解答】解：（1） ，如图1，过P点作 ，
，
假如 ，
，
，
，
，
要使 ，
.
故答案为： ；
【分析】（1）过P作平行于CD的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系；
（2）①过点P作 ，利用平行公理即可得出 ，利用平行线性质可得 ， ，进一步求得 ，依据垂直概念和性质得出 ，代入即可求得 ；
② 过点P作 ，利用平行公理即可得出 ，进一步求得 ， ，即可求得 ；
同理可得 ， ，最后求得 .
48．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点平分交于点，且．
（1）求证：；
（2）点是射线上一动点（不与点重合），连接平分交于点，过点作于点，，．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②点G在运动过程中，探究和两者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：平分
（2）解：①
平分，平分
②平分，平分
设
情况一：当点G在点F的左侧时，如图所示：
情况二：当点G在点F的右侧时，如图所示：
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，由已知，即得，根据平行线的判断即证结论；
（2）①由平行线的性质可得 ，由角平分线的定义可得，从而求出，再利用直角三角形的性质即可求解；
②分两种情况：当点G在点F的左侧时和当点G在点F的右侧时，据此分别画出图形，再利用平行线的性质、角的和差及直角三角形的性质分别求解即可.
49．已知：在 中， ，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 .
（1）如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
（2）如图2，若 ，点 是线段 延长线上一点，连接 与 交于点 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，过点 作 交 于点 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 、 、 的关系.
【答案】（1）解：∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+CE2=17，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2=9+17=26，
∴AB=
（2）解：如图2，过点B作BN⊥CE于N，
∵BN⊥CE，EF⊥CE，
∴∠BNC=∠CEA=90°=∠ACB，
∴∠BCN+∠CBN=90°=∠BCN+∠ACE，
∴∠CBN=∠ACE，
又∵AC=BC，
∴△BCN≌△CAE（AAS），
∴CN=AE，BN=CE，
∵AC=BC，∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠DAE+∠ACE+∠BAC+∠E=180°，
∴∠DAE+∠ACE=45°，
又∵∠DAE=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE=45°，
∴∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，
∴EF=EC，
又∵CN=AE，BN=CE，
∴EF=EC=BN，NE=AF，
∵∠BNG=∠E=90°，∠BGN=∠FGE，EF=BN，
∴△BGN≌△FGE（AAS），
∴GN=GE，
∴AF=2GE
（3）解： ，
理由如下：如图3，连接CH，
∵点M为CE的中点，HM⊥CE，
∴CH=HE，
∴∠HEC=∠HCE，
∵∠HEC+2∠ACE=90°，
∴∠HCE+2∠ACE=90°，
又∵∠HCE+∠BCH+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠BCH=∠ACE，
∴∠BCH+∠B=∠ACE+∠CAB，
∴∠CHD=∠CDH，
∴CH=CD，
∴HE=CD=CH，
∵CE=CD+DE=HE+DE， ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据题意，利用勾股定理可得出AC2，进而求出AB的长；
（2）过点B作BN⊥CE于N，根据全等三角形的判定，可得出△BCN≌△CAE，可得CN＝AE，BN＝CE，由角的数量关系可得出∠ECF＝∠EFC＝45°，可得EF＝EC＝BN，利用AAS可证△BGN≌△FGE，可得出GN＝GE，由此可得出结论；
（3）连接CH，由线段垂直平分线的性质可得HC＝HE，由角的数量关系可证∠CHD＝∠CDH，可得CH＝CD，由等腰直角三角形的性质可得结论.
50．如图，在 中， ，点D在 上，又在 的垂直平分线l上，点E在 的延长线上，点F在 上， .
（1）试说明： .
（2）若 平分 ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵点 在 的垂直平分线l上，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
， ， ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=CD；再利用等边对等角可证得∠DAC=∠DCA；然后利用SAS可证得结论。
（2）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，利用角平分线的定义去证明∠ACD=∠DAC=∠BCD；再求出△ABC的三个内角的度数，利用全等三角形的性质就可求出∠ABF=∠CAE=∠DAE+36°；然后利用∠ABC=72°，可求出∠ABF+∠FBC的值。
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