资源简介

2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题18 三角形-动点问题及勾股定理 （40 题）
一、解答题
1．（2025·酒泉模拟）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．
（1）问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________．
（2）类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系；
（3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
2．（2025·坪山模拟）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
3．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
4．（2025·濠江模拟）【问题背景】
已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）如图2，当时，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值.
5．（2025·顺庆模拟）如图1，在正方形中，为射线上一动点，，，与关于对称，与相交于点．
（1）当在线段上时，求的度数；
（2）当时，求的值；
（3）如图2，当时，求的值．
6．（2025·惠来模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，若，则的长为 ．
7．（2025·湘桥模拟）如图所示，在中，，，，点M为线段（异于点B、C）上一动点，连接．
（1）求的面积；
（2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值；
（3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积．
8．（2025·禅城模拟）如图，正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，连接．
（1）如图1，若，当时，求的值；
（2）如图2，若，与的延长线交于点G，E为的中点，求的值；
（3）如图3，若，，求的长．
9．（2025·禅城模拟）项目式学习
目的 探究遮阳篷的影子长度
素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米．
素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻8：009：0010：0011：0012：00太阳高度角（度）
观察·思考 在这天10：00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？
探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l．
解答问题（，结果精确到米）
（1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10：00时，l的最大值以及相应的的度数．
10．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
11．（2025·锦江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，．
（1）求点的坐标及的值；
（2）如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标．
12．（2025·封开模拟）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数．
13．（2025·武侯模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积．
14．（2025·番禺模拟）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．
15．（2025·吉林模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在上时， ______．
（2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
16．（2025·渠县模拟）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
17．（2025·潮阳模拟）如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足．
（1）求a，c的值；
（2）点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长．
18．（2025·西昌模拟）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；
（3）如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．
19．（2025·深圳模拟）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
20．（2025·盐田模拟）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：____；
A．正方形
B．矩形
C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则　 　．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
21．（2025·绿园模拟）如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
（1）求的面积；
（2）当时，求线段的长；
（3）当时，求线段的长；
（4）当是直角三角形时，直接写出线段的长．
22．（2025·广州模拟）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
23．（2025·朝阳模拟）如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、．
给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____．
24．（2025·九台模拟）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）边的长为____；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的值；
（4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
25．（2025·宁江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）．
（1）时，求的值；
（2）当时，求最小值；
（3）当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值；
（4）如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围．
26．（2025·北流模拟）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．（2025·澧县模拟）已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动．
（1）如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积；
（2）如图2，当时，求点到的距离；
（3）如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值．
28．（2025·罗湖模拟）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，于点，点G，F分别在边CD、AB上，．
（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ　 　AE；
②推断：　 　（填数值）；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点处，得到四边形FEPG，EP交CD于点，连接AE交GF于点．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，，，点M，N分别在边BC、AB上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，求CP的长．
29．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合．
（1）如图，当点在边上时．
①若，则的长为______；
②若时，求的长；
（2）作的平分线交射线于点，当时，求的长．
30．（2025·永昌模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，顶点为，连接，是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求点的坐标；
（3）如图2，是线段上一动点（不与点，重合）且始终保持，连接，，求的最小值．
31．（2025·永昌模拟）【模型建立】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型应用】
（2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
32．（2025·湘潭模拟）如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）；
（2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值；
（3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
33．（2025·湘潭模拟）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
（3）如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
34．（2025·吉林模拟）如图．在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，当点不与点、重合时，过点作交射线于点，以为邻边作，设与重叠部分图形的周长为，点的运动时间为（秒）．
（1）线段___________；
（2）当点落在上时，求t的值；
（3）点D在边上时，求与之间的函数关系式．
35．（2025·兰州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果且，则称点是点，的“等距直角拐点”．例：如图，已知，，，因为且，所以点是点，的“等距直角拐点”．
（1）如图，在点、中，是点，“等距直角拐点”的是_________；
（2）如图，已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”，求的取值范围；
（3）如图，已知点在以为圆心，半径为的圆上，，若在直线上存在点，使点是点，的“等距直角拐点”，直接写出的取值范围．
36．（2025·江阳模拟）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
37．（2025·长春模拟）如图，在矩形中，，，连结，点E为上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、．
（1）__________；
（2）当点Q落在上时，__________；
（3）当时，求此时的长；
