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2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题24 圆的有关计算和证明 （50 题）
一、选择题
1．（2025·汕尾模拟）如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·福田模拟）如图，在矩形ABCD中，边AB绕点顺时针旋转到EB的位置，点的对应点落在CD边的中点，若，则点旋转到点的路径长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·金湾模拟）如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·锦江模拟）如图，正五边形内接于，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·怀化模拟）在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为50cm，底面圆的半径为25cm，则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
6．（2025·兴宁模拟）一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·龙岗模拟）自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·华蓥模拟）如图，点都在上，半径，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·钱塘二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE.若AB=4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π B．8π C．12π D．16π
10．（2025·肇庆模拟）如图，在扇形中，，，则由扇形围成的圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·旌阳模拟）如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（　　）
A．1 B． C． D．2
13．（2025·连州模拟）如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点，连接，已知，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025·澄海模拟）把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·内江模拟）如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
16．（2025·上城模拟）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
17．（2025·钱塘模拟）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
18．（2025·惠阳模拟）如图，小王同学在制作年月号读书节的手抄报时，绘制了如题图所示的扇面示意图，扇面弧所对的圆心角为，大扇形半径为，小扇形半径为，则此扇面中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
19．（2025·射洪模拟）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（　　）
A． B． C．3 D．
20．（2025·上城模拟）如图，在中，，，，把绕直线AB旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
21．（2025·苍溪模拟）如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
22．（2025·天河模拟）如图，和是的两条弦，且．已知的半径为3，，以为圆心，为半径作弧．若把扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径为（　　）
A． B． C． D．
23．（2025·南沙模拟）如图，已知正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
24．（2025·东莞模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
25．（2025·北川模拟）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
26．（2025·达州模拟）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
27．（2025·贵港模拟）如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
28．（2025·旺苍模拟）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D，已知C，D在直尺上对应的分刻度别为3和0，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
29．（2025·香洲模拟）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
30．（2025·深圳模拟）用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
二、填空题
31．（2025·深圳模拟）如图，在中，点，，为圆周上三点，且，若，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
32．（2025·浙江二模）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为　 　.
33．（2025·上城二模） 如图，A，B，C是在⊙O上的点，∠C=30°，OA=2，则的长为　 　(结果保留π）
34．（2025·黄埔模拟）圆锥的底面圆的半径是，其母线长是，则圆锥侧面展开图的面积是　 　．
35．（2025·冷水滩模拟）已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为　 　．
36．（2025·广安模拟）如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为　 　．
37．（2025·义乌模拟）如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为　 　．
38．（2025·莲都模拟）如图，中，，以为直径作，与边相切于点，与相交于点，则图中的长是　 　．
39．（2025·陇南模拟）如图，半圆的直径，把半圆沿水平方向向右平移个单位后，得半圆，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
40．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为边AB上一点，连结CD，作点B关于CD的对称点E，连结CE、AE，延长CD、AE交于点F，若AE=DE=2，则EF=　 　。
三、解答题
41．（2025·罗湖模拟）如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点为的直径，AD交BC于点；
（1）求AB的长；
（2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形；
（3）直接写出图2中阴影部分的面积.
42．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
43．（2025·衡阳模拟）如图，AB，CD为⊙O的直径，连接BD，∠BDC=45°，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE.
（1）求证：AE所在的直线与⊙O相切；
（2）若直径AB=4，求阴影部分的面积
44．（2025·九台模拟）【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______．
（2）如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心．
①求的度数；
②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________．
45．（2025·澧县模拟）已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动．
（1）如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积；
（2）如图2，当时，求点到的距离；
（3）如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值．
46．（2025·清镇市模拟）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
（1）若，则的度数是___________．
（2）若，求的半径；
（3）若的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
47．（2025·清城模拟）综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
（1）如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______；
（2）如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____；
（3）如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
48．（2025·长春模拟）【问题提出】
（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．
49．（2025·德阳模拟）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：
（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
50．（2024·北京模拟）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
（2）点M的坐标为
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
答案解析部分
1．A
2．B
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠C=90°，AB=CD
由旋转性质可得AB=BE
∴BE=CD
∵点E是CD中点，且CE=2
∴
在Rt△BCE中，
∴∠CBE=30°
∴∠ABE=60°
∴点旋转到点的路径长为
故答案为：B
根据矩形性质可得四边形ABCD是矩形，则∠ABC=∠C=90°，AB=CD，由旋转性质可得AB=BE，则BE=CD，再根据线段中点可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得∠CBE=30°，则∠ABE=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
3．C
4．A
5．C
6．C
7．B
解：连接、，如图所示：
∵后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的长度为，
故选：B．
连接、，根据切线性质得出，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
8．A
9．B
解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，
∵，
，
∴，
，
∵CB=AB=4，
∴，
∴OB⊥AC，AL=CL，
∴∠ALB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC=60°，
∠COE=120°，则∠BAC=30°，∠CAE=60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL=CL，则∠ALB=90°，所以，求得，则，根据扇形的面积公式即可得到问题的答案.
