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华东师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟真题真练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（　　）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形
4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°，则∠BAC的度数是（　　）
A．89° B．79° C．69° D．90°
5．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
6．如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，且点 恰好在 上， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．已知则等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是（　　）
A．2厘米 B．1.5厘米 C．1厘米 D．0.5厘米
9．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为（　　）
A．100 B．102 C．104 D．106
10．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，则 的取值范围是　 　.
12．如图，两个相同直角三角形重叠在一起，将其中一个沿着 的方向平移到 的位置， ， ， ，阴影部分的面积为 ，则平移距离 长 　 　.
13．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为　 　．
14．在△ABC中，AE是中线，AD是高，AD＝6，CD＝1，若△ABC的面积为12，则线段DE的长度为　 　．
15．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是　 　．
16．某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为 ，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.今年元旦节，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为 ，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过　 　小时车库恰好停满.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“端午节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费.
设某位顾客购买了x元的该种粽子.
（1）补充表格，填写在“横线”上：
x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元）
0＜x≤200 x x
200＜x≤300 　 　 x
x＞300 　 　 　 　
（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？
18．如图，在四边形 中， 与 互补， 、 分别平分 、 ， 与 相交于点G.
（1） 与 有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若 ， ，求 的度数.
19．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，
（1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2（不写作法）；
（2）根据图形可知，△AA1B的面积为　 　；△AA1B1的面积　 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　 　.
20．某企业通过“一带一路”战略合作，向东南亚销售A、B两种商品，它们的生产成本和销售价格如表中所示.
商品 成本（元） 售价（元）
A 80 130
B 95 185
（1）若生产A、B两种商品共50件时成本为4450元，求A、B两种商品各生产了多少件？
（2）若销售A、B两种商品共100件的总利润（利润＝售价﹣成本）不少于6320元，则最多应销售A种商品多少件？
21．如图，△ABC中CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，点F在AC的延长线上，过点C作直线MN∥AB，且∠ACM＝58°，∠BCN＝36°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）求∠DCE的度数.
22．如图，△ABC中，AD是中线，将△ABD旋转后与△ECD重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果AB＝3，AC＝4，求中线AD长的取值范围.
23．如图，在 中，点D在 上， 的平分线交 于点E，过点A作 的平行线交 于点F，交 于点 .
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ，请说明 .
24．销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？
（2）若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？
25．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．
（1）当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
（2）当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
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华东师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟真题真练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 设索长为x尺，竿子长为y尺，
∵一支竿子一条索，索比竿子长一托，
∴x-y=5，
又∵对折索子来量竿，却比竿子短一托，
∴，
∴可列方程组，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系式列方程组求解即可。
2．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：去括号，得：4x-4＜3x-2，
移项，得：4x-3x＜4-2，
合并同类项，得：x＜2，
则正整数解是：1．
故答案为：B．
【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．
3．学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（　　）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形
【答案】B
【解析】【解答】A、等边三角形的每个内角为60°，能整除360°，故不符合题意；
B、正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，故符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，故不符合题意；
D、正方形的每个内角为90°，能整除360°，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形，正五边形，正六边形，正方形的每个内角度数，进行判断求解即可。
4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°，则∠BAC的度数是（　　）
A．89° B．79° C．69° D．90°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠B＝44°，∠C＝57°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝79°.
故答案为：B.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，
5．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
【答案】B
【解析】【解答】A、2+3=5，故本选项不符合题意．
B、2+3＞4，故本选项符合题意．
C、3+5＜9，故本选项不符合题意．
D、4+4=8，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
6．如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，且点 恰好在 上， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为A．
【分析】由旋转的性质可得，，由周角的性质可求的度数，即可求解。
7．已知则等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解
①+②得
∴=2
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
8．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是（　　）
A．2厘米 B．1.5厘米 C．1厘米 D．0.5厘米
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在AOB和DOC中，
∴AOB≌DOC（SAS），
∴CD=AB＝3厘米，
∵EF＝4厘米，
∴圆柱形容器的壁厚为：×（4﹣3）＝（厘米），故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用“SAS”证明AOB≌DOC，再利用全等三角形的性质求出EF的长，再求解即可。
9．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为（　　）
A．100 B．102 C．104 D．106
【答案】B
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为．
由图可知：
解得．，
∴长方形的长为，宽为21，
长方形的周长为，
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，再求解即可。
10．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得A=P-15，
设C=x，
∴B=P-A-C=15-x.
