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期末综合复习试题
2024-2025学年下期初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．五根木棒（单位：）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　　）
A．5，9，12 B．4，5，6
C．12，15，17 D．5，12，13
3．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的中位数是（ ）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
4．若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
5．嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若，，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
7．如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大
9．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
11．甲、乙两车在某时间段内速度随时间变化的图象如图所示，下列结论：①乙车前4秒行驶的总路程为48米；②第3秒时，两车行驶的速度相同；③甲在8秒内行驶了256米；④乙车第8秒时的速度为22米/秒．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14．点在函数的图象上，则 ．
15．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ．
16．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ．
17．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ．
18．在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，，的三角形；
(2)画一个腰长为的等腰直角三角形．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为．
②，即的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为_______，小数部分为_______；
(2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
22．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
23．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．
b．八年级学生成绩在这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 83.1 88 89
八 83.5 m 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
(3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
24．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和线段上运动．
(1)求直线的函数表达式；
(2)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
25．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为．
(1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值；
(2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值．
26．【模型呈现】
（1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ；
（3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B．
①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式；
②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B C B A A A
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，逐项分析即可判断．
【详解】A、，，，所以5，9，12不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；
B、，，，所以4，5，6不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；
C、，，，所以12，15，17不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、，，，所以5，12，13能组成直角三角形，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
根据中位数的概念求解即可．
【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位，
根据：，
∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并，
，解得，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，
在中，，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．结合平行四边形的性质证明，，即可证明，由全等三角形的性质可得，，然后计算四边形的周长即可．
【详解】解：∵四边形平行四边形，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的周长．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∵是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
9．A
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确；
②小正方形面积为，则其边长是2，
因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确；
④因为，所以，故④不正确．
综上，①②③正确．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，光的反射定律，掌握广德反射定律是解题的关键．
延长交轴于点E，则，继而证明，则，再将其代入即可求解．
【详解】解：延长交轴于点E，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取有关信息，是解题的关键．
①根据观察函数图象的纵坐标、横坐标，可得乙车前4秒行驶的总路程为48米；
②根据观察函数图象，可得第3秒时，两车行驶的速度相同；
③根据函数图象当车的速度以米/秒的速度运算运动时，在8秒内行驶的路程为米，而甲在8秒前速度都小于米/秒，从而得出甲在8秒内行驶的路程小于256米；
④根据函数图象的横坐标，可得乙车第8秒时的速度为：米/秒．
【详解】解：①乙车前4秒行驶的总路程为米，故①正确；
②根据图象可知：在8秒内甲车的速度从0均匀增加到米/秒，
∴在第3秒时，甲的速度为：米/秒，
∴第3秒时，在两车行驶的速度相同，均为12米/秒，故②正确；
③根据函数图象可知：当车的速度以米/秒匀速运动时，在8秒内行驶的路程为：
米，
∵甲在8秒前速度都小于米/秒，
∴甲在8秒内行驶的路程小于256米，故③错误；
④乙车第8秒时的速度为：米/秒，故④正确．
综上所述，正确的是①②④．
故选：B．
12．B
【分析】先求出正方形ABCD的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案.
【详解】∵，，
∴正方形ABCD的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握．
13．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
14．/
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把点代入即可得到答案.
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺，
根据勾股定理可得：．
故答案为：．
16．y
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可．
【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
，，
在中，由勾股定理可知：，
由折叠性质可知，
，
设，则，
由勾股定理得：，解得，
，
设直线解析式为，
代入点坐标得：，解得，
直线的函数解析式是．
故答案为：．
17．3
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意可得，是正方形的面积的，据此求解即可．
【详解】解：如图，标注图形，连接，，
∵由正方形性质可得：，，，
，
∴，
∴，
∴，
同理，右边空白四边形的面积也是，
∴图中阴影部分的面积是：．
故答案为：3．
18．或
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，根据题意，可分成三种情况进行分析，①当点N在的延长线上时；②当点N在线段上时，③当点N在线段的延长线上，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：根据题意，在矩形中，，
∵点是的中点，
∴，
①当点N在AB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，

∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴在中，由勾股定理得；
∴；
②当点N在线段上时，过点E作于G，

同理得，，
在中，由勾股定理，得；
∴；
③当点N在延长线上时，将沿折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不存在；
综合上述，的长为或；
故答案为：或．
19．(1)0
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可；
（2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形；
（2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形
【详解】（1）解：，，
如图，即为边长分别为4，，的三角形，
（2）解：，
如图，即为腰长为的等腰直角三角形
21．(1)3；
(2)4
【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键．
（1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可；
（2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分为3，小数部分是．
故答案为：3，；
（2）解：，
，即，
的整数部分是，
小数部分是．
．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
（2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是中点，
，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
23．(1)83.5；
(2)小宇，理由见解析；
(3)105人．
【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
（3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84
故中位数；
（2）小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
（3）（人），
估计八年级获得优秀奖的学生有105人
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
24．(1)
(2)或
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与面积问题，坐标与图像，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意用待定系数法直接求一次函数解析式即可；
（2）令，求出点坐标即可求得的面积；先求出的解析式，再分别讨论的面积是的面积的时M的横坐标的情况，即可求得点M的坐标情况．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
将代入解析式得：
根据题意得：，
解得：，
∴直线的解析式是：；
（2）解：在中，令，解得：，
，
；
设的解析式是，则，解得：，
∴直线的解析式是：，
∵的面积是的面积的，
∴的面积是3，
∴，
∴，
∴点M的横坐标为，
∵动点M在线段和线段上运动，
∴点M的横坐标为，
在中，当时，，则M的坐标是；
在中，时，，则M的坐标是.
综上所述：M的坐标是：或．
25．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可；
（2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，
当互相平分时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，解得：，
∴t的值为．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，即t的值为．
26．（1）见解析（2）（3）①②
【分析】（1）同角的余角相等，求出，利用证明即可；
（2）根据（1）中结论得到，求出点坐标即可；
（3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，设，易得，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点作轴，过点作轴，设，易得，求出点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵点B的坐标为，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，
设，则：，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同法（1）可得：，
∴，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴；
②过点作轴，过点作轴，设，则：，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为：．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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