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2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题18 等腰三角形与直角三角形（50 题）
一、选择题
1．（2025·花垣模拟）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．5
2．（2025·冷水滩模拟）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·澧县模拟）如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2025·陇南模拟）如图，是等边三角形，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·郴州模拟）如图，，，，则的周长是（　　）
A．18 B．20 C．26 D．28
6．（2025·眉山模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·文成二模）如图，AB是的直径，为圆上一点，连结AC，OC．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江二模）如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（　　）
A．4 B． C． D．
9．（2025·冷水滩模拟）如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2025·宁海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，取边AB上任意一点D（不与点A重合），连结DC，作 ADCE，AC与DE交于点F，则下列结论中正确的是（　　）
①当点D位置变化时，F始终为AC中点；
②当D为AB中点时，线段DE取得最小值；
③当CD AB时，四边形ADCE为矩形；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2025·义乌模拟）如图，在四边形中，已知，，，对角线平分，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·龙岗模拟）如图，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
14．（2025·浙江模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，D为AC的中点，连结BD，E
为BD上一点，BE=3，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，记AM长为x，NC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．xy C． D．
15．（2025·陇南模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
16．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=BC，AD=AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
17．（2025·普陀二模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
18．（2025·钱塘二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE.若AB=4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π B．8π C．12π D．16π
19．（2025·诸暨二模） 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A， B 重合），对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC， BD 的垂线，分别交 AC， BD 于点 E 与点 F，交 AD， BC 于点 G 与点 H，若正方形的边长是 2，则四边形 OEPF 的周长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
20．（2025·深圳模拟）如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
21．（2025·成都模拟）如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（　　）
A． B． C． D．
22．（2025·金东二模） 如图，在中，，，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持，连结CP，BQ，则的最小值是（　　）
A．11 B． C． D．8
23．（2025·凉州模拟）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
24．（2025·衡阳模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　）
A． B． C． D．
25．（2025·温岭二模）如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　）
A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长
26．（2025·广汉模拟）如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
27．（2025·顺庆模拟）如图，是等边的外接圆，，分别为，的中点，延长交于点，若的半径，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·高坪模拟）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2025·仁寿模拟）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：
①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形
③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
30．（2025·香洲模拟）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
31．（2023·东坡模拟）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则　 　．
32．（2025·深圳模拟）如图，在中，点，，为圆周上三点，且，若，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
33．（2025·合江模拟）如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为　 　．
34．（2025·上城二模）如图，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC，AD，已知∠BAD=108°，连接线段DC并延长，与∠CAB的平分线交于点E，若 AE=DE，DC=1，则线段AE 的长为　 　。
35．（2025·黄埔模拟）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是　 　．（填序号）
36．（2025·织金模拟）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为　 　．
37．（2025·潮南模拟）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是　 　．
38．（2025·宁海模拟）如图，是的切线，OB为半径，连结AO交圆于点C，点D在优弧CDB上．已知，则的度数为　 　．
39．（2025·义乌模拟）如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、．
（1）如图2，若，则的值为　 　．
（2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为　 　．
40．（2025·定海模拟）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是　 　
41．（2025·金东二模） 将一个矩形按如图所示方式分割成三个相似的直角三角形，按面积从大到小的顺序分别记为，，。将、叠合，得到图1，阴影部分的三角形面积记为；将、叠合，得到图2，阴影部分的四边形面积记为。若，则该矩形的长和宽之比为　 　。
42．（2025·凉州模拟）如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为　 　．
43．（2025·濠江模拟）如图，在中，，，，以为边向下作等边，则的长为　 　．
44．（2025·祁阳模拟）如图，在中，，D、E分别为上一点，，，与交于点P，则　 　 度．
45．（2025·衡阳模拟）如图，直线 ，点C、A分别在 上，以点C为圆心，长为半径画弧，交l1于点B，连接．若，则的度数为　 　
46．（2025·邛崃模拟）如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点的对应点恰好落在上，则的度数为　 　度．
47．（2025·文成二模）如图，在中，是BC边上的中线，将沿AD翻折至，点落在点处，连结CE，BE．记四边形ADEC面积为的面积为，则的值是　 　．
48．（2025·文成二模）如图，在中，分别是AB，AC边上的中点，于点，过点作交BC于点，连结GF，则GF的长为　 　．
49．（2025·文成二模）如图，AB是半圆的直径，为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点，若，则的度数为　 　．
50．（2025·温岭二模）如图，在中，CD为AB边上的中线，为AC上任意一点，，若DE最小值为2时，则DC的长为　 　．
答案解析部分
1．B
2．B
3．C
4．B
5．A
6．D
7．C
解：∵弧BC=弧BC，
∴∠A=∠BOC=50°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠A=50°.
故答案为：C.
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A=50°，再根据等边对等角可得∠C=∠A=50°.
8．A
9．B
10．B
11．D
12．C
解：，
，
，
，
，
故选：C．
根据直线平行性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
13．C
14．D
15．B
16．C
解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC-(180°-∠B)=90°-∠B，
同理：∠ADE=90°-∠A，
∴∠ADE+∠BDC=180°-(∠A+∠B)，
∴∠DCE=180-(∠ADE+∠BDC)=(∠A+∠B)
故A、B不符合题意；
∵∠DCE=(∠A+∠B)= (180°-∠ACB)=90°-∠ACB
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意；
故答案为：C.
由等腰三角形的性质得到∠BDC=90°-∠B，∠ADE=90°-∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE=90°-∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，即可得到答案.
