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2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题13 二次函数的实际应用（50 题）
一、选择题
1．（2025·绵竹模拟）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为；④小球的高度时，．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025·贵州模拟）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·鹤壁模拟）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
4．（2025·桑植模拟）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
5．（2025·平塘模拟）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
6．（2024九下·长沙模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(　　)
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
7．（2025·运城模拟）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2022·房山模拟）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
9．（2025·茂南模拟）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）
A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5
10．（2025·宁明模拟）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．（2025·广西壮族自治区模拟）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系（　　）．
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．其它函数
12．（2025·东台模拟）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
13．（2025·崆峒模拟）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是　 　．
14．（2025·酒泉模拟）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球　 　（能或不能）射进球门．（忽略其他因素）
15．（2025·深圳模拟）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s．
16．（2025·临洮模拟）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是　 　米．
17．（2025·湖南模拟）如图，线段OD表示水池的宽，米，以边缘点为原点，OD所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，在处安装一根带喷头的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关.已知水注在与点水平距离1米处达到最高，要使水注落点不超出水池外，则喷头的最大高度为　 　米.
18．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
19．（2025·庄浪模拟）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是　 　．
20．（2025·肃南模拟）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高，则这两次间隔的时间为　 　．
21．（2025·凤凰模拟）如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为　 　.（不必写出定义域）
22．（2025·陆丰模拟）如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为　 　m．
23．（2025·安定模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　．
24．（2025·广西壮族自治区模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是　 　米．
25．（2025·松江模拟）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是　 　米．
26．（2025·黄浦模拟）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为　 　米．
27．（2025·闵行模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是　 　．（不写定义域）
28．（2025·虹口模拟）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是　 　．
三、解答题
29．（2025·织金模拟）为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱．
（1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？
30．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
31．（2025·冷水滩模拟）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．
（1）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
32．（2025·仁寿模拟）某科技公司专注于研发环保型智能机器人，用于城市垃圾分拣工作．已知该公司新研发的甲、乙两款机器人，乙机器人每小时分拣的垃圾量比甲机器人每小时分拣的垃圾量的1.5倍少10千克．
（1）若甲、乙两款机器人共同工作5小时，一共能分拣1000千克垃圾，求甲机器人每小时分拣多少千克垃圾？
（2）该公司计划将甲款机器人投入市场，经市场调研发现，当售价为每台15万元时，月销售量为100台；当售价每提高1万元时，月销售量就减少10台．已知甲机器人的研发和生产成本为每台10万元．设甲机器人的售价为每台x万元（x为正整数）．
①请写出月销售量y（台）与售价x之间的函数关系；
②当售价为多少万元时，销售甲机器人的月利润最大？最大月利润是多少？
33．（2025·香洲模拟）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
34．（2025·顺庆模拟）某果农销售成本价为2元/斤的枇杷，果农决定直播销售和门店销售同时进行．直播销售，售价为10元/斤；门店销售，第一天售价为10元/斤，此后售价每天比前一天每斤降低0.2元，已知两种销售方式第天的销售数量（斤）均满足．
（1）门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式；
（2）销售过程中，在第几天获得的总利润（元）最大？总利润最大是多少？
（3）李阿姨路过果农门店，果农正在直播，“今天是本店销售的第10天，凡网络下单一律八折优惠…”．李阿姨预购买10斤枇杷，李阿姨选择什么方式购买划算？
35．（2025·双流模拟）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元．
（1）商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？
（2）请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大．
36．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
37．（2025·梓潼模拟）在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润．
38．（2025·苍梧模拟）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
（2）如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
39．（2025·龙湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
40．（2025·连州模拟）无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每天的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价．
41．（2025·凉州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
42．（2025·连州模拟）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
43．（2025·石门模拟）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克．
（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值．
44．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
45．（2025·罗湖模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
46．（2025·双流模拟）某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品．
（1）商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？
（2）在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？
47．（2025·蓬江模拟）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
48．（2025·南山模拟）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
49．（2025·罗湖模拟）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为的坐标为__________；
②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．
50．（2025·遂宁模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若点P的横坐标为2，求△ODE的面积；
（3）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值；
（4）若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．A
2．B
3．D
4．B
5．C
解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
此图象反应的是小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系，根据图象给出的信息可得小球速度v在接触弹簧后先增加后减少，说明小球在接触弹簧的初期，由于重力大于弹簧的弹力，小球继续加速，直到弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，据此可判断A选项； 小球速度v在弹簧压缩至最短时为0，说明此时小球速度最小，而非最大，据此可判断B选项；小球速度最大时，弹簧压缩长度Δl约为2cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度2cm，据此可判断C选项；小球下落至最低点时，弹簧压缩长度Δl约6为6cm，因此弹簧的长度为初始长度12cm减去压缩长度，据此可判断D.