（4）当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
38．（2024九下·新宁模拟）如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．
（1）如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；
（2）如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；
（3）如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
39．（2025·云岩模拟）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
40．（2025·东台模拟）如图（1），在矩形中，．
（1）____；
（2）若点P是线段上一点，当是等腰三角形时，求的长；
（3）如图（2），点E是边上一点，且，则：①=_____；
②如图（3）分别以为边作矩形，若，求的长．
答案解析部分
1．（1），
（2），
（3）2
2．（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
3．解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
4．（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3）
5．（1）
（2）
（3）
6．（1）
（2）
（3）或
7．（1）
（2）
（3）
8．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点G作交延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
经检验，是原方程的解．
（1）根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据正切定义即可求出答案.
（2）设，则，根据边之间的关系可得AG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据勾股定理可得CE，过点G作交延长线于点H，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，，根据边之间的关系可得HC，再根据正切定义即可求出答案.
（3）延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，根据勾股定理可得EC，再根据正切定义可得，设，，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点G作交延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
经检验，是原方程的解．
9．解：（1）作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
即点D到墙的距离约为米；
（2）作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
∴米，
∵，
∴铁树能被太阳光照射到；
（3）l的最大值为米，此时的度数．
（3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴米，
∴l的最大值为米，此时的度数．
（1）作于点，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据补角可得∠DEB=120°，再根据四边形内角和可得∠BAD=60°，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AF，根据勾股定理可得DF，再根据彼岸之回见的关系可得DG，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（1）①，；②12，；
（2）正方形纸片的边长为．
11．（1），
（2）
（3）
12．（1）
（2）
（3）或
13．（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为；
（2）点的坐标为；
（3）的面积为或．
14．（1）
（2）小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比
15．（1）
（2）
16．（1），
（2）或
（3）
17．（1）
（2）①；②
18．（1），
（2），
（3）8
19．[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展]
20．（1）C
（2）
（3）证明：连接AG，CF
∵在“字平行四边形”中，，
∴∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°
∵AB∥DG
∴∠B=∠BCG=75°
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°
过点F作FH⊥AC于点H
可得点H为AC的中点，AF=2HF，
∵AC=8
∴
∴
当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°
此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾
综上所述，若为字平行四边形，
（4）解：过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN
∵四边形BEDF为平行四边形
∴FD=BE，FB=DE
∴AF=AD-FD，CE=BC-BE，即AF=CE
∵四边形BEDF为N字平行四边形
∵BD>BE，BD>DE
①当FB=FE时
∵N为BE的中点
∴BN=NE
在矩形ABNF中，AF=BN
∵AF=CE
∴BN=NE=CE=AF
∴BC=BN+NE+CE=3AF
∵AB=2AF
∴
②当EB=EF时
∵EM⊥BF
∴M为BF的中点，
设AF=t
∴
∵EM⊥BF
∴∠EMB=90°
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠MBE
∴Rt△BAF∽Rt△EMB
∴
由可得
∴
∴
综上，或
解：（1）A：正方形对角线不等于边长，不符合题意
B：长方形对角线不等于边长，不符合题意
C：有一个角是的菱形，边长相等，较短对角线长等于边长，符合题意
D：有一个角是的平行四边形，若邻边不相等，不符合题意
E：有一个角是的平行四边形，不符合题意
故答案为：C
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b
若对角线BD=BC=b，由余弦定义可得：
，即
化简得：
∴
故答案为：
（1）根据字平行四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b，若对角线BD=BC=b，由余弦定义即可求出答案.
（3）连接AG，CF，根据字平行四边形定义可得∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°，根据直线平行性质可得∠B=∠BCG=75°，根据角之间的关系可得∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°，由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，分情况讨论：①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，，再根据边之间的关系即可求出但；当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°，此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾，即可求出答案.
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，根据矩形性质可得AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN，再根据平行四边形性质可得FD=BE，FB=DE，根据边之间的关系可得AF=CE，分情况讨论：①当FB=FE时，根据线段中点可得BN=NE，根据矩形性质可得BN=NE=CE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当EB=EF时，根据线段中点可得，设AF=t，根据勾股定理可得BF，BM，再根据直线平行性质可得∠AFB=∠MBE，再根据相似三角形判定定理可得Rt△BAF∽Rt△EMB，则，由可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（1）；
（2）或；
（3）；
（4）或．
22．（1） （2） （3）
23．①③④
24．（1）4；
（2）；
（3）；
（4）的长为或．
25．（1）
（2）2
（3）
（4）
26．（1）当时，点A在线段的垂直平分线上
（2）
（3）存在使
27．（1）
（2）点到的距离为3
（3）
28．（1）=；1
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点作于．
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
四边形AMGD是矩形，
，
．
（3）解：如图3，过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，
∵∠ABC=90°，，
∴四边形ABFE是矩形，
，
，
，
，
，且，
，且，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
由（2）的结论可知：．
（4）解：如图2中，过点作交BC的延长线于．
∵，
设，
，
，
，
或-1（舍弃），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ
∴∠QAO+∠OAD=90°
∵AE⊥DH
∴∠ADO+∠OAD=90°
∴∠QAO=∠ADO
在△ABE和△DAQ中
∴△ABE≌△DAQ
∴AE=DQ
故答案为：=
②
∵DQ⊥AE，FG⊥AE
∴DQ∥FG
∵FQ∥DG
∴四边形DQFG是平行四边形
∴FG=DQ
∵AE=DQ
∴FG=AE
∴
故答案为：1
（1）①根据正方形性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，根据角之间的关系可得∠QAO=∠ADO，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAQ，则AE=DQ，即可求出答案.
②根据直线平行判定定理可得DQ∥FG，再根据平行四边形判定定理可得四边形DQFG是平行四边形，则FG=DQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于，根据折叠性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形AMGD是矩形，则，即可求出答案.
（3）过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）过点作交BC的延长线于，设，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得CN，再根据勾股定理即可求出答案.
29．（1）①4；②2
（2）或6
30．（1）
（2）或
（3）
31．（1）；（2）；（3）10或26．
32．（1）平行四边形
（2）4
（3）存在，的最大值为
33．（1）
（2）
（3）存在，
34．（1）6
（2）
（3）当时，；当时，
35．（1）；
（2）；
（3）或．
36．（1）抛物线的解析式是；直线的解析式是：
（2）或
（3）①或②或
37．（1）
（2）4
（3）或
（4）或或
38．（1）
（2）
（3）线段长度的最大值为与最小值为．
39．（1）；（2）；（3）
40．（1）8
（2）4或5或
（3）①；②

展开更多......

收起↑