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2024-2025学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题04 因数与倍数
知识点一：因数与倍数的意义
1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
知识点二：2、3、5倍数的特征
1.2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。
2.3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。
3.5的倍数的特征:个位上是0或5。
4.2、3、5的倍数的数的特征:个位上的数字是 0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
知识点三：奇数和偶数
1.在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。
2.最小的奇数是 1，最小的偶数是 0,没有最大的奇数和偶数。
知识点四：质数、合数和分解质因数
1.质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。
2.合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。
3.质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。
4.分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
5.互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。
知识点五：公因数和公倍数
1.公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
2.公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。
高频考点01：因数与倍数的认识
【典例精讲01】（2025二上·深圳期末）4的6倍是　 　，这个数也是3的　 　倍。
【思路点拨】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，4×6=24；求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，24÷3=8。
【标准答案】24；8
【考点评析】6的乘法口诀及应用；用2～6的乘法口诀求商；倍的认识
【举一反三01】（2025三上·白云期末）一个长方形宽2厘米，长是宽的4倍。这个长方形的周长是　 　厘米。
【举一反三02】（2025三上·越秀期末）学校羽毛球队有女生6人，男生的人数是女生的5倍，男生有　 　人，男生和女生一共　 　人。
【举一反三03】（2024三上·龙岗期末）在一次学校组织的环保活动中，学生们通过收集可回收物品来换取积分。淘气收集了23个可回收塑料瓶，获得了相应的积分。奇思收集的塑料瓶数量比淘气的4倍还多6个，因此获得了更多的积分。请问奇思收集了　 　个塑料瓶。
高频考点02：2、3和5的倍数特征
【典例精讲02】（2025五上·武江期末） 如果23刚好能同时被2和3整除，能填　 　； 同时是2， 3， 5的倍数的最小两位数是　 　。
【思路点拨】如果23刚好能同时被2和3整除，2+3=5，能填1、4、7； 同时是2，3，5的倍数的最小两位数是30。
【标准答案】1、4、7；30
【考点评析】2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【举一反三04】（2025·成都期中）在15，18，25，30，19这五个数中，2的倍数有　 　，5的倍数有　 　，3的倍数有　 　，同时是2，3和5 的倍数的数是　 　。
【举一反三05】（2025五上·成都期末）从数字卡片2，3，5，7中任意抽出两张，组成的两位数中，得数是3的倍数有　 　个。
【举一反三06】（2024.10.17·青木关）在1~100的所有整数中，能被3整除或能被5整除的数有 　 　个。
高频考点03：质数与合数
【典例精讲03】（2025五上·武江期末）15的因数中，　 　是质数，　 　是合数。
【思路点拨】15的因数有1、3、5、15，3、5是质数，15是合数。
【标准答案】3、5；15
【考点评析】因数的特点及求法；合数与质数的特征
【举一反三07】（2025五上·南山期末）7、23、29、11、9、36、14、25、99这些数， 可以按照不同的分类标准分成两类， 分类标准可以是一位数和两位数，或者是　 　，还可以是　 　。