6．D
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故答案为：D．
根据函数的图象中点的特征，求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质逐一判断解题．
7．B
8．D
设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：，
这是关于一个二次函数．
故答案为：D．
设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，根据题意列出函数解析式即可得到答案。
9．B
解：由题可知，把点，代入解析式 中，
解得，
∴ 弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 ：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
10．A
11．B
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=6．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
∴∠AEF=∠DHE=90° ∠DEH，
在△AEF与△DHE中，
∵，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x，AF=DE=（6-x），
∴S=EF2=AE2+AF2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36，
∴S与x之间是二次函数关系.
故答案为：B．
先利用AAS证明△AEF≌△DHE，根据全等三角形的性质，得出AE=DH=x，AF=DE=（6-x），再根据勾股定理，得到S与x之间的函数关系式．
12．D
13．
14．不能
15．5
16．
17．4
解：∵对称轴为直线
解得：
当 时，y=c，即喷头A的高度为c，
米，
∴D(4，0)，
∴当抛物线过点D(4，0)时，喷头A的高度最大，
∴c=4，
故答案为：4.
由函数解析式可得抛物线的对称轴为 解得 进而得到抛物线解析式为 然后说明喷头A的高度为c；由线段OD表示水池的宽于再根据 米可得D(4，0)， 则抛物线过点D(4，0)时喷头A的高度最大，然后将D(4，0)代入抛物线解析式求得c的值即可.
18．
解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
19．
20．2
21．
22．13
23．
解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，根据待定系数法将（2，5）与（6，0）代入解析式，可得抛物线解析式为：，再根据y轴上点的坐标特征求出OS长，即可求出答案.
24．7
解：建立坐标系，如图所示：
∵点为抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为，
∵在抛物线上，
∴，
解得：，
，
当时，
解得：（舍去），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
先建立平面直角坐标系，再根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，将A点坐标代入，求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x的交点，由此求出此次投掷的成绩．
25．
26．
27．
28．
29．（1）
（2）当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元
（3）超市每天至少销售水果210箱
30．（1）
（2）存在，点的坐标为或
31．（1）
（2）当销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元．
32．（1）甲机器人每小时分拣千克垃圾
（2）①，且x为正整数；②当售价为或万元时，销售甲机器人的月利润最大，最大月利润是万元
33．（1）0；（2）m或n；（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；（4）
34．（1）
（2）第或天总利润（元）最大，总利润最大是元
（3）李阿姨选择直播购买划算
35．（1）商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元
（2），当最低销售单价为元时，公司所获利润越大
36．（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
37．（1）每盒产品的成本为30元
（2）
（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润（）元
38．（1）
（2）24
（3）6或
39．（1）
（2）点的坐标为或
（3）
40．（1），每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元
（2）元
41．（1）；
（2），，；
（3）或或或16
42．（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；
（2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
43．（1）16000元
（2）22500元
44．（1）
（2）或
45．（1）
（2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
46．（1）售价应降低30元
（2）商家每天获得的最大利润为2025元
47．（1）
（2）①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
48．（1），
（2）保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）
49．（1）；
（2）乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离为；
（3）①，②，．
50．（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）S△ODE＝2；（3）DE的最大值为；（4）满足题意的点P是存在的，坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．

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