17．C
解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
18．B
解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，
∵，
，
∴，
，
∵CB=AB=4，
∴，
∴OB⊥AC，AL=CL，
∴∠ALB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC=60°，
∠COE=120°，则∠BAC=30°，∠CAE=60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL=CL，则∠ALB=90°，所以，求得，则，根据扇形的面积公式即可得到问题的答案.
19．B
20．D
解：∵菱形中，，垂足为，
∴，，
∴，，
∵点在线段上，过点作，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（不合题意舍弃）．
故选：D．
根据菱形性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得、，过点作，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，再根据边之间的关系可得，，再根据三角形面积化简即可求出答案.
21．A
22．B
解：将等腰三角形△ABC的底边BC置于坐标轴上，设B(0，0)，C(6，0)，
作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，
∴，
∵P、Q分别是边AB和AC上的动点， 且AQ=BP，
∴当P、Q为中点时，BQ+CP有最小值，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
建立坐标系，确定各点坐标，并运用中点坐标公式和两点间距离公式进行计算即可求解.
23．C
24．A
解：设，
四边形为菱形，
，，
和为直角三角形，且，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
设，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2DE，用勾股定理可将OE、OB用含a的代数式表示出来，由线段的和差OC=OD+CD、EB=OB-OE将OC、EB用含a的代数式表示出来，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
25．A
解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图：
∵∠BAD=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=DC，AB=DF，
∴△ABC≌△FDC(SAS)，
∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°，
∴，即，
∴，
∴
∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可；
故答案为：A.
延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可.
26．B
27．D
28．D
29．B
30．B
31．
32．
33．
34．
35．①②③
36．
37．
38．25°
39．（1）；
40．
41．
解：由题意可得如图，
∵四边形C1B2B3A1是矩形，
∴C1B2=A1B3，
设A2B2=B3C3=a，B2C2=b，
∵△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，
∴∠B1A1C1=∠B2A2C2，，
∴，
设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，如图所示，
∵∠B1A1C1=∠B2A2C2，
∴，
∵∠A2FE=∠A2B2C2=90°，∠FA2E=∠B2A2C2，
∴△A2FE∽△A2B2C2，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：(负根舍去)，
∴，
∴该矩形的长和宽之比为.
故答案为：.
设，，由题意易得∠B1A1C1=∠B2A2C2，，则有，设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，然后可得，则有，进而问题可求解.
42．
43．14
44．135
45．
解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴.
∵∠BCA＝150°，
∴，
∵，
∴.
故答案为：
由作图可证得△ABC为等腰三角形，继而可求出∠CBA的度数，再由l1l2得，即可得结论．
46．
47．
解：如图，延长AD交BE于点F，
∵AC∶BC=3∶4，
∴设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB=，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=；
由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，
∴AD是BE的垂直平分线，∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=2(∠BED+∠DEC)=180°，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=90°，
∴△BCE是直角三角形，
设DF=y，则AF=AD+DF=，
由勾股定理得AF2=AE2-EF2，EF2=DE2-DF2，
∴AF2=AE2-DE2+DF2，即，
解得，即DF=，
∵∠AFB=∠CEB=90°，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴，即，
∴
∴，
∵S△ABC=，S△BCE=，
∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=S△ABD=，S△CED=，
∴S1=S△ACD+S△CDE=，S2=S△ABD=3x2，
∴.
故答案为：.
延长AD交BE于F，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得AB=5x，AD=；由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线”得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出△BCE是直角三角形，设DF=y，则AF=AD+DF=，由勾股定理可得AF2=AE2-DE2+DF2，据此建立方程求出，即DF=，由同位角相等两直线平行，得DF∥CE，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，根据勾股定理表示出BE，然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得出△ACD、△ABD、△CED的面积，进而根据S1=S△ACD+S△CDE算出S1，最后再求出两个面积之比即可.
48．4
解：如图，连接ED交GF于点O，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
又∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴DF=AC=2.5，DE=AB=3，EF=BC=2.5，EF∥GD，
又∵EG∥DF，
∴四边形DFEG是平行四边形，
又∵DF=EF=2.5，
∴平行四边形DFEG是菱形，
∴ED⊥DF，GF=2OF，EO=ED=1.5，
∴OF=，
∴GF=2OF=4.
故答案为：4.
连接ED交GF于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DF=AC=2.5，DE=AB=3，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF=BC=2.5，EF∥GD，由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形DFEG是平行四边形，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得平行四边形DFEG是菱形，由菱形对角线互相垂直平分得ED⊥DF，EO=ED=1.5，GF=2OF，进而利用勾股定理算出OF即可得出答案.
49．
解：如图，连接OD，
∵CD与半圆相切于点D，
∴∠ODC=90°，
又∵∠C=40°，
∴∠COD=90°-∠C=50°，
∴∠DAC=∠COD=25°.
故答案为：25°.
连接OD，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠ODC=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠COD=90°-∠C=50°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得出∠DAC的度数.
50．4
解：∵CD为AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴DB=CD，
∵∠B=∠BDC，
∴BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD=∠BDC，
∴，
当DE⊥AC时，DE有最小值为2，
此时DC=2DE=4.
故答案为：4.
判定△BCD是等边三角形，得到∠BCD=∠BDC=60°，由AD=CD，推出∠A=∠ACD，由三角形的外角性质求出∠ACD=30°，当DE⊥AC时，DE有最小值为2，由含30度角的直角三角形的性质即可推出答案.

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