∵B+9+E=P，
∴E=P-B-9=P-(15-X)-9=P+X-24.
∵C+9+D=P，
∴D=P-C-9=P-X-9.
∵6+D+E=P，
∴6+P-X-9+P+X-24=P，
∴-27+2P=P，
∴P=27.
故答案为：C.
【分析】根据方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等可得A=P-15，由A+B+C=P表示出B，由B+9+E=P表示出E，同理表示出D，再根据6+D+E=P建立关于X、P的方程，求解即可得到P的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，则 的取值范围是　 　.
【答案】2＜a≤3
【解析】【解答】解： ，
解①得，x> ，
解②得，x∴不等式组的解集是 ∵关于x的不等式组 恰好有三个整数解，
∴整数解只能是0，1，2，
∴2＜a≤3.
故答案为：2＜a≤3.
【分析】先求出不等式组的解集是 12．如图，两个相同直角三角形重叠在一起，将其中一个沿着 的方向平移到 的位置， ， ， ，阴影部分的面积为 ，则平移距离 长 　 　.
【答案】6
【解析】【解答】方法一：∵△ABC与△DEF大小一样，
∴阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB=10，
∵DH=4，
∴HE=DE-DH=6，
∴阴影部分的面积=，
∴BE=6.
故答案为：6.
方法一：根据平移的性质可知， ， ，
设 ，则
阴影
即
解得 .
故答案为： 6 .
【分析】 方法一：先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，利用梯形的面积公式列式计算即可得解.
方法二：利用平移的性质求出DH、HE，设BE=x，利用阴影部分的面积=，列方程求解即可.
13．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵平移后阴影部分的面积恰好是长宽均为2cm的正方形面积，
∴S阴影=2×2=4cm2．
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质可得：平移后阴影部分的面积恰好是长宽均为2cm的正方形面积，再利用正方形的面积公式求解即可。
14．在△ABC中，AE是中线，AD是高，AD＝6，CD＝1，若△ABC的面积为12，则线段DE的长度为　 　．
【答案】1或3
【解析】【解答】解：当AD在△ABC内部时，如图1，
根据题意可知S△ABC＝12，即×BC×AD＝12，
解得BC＝4，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∴DE＝EC﹣DC＝2﹣1＝1；
当AD在△ABC外部时，如图2，
根据题意可知S△ABC＝12，即×BC×AD＝12，
解得BC＝4，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∴DE＝EC+DC＝2+1＝3，
综上所述，DE长为1或3．
故答案为：1或3．
【分析】分两种情况：①当AD在△ABC内部时，②当AD在△ABC外部时，根据三角形的面积求出BC的长，利用三角形的中线求出EC，再利用线段的和差关系即可求解.
15．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是　 　．
【答案】55°
【解析】【解答】解：如图所示，
∵这是一张长方形纸片，
∴AB∥CD，
∴，
∵，
∴，
又∵折叠纸片，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由AB∥CD可得，从而求出，根据折叠的性质可得∠2=∠3，从而得解.
16．某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为 ，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.今年元旦节，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为 ，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过　 　小时车库恰好停满.
【答案】
【解析】【解答】解：设1个进口1小时开进 辆车，1个出口1小时开出 辆，车位总数为 ，
由题意得： ，
解得： ，
早晨6点时的车位空置率变为 ，
（小时），
答：从早晨6点开始经过 小时车库恰好停满.
故答案为： .
【分析】设1个进口1小时开进 辆车，1个出口1小时开出 辆，车位总数为 ，根据两种情况下的空置率分别列出等式，两式联立把x和y分别用含a的代数式表示出来，然后根据空置率变为 ，开放2个进口和1个出口，列式化简即可得出结果.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“端午节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费.
设某位顾客购买了x元的该种粽子.
