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2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题14 二次函数压轴题（50 题）
一、解答题
1．（2025·深圳模拟）已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
2．（2025·花垣模拟）如图1，关于的二次函数y=－+bx+c经过点A（－3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2=3，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
3．（2025·武冈模拟）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
4．（2025·广安模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
5．（2025·华蓥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
6．（2025·陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且最大时，求点的坐标．
7．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
8．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
9．（2025·邛崃模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．
（1）求抛物线（）的表达式；
（2）点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
10．（2025·温岭二模）已知抛物线（b，c为常数），经过点．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点是抛物线上的两点，且对于任意的实数，不等式；恒成立．若时，求的取值范围．
11．（2025·仁寿模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标；
（3）如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标．
12．（2025·广汉模拟）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2025·旌阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
14．（2025·顺庆模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接，若，求的坐标；
（3）如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明．
15．（2025·青白江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；
（3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标．
16．（2025·连州模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．
（1）求的长．
（2）求的面积．
（3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2025·义乌模拟）已知抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标.
②已知点M，N的坐标分别为，连结MN，若线段MN与抛物线只有一个公共点，求的取值范围.
（2）已知点是抛物线上的两点，若对于都有，求的取值范围.
18．（2025·东辽模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点．点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为k，．分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以为边构造矩形．设L被该矩形截得的部分图象（包括边界）记为G．
（1）求b的值和L的对称轴；
（2）当点P在L上时，求的长；
（3）当L的顶点在矩形的边上时，求k的值；
（4）若图象G只呈上升趋势或下降趋势，结合图象直接写出k的取值范围．
19．（2025·澄海模拟）如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
20．（2025·岳塘模拟）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
21．（2025·湖南模拟）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M．
（1）若 求顶点M的坐标；
（2）将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值；
（3）在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值．
22．（2025·雷州模拟）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
（1）求抛物线M的表达式和点A的坐标；
（2）点F是线段上一动点，求周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
23．（2025·汕尾模拟）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
24．（2025·内江模拟）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
（3）点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2025·河源模拟）已知点是抛物线上的两个不同点．
（1）当m为何值时，；
（2）直线l经过A，B两点，且与y轴交于点，试问b是否存在最小值，若存在，请求出b的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）点D是抛物线的顶点，点O是坐标原点，连接，当m为何值时，．
26．（2025·通川模拟）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
27．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
28．（2025·从化模拟）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．
（1）抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线的伴随直线是．
①试用含a的代数式表示b和c；
②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值；
（3）顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标．
29．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
30．（2025·苍梧模拟）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
（2）如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
31．（2025·崆峒模拟）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线的表达式：
（2）请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
（3）如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
32．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
33．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
34．（2025·雅安模拟）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标．
35．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
（3）如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2025·台山模拟）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1．
（1）求该拋物线所对应的函数解析式；
（2）连接，，，求四边形的面积．
37．（2025·罗定模拟）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
（3）在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
38．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
39．（2025·天河模拟）已知一条抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）当时，求这条抛物线的解析式：
（2）当时，在这条抛物线上取一点（不与点重合），当时，求点的横坐标：
（3）若过点的直线与的边交于点（不包括端点），设四边形的面积为，的面积为，若，求点的横坐标的取值范围．
40．（2025·凉州模拟）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点坐标；
（2）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
41．（2025·龙马潭模拟）如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2025·隆昌模拟）如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与x轴的一个交点为，另一交点为B，与y轴交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由．
43．（2025·梨树模拟）抛物线（为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．点在该抛物线上且在轴上方，设其横坐标为．过点作轴的平行线与直线交于点两点的距离记为．
（1）求此抛物线及直线的解析式；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当随着的增大而减小时，直接写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的值．
44．（2025·梨树模拟）如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y．
（1）______；
（2）当点E在CD上时，______；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
45．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当时，求点的横坐标；
②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．
46．（2025·增城模拟）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
47．（2025·叙州模拟）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
48．（2025·常德模拟）已知：如图1，二次函数与x轴相交于A，两点，与y轴交于点C，连接，P是第一象限的抛物线上一点．
（1）求二次函数和直线的表达式；
（2）连接与交于点G，若，求点P的坐标；
（3）如图2，已知M，N是x轴上点B左侧（N不与B重合）两个动点，M在N的左边，，连接交于点E，连接交于点F，求的最小值．
49．（2025·锦江模拟）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；
（3）如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标．
50．（2025·石门模拟）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①；②
2．y=－－2x+3；（－1，－1）（－1，－－1）；（，）.