10．B
11．B
解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B
根据旋转性质可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据余角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
12．C
13．C
14．A
15．A
16．B
17．B
解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆，可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇形，且这个扇形的圆心角度数为60度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径AE，再直接运用扇形面积计算公式求解即可．
18．A
19．C
解：连接OB，OC，如图所示：
∵⊙O的周长等于6π，即2πr=6π，
∴r=3，
∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形，
∴∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3.
故答案为：C．
连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，得△BOC为的等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得答案．
20．B
解：将绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长 ，
所以圆锥的侧面积
故答案为：B.
将 绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可.
21．B
22．B
23．D
24．A
25．C
解：∵底面圆的直径为6，
∴底面圆的半径为6÷2=3，
∵高为4，
∴这个圆锥的母线长为，
∴这个圆锥的侧面积为，
∴扇形卡纸的面积至少是，
故答案为：C．
圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，先利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，其中r是底面圆半径，l是圆锥母线长，据此进行计算．
26．A
27．A
28．C
29．B
30．C
31．
32．
33．
34．
35．
36．
37．
38．
39．
40．
解：作DH⊥AF于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由折叠的性质得：BC=EC，∠CED=∠B，∠BCD=∠ECD，
∴∠CAB=∠CED=45°，AC=CE，
∴A，C，D，E四点共圆，
∵AE=DE=2，
∴，∠EAD=∠EDA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD=∠ECD=30°，
∵AC=CE，∠ACE=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠EAD=∠EDA=75°-45°=30°，
∠F=180°-60°-75°=45°，
∴∠DEH=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=1，
∴DH==，
∵DH⊥AF，∠F=45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴FH=DH=，
∴EF=+1，
故答案为：+1.
作DH⊥AF于点H，先证明A，C，D，E四点共圆，可证∠ACE=∠ECD，求出∠ACE=∠BCD=∠ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出∠CAE=∠CEA及其度数，进而得∠EAD=∠EDA及∠F的度数，然后分别求出EH的长度，FH=DH及其长度，即可求出EF的长度.
41．（1）解：∵AB=AC
∴∠ABE=∠D
∵∠BAE=∠DAB
∴△ABE∽△ADB
∴
∴
∴
（2）证明：∵BD为直径
∴∠BAE=90°
∵
∴∠ABC=∠ACB=∠D=30°
∴∠DBA=60°，△OAB为等边三角形
∴OA=OB
同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC
∴四边形ABOC为菱形
（3）
解：（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E
由(2)可知，△OAB为等边三角形
∴∠ABO=∠AOB=60°
∴∠AOD=120°
∵四边形ABOC为菱形
∴，∠BOC=180°-∠ABC=120°
∴∠AOC=60°
∵OA=OC
∴△OAC为等边三角形
∵OE⊥AC
∴
∴阴影部分面积=
故答案为（1）根据等边对等角可得∠ABE=∠D，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADB，则，代值计算即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠BAE=90°，根据等边三角形判定定理可得△OAB为等边三角形，则OA=OB，同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，根据等边三角形性质可得∠ABO=∠AOB=60°，根据补角可得∠AOD=120°，再根据菱形性质可得，∠BOC=180°-∠ABC=120°，则∠AOC=60°，根据等边三角形性质可得△OAC为等边三角形，解直角三角形可得OE，再根据阴影部分面积=，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
42．（1）①，；②12，；
（2）正方形纸片的边长为．
43．（1）证明：∵∠BDC =45°，
∴∠COB=2∠D=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBC =∠OCB=45°，
连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BE，
∵CE=BC，
∴AE= AB，
∴∠E=∠ABE =45°，
∴∠EAB=90°，
∴ AE所在的直线与⊙O相切
（2）解：∵AB=4，
∴AO=OC=2，
∵∠BOC=90°，
∴∠AOC=90°，
∴阴影部分的面积=四边形AOCE的面积-扇形AOC的面积
(1)根据圆周角定理得到 根据等腰三角形的性质得到 ， 连接AC， 求得. 得到AE所在的直线与⊙O相切；
(2)根据扇形和梯形的面积公式即可得到结论
44．（1）；
（2）①；②PC的最小值为．
45．（1）
（2）点到的距离为3
（3）
46．（1）
（2）10
（3）
47．（1）
（2）
（3）
48．（1）12；（2）；（3）
49．（1）当时，平分；
（2）；
（3）存在，当时，与相切．
50．（1）
（2）①或②

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