（1）补充表格，填写在“横线”上：
x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元）
0＜x≤200 x x
200＜x≤300 　 　 x
x＞300 　 　 　 　
（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？
【答案】（1）10+0.95x；10+0.95x；30+0.9x
（2）解：令甲超市与乙超市的花费相等时，有：
，
解得： ；
∴当 时，顾客到甲、乙超市的花费相等；
当 时，顾客到甲超市花费更少；
当 时，顾客到乙超市花费更少.
【解析】【解答】解：（1）甲超市：
当200＜x≤300时，花费为： ；
当x＞300时，花费为： ；
乙超市：当x＞300时，花费为： ；
故答案为：10+0.95x，10+0.95x，30+0.9x；
【分析】（1）根据题意，列出关系式，求出答案即可；（2）根据题意，分情况讨论，选择花费较少的商场，即可得到答案.
18．如图，在四边形 中， 与 互补， 、 分别平分 、 ， 与 相交于点G.
（1） 与 有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：∠1与∠2互余.
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，
即∠1与∠2互余.
（2）解：由（1）知，∠1+∠2=90°，
∵∠A=108°，∠1=46°，∠A与∠C互补，
∴∠C=180°-∠A=72°，∠2=44°，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE=44°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=44°，
∴∠BEC=180°-44°-72°=64°，
∴∠CEG=64°-44°=20°.
【解析】【分析】（1）∠1与∠2互余.理由： 由 四边形内角和为360° ，可求出∠ABC+∠ADC=180°，由角平分线的定义可得∠1= ∠ADC，∠ABE= ∠ABC，根据平行线的性质可得∠2=∠ABE，从而得出∠1+∠2= ∠ADC+ ∠ABC= ×（∠ABC+∠ADC）=90°，即得结论；
（2）由∠1+∠2=90°，∠A与∠C互补可求出∠C=72°，∠2=44°，由EG∥AB，可得∠2=∠ABE=44°，由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE=44°，利用三角形内角和可求出∠BEC=180°-∠CBE-∠C=64°，由∠CEG =∠BEC-∠2即可求出结论.
19．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，
（1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2（不写作法）；
（2）根据图形可知，△AA1B的面积为　 　；△AA1B1的面积　 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　 　.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作；
（2）；；
【解析】【解答】解：（2）根据平移的性质，知AB∥B1A1，A A1∥B B1，
∴ ，
故答案为： ， ， .
【分析】（1）根据平移的性质及网格特点分别确定△ABC先向右平移5个单位后的△A1B1C1， 再根据中心对称的性质画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2即可；
（2）根据平移的性质知AB∥B1A1，A A1∥B B1，根据三角形的面积公式求出 △AA1B的面积 ，利用同底等高即得 △AA1B1与△PAA1的面积.
20．某企业通过“一带一路”战略合作，向东南亚销售A、B两种商品，它们的生产成本和销售价格如表中所示.
商品 成本（元） 售价（元）
A 80 130
B 95 185
（1）若生产A、B两种商品共50件时成本为4450元，求A、B两种商品各生产了多少件？
（2）若销售A、B两种商品共100件的总利润（利润＝售价﹣成本）不少于6320元，则最多应销售A种商品多少件？
【答案】（1）解：设生产A种商品x件，B种商品y件，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品生产了20件，B种商品生产了30件；
（2）解：设销售A种商品m件，则销售B种商品（100﹣m）件，
由题意得：（130﹣80）m+（185﹣95）（100﹣m）≥6320，
解得：m≤67，
答：最多应销售A种商品67件.
【解析】【分析】（1）设生产A种商品x件，B种商品y件，根据共50件可得x+y=50；根据成本为4450元可得80x+95y=4450，联立求解即可；
（2）设销售A种商品m件，则销售B种商品(100-m)件，根据(售价-成本)×件数=利润可得关于m的不等式，求解即可.
21．如图，△ABC中CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，点F在AC的延长线上，过点C作直线MN∥AB，且∠ACM＝58°，∠BCN＝36°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）求∠DCE的度数.