3．（1）
（2）或
（3）或
4．（1），
（2）或
（3）或或或
5．（1）
（2）
（3）或或或或
6．（1）
（2），
（3）点的坐标为
7．（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
(1)①利用待定系数法求得m的值，然后令y=0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
(2)根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点(2m-1，a)与点(3m-4，b)代入解析式可得a，b的代数式，即可得出b-a的代数式，即可证得结论.
8．（1）
（2）①；②或
9．（1）
（2）
（3）点T的坐标为或
10．（1）解：①把代入得：
②由①得：
把代入，得：
的最大值为9
（2）解：对于任何的恒成立，
且，开口向上，故点必为抛物线的最低点——顶点
对称轴为直线
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大
(1)①依据题意，直接把A(1，2)代入y=x2+bx+c整理得b+c=1；
②依据题意，把(2，p)代入y=x2+bx+1-b，可得p=b+5，则pc=(b+5)(1-b)=-(b+2)2+9≤9，即可作答；
(2)依据题意，先得出抛物线y=x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，(y1-p)(y2-p)>0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x=2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答.
11．（1）
（2）
（3）最小值为，点
12．（1）
（2）①最大值为；②G点坐标为或或或
13．（1）
（2）当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为
（3）
14．（1）
（2）
（3）或
15．（1）
（2）
（3）点的坐标为或
16．（1）4
（2）7
（3）或或或或
17．（1）解：①有条件可得：
0=a×(-2)2-2a×(-2)+8，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+8，
将其化为顶点式为：y=-(x-1)2+9，
∴顶点坐标为(1，9)；
②当x=-1时，代入y=-x2+2x+8得：
y=-(-1)2+2×(-1)+8=-1-2+8=5，
当x=3时，
y=-32+2×3+8=-9+6+8=5，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
当n=9时，线段MN过顶点(1，9)，此时只有一个公共点；
当n<5时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
∴或
（2）解：抛物线y=ax2-2ax+8=a(x-1)2-a+8，对称轴为直线x=1.
当x1=2a时，y1=a(2a-1)2-a+8.
∵对于3≤x2≤a+4都有y1>y2，
当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
要满足条件，则2a>a+4，
解得：a>4，
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
此时需满足2a<3，且a+4≤1(等号不同时成立)，
由a+4≤1得a≤-3，又2a<3即.
∴，
综上，a的取值范围是或.
(1)①将点A(-2，0)代入抛物线方程，求出a的值，进而得到解析式；通过配方法将抛物线化为顶点式，确定顶点坐标；
②先求出抛物线在x=-1和x=3处的函数值，明确抛物线过的点；再结合抛物线开口向下、顶点坐标，分n=9(线段过顶点)和n<5(线段与抛物线只有一个交点)两种情况，确定几的取值范围；
(2)先确定P点坐标，再根据a的正负性结合对称轴与给定区间分析函数单调性，从而确定a的取值范围.
18．（1），对称轴是
（2）9
（3）或
（4）或
19．（1）
（2）S取得最大值为6，此时
（3）点Q纵坐标n的取值范围为：或
20．（1），；
（2）
（3）或
21．（1）
（2）
（3）面积的最大值，此时
22．（1），
（2）最小值为
（3）P的坐标为或
23．（1）；3；
（2）
（3）能，点N的坐标为或
24．（1）
（2）
（3）或或或或
25．（1）
（2）存在，
（3）或
26．（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
27．（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
28．（1）
（2）①，；②
（3）
29．（1）
（2）；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大
（3）或
30．（1）
（2）24
（3）6或
31．（1）
（2）
（3）
32．（1）
（2）
（3）直线恒过定点
33．（1），，直线的函数表达式为：
（2）或
34．（1）
（2）S最大值为，
（3）Q的坐标为或
35．（1）；
（2）点P的坐标为或或；
（3）点D的坐标为．
36．（1）
（2）8
37．（1），；
（2）；
（3）
38．（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
39．（1）
（2）
（3）
40．（1），
（2）或
（3）或或或
41．（1）；
（2）；
（3）存在，．
42．（1）y=-x2+2x+3
（2）（1，4）
（3）P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）
43．（1），
（2）当时，；当时，
（3）或
（4），或
44．（1）
（2）
（3）
45．（1）①点的横坐标为；②；
（2）或或．
46．（1）
（2）
（3）存在，或或
47．（1）
（2）①12；②．③
48．（1），
（2），
（3）
49．（1）
（2）
（3）
50．（1）；
（2）；
（3）存在，或

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