【答案】（1）解：∵MN∥AB，且∠ACM＝58°，∠BCN＝36°，
∴∠CAB＝∠ACM＝58°，∠CBA＝∠BCN＝36°，
∴∠BCF＝∠CAB+∠CBA＝58°+36°＝94°；
（2）解：∵CE平分∠ACB，∠BCF＝94°，
∴∠ACB＝2∠ACE＝180°﹣∠BCF＝180°﹣94°＝86°，
∴∠ACE＝43°，
∵CD⊥AB于点D，∠CAD＝58°，
∴∠ACD＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝43°﹣32°＝11°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CAB＝∠ACM＝58°，∠CBA＝∠BCN＝36°，由外角的性质可得∠BCF＝∠CAB+∠CBA，据此计算；
（2） 根据角平分线的概念以及平角的概念可得∠ACB＝2∠ACE＝180°-∠BCF＝86°，求出∠ACE的度数，根据余角的性质可得∠ACD的度数，然后根据∠DCE＝∠ACE-∠ACD进行计算.
22．如图，△ABC中，AD是中线，将△ABD旋转后与△ECD重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果AB＝3，AC＝4，求中线AD长的取值范围.
【答案】（1）D；180
（2）解：∵将△ABD旋转后能与△ECD重合，
∴AB=EC=3，DE=AD，
在△ACE中，由三角形的三边关系得，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∵AC=4，
∴1＜AE＜7，即1＜2AD＜7，
∴0.5＜AD＜3.5，
即中线AD长的取值范围是0.5＜AD＜3.5.
【解析】【解答】解：（1）∵将△ABD旋转后能与△ECD重合，
∴旋转中心是点D，旋转了180度；
故答案为：D，180；
【分析】（1）由旋转的定义和性质可求解；
（2）由旋转的性质可得AB=EC，DE=AD，在△ACE中，由三角形的三边关系定理可求得AE的范围，则AD的范围可求解.
23．如图，在 中，点D在 上， 的平分线交 于点E，过点A作 的平行线交 于点F，交 于点 .
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ，请说明 .
【答案】（1）解：∵AF∥DE，∠2=80°，
∴∠4=∠2=80°，
∵∠4=∠1+∠BDE，∠1=30°，
∴∠BDE=80°-30°=50°，
∵DE是∠BDC的平分线，
∴∠BDC=2∠BDE=100°，
∴∠C=180°-∠1-∠BDC=180°-30°-100°=50°
（2）解：由（1）得：∠4=∠2=∠1+∠5+∠3，即∠1=∠4-∠5-∠3①，
∵∠BDC=2∠ABC，即 ∠BDC=∠BDE=∠ABC=∠1+∠5，
∴∠4=∠1+∠BDE=∠1+∠1+∠5=2∠1+∠5，即∠4=2∠1+∠5②，
①代入②得：∠4=2∠4-2∠5-2∠3+∠5，
整理得：∠4=∠5+2∠3
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠4的度数，再利用三角形的外角的性质可求出∠BDE的度数；利用角平分线的定义求出∠BDC的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
（2）利用三角形的外角的性质可证得∠1=∠4-∠5-∠3①；再证明∠4=2∠1+∠5②，根据①②可证得结论.
24．销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？
（2）若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？
【答案】（1）解：设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．
根据题意，可得 ，解得： ，
15万元=150000元，10万元=100000元．
答：所以A型轿车每辆150000元，B型轿车每辆100000元．
（2）解：设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．
根据题意，得 ，解这个不等式组，得18≤a≤20．
因为a为整数，所以a=18，19，20．
30﹣a的值分别是12，11，10．
因此有三种购车方案：方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．
方案一获利：18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；
方案二获利：19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；
方案三获利：20×0.8+10×0.5=21（万元）．
【解析】【分析】（1）等量关系为：10辆A型轿车总价钱+15辆B型轿车总价钱=300；8辆A型轿车总价钱+18辆B型轿车总价钱=300，把相关数值代入计算即可；（2）关系式为：A型轿车总价钱+B型轿车总价钱≤400；A型轿车总利润+B型轿车总利润≥20.4，求合适的正整数解即可．
25．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．
（1）当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
（2）当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）解：（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【解析】【分析】（1） 延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，根据SAS证明△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据SAS证明△EAG≌△EAF，可得GE＝EF，从而求出EF＝BE+DF；
（2） 不成立，EF＝BE﹣FD.在BE上截取BM＝DF，连接AM，根据SAS证明△ABM≌△ADF（SAS），可得AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再根据SAS证明△AME≌△AFE，可得ME＝EF，从而得出ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，继而得解.
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