【举一反三08】（2025五上·龙岗期末）的分数单位是　 　，再减去　 　个这样的分数单位就是最小的质数。
【举一反三09】（2025五上·南山期末）豆包是AI智能助手，能答疑解惑。淘气和笑笑心里分别想了一个数，这两个数的和是10，请豆包来猜。先提示：两个数都是正整数。豆包给出所有答案是　 　。又提示：两个数都是质数。豆包给出所有答案是　 　。再提示：两个数的积是21，豆包最后给出答案是　 　。(答案分组呈现，两个数中间用逗号隔开)
高频考点04：公因数和最大公因数
【典例精讲04】（2025五上·龙岗期末） 一张长30cm、宽24cm的长方形纸，把它剪成尽可能大的相同的正方形小纸片，且没有剩余，正方形小纸片的边长是　 　cm。
【思路点拨】
30和24的最大公因数是2×3=6，则正方形小纸片的边长是6厘米。
【标准答案】6
【考点评析】最大公因数的应用
【举一反三10】（2025五上·深圳期末） 学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有　 　个，每班分得　 　根跳绳，每班分得　 　个足球。
【举一反三11】（2024.9.14·两江巴蜀）甲乙是两个不同的自然数。它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12。求甲乙两数之和是　 　。
【举一反三12】（2024六上·冷水滩开学考）一根长方体木料，长48厘米，宽8厘米，高12厘米，把它锯成同样大小的正方体木料，要求没有剩余，锯成的正方体木料边长最大是　 　厘米，一共可以锯　 　个。
高频考点05：公倍数与最小公倍数
【典例精讲05】（2025五上·龙岗期末）爸爸、淘气和笑笑三个人在一个环形跑道上散步，爸爸散步一圈平均用时3分钟，淘气散步一圈平均用时4分钟，笑笑散步一圈平均用时5分钟，如果三人同时从起点出发，　 　分钟之后他们可以在起点第一次相遇。
【思路点拨】他们在起点第一次相遇至少需要的时间=3、4、5的最小公倍数，因为3、4、5是互质数，最小公倍数是它们的积。
【标准答案】60
【考点评析】最小公倍数的应用
【举一反三13】（2025·成都期中）已知a，b均为小于50的非0自然数，且b是a的倍数，a的最小倍数是16，则b可能是　 　。(写出所有可能)
【举一反三14】（2025五上·成都期末）一箱梨子，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿，6个6个地拿，都正好拿完，没有剩余，这箱梨子最少有　 　个。
【举一反三15】在所有是20的倍数的正整数中， 不超过2014并且是14的倍数的数之和是　 　。
04 因数与倍数 真题演练
一、单选题
1． 一个平行四边形的底和对应的高都是质数，它的面积一定是 (　　)。
A．偶数 B．奇数 C．合数 D．质数
2． 晚饭后爸爸和淘气在环形跑道上散步，爸爸走一圈要18分，淘气走一圈要12分，如果爸爸和淘气从同一点同时同向出发，至少 (　　)分后能从这点再次一起出发。
A．18 B．30 C．36 D．72
3． 下列说法错误的是 (　　)。
A．在自然数中，2是最小的质数，4是最小的合数
B．除了2以外，其他的质数都是奇数
C．个位上是3，6，9的数都是3的倍数
D．如果a÷b=c(a、b、c均为非零自然数) ， 那么a是b和c的倍数
4． 若a表示一个非零的自然数，则(　　)表示的一定是偶数。
A．2a B．a+1 C．a-1 D．a+2
5． 下列各数中， (　　)既是2的倍数又是5的倍数。
A．8 B．40 C．45 D．75
6．把一张长24cm、宽18cm的长方形纸剪成若干张相同的正方形纸，且没有剩余，最少可以剪成(　　)张。
A．72 B．12 C．24 D．8
7． 下面能用算式“140×28”解决的问题是 (　　)。
① 体育场共有28个看台，每个看台能容纳140名观众，一共能容纳多少名观众？
②一个小型停车场可以停放140辆汽车，大型停车场停车的数量是小型停车场的28倍。大型停车场可以停放多少辆汽车？
③ 一块面积为140m2的菜地，如果每28m2安装一个洒水喷头，一共需要安装多少个洒水喷头？
④一套校服140元，买28套需要多少元？
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
8．有5个连续的偶数的和是2020，则其中最小的一个数是　 　。
9．小青今年8岁，妈妈的年龄是小青的4倍，外公的年龄是妈妈的2倍，妈妈今年　 　岁。三年后，外公的年龄比小青大　 　岁。
10．自然数a的倍数有　 　个，其中最小是　 　。
11．在两位数中，能被3整除的最大偶数是　 　，同时能被3和5整除的最小奇数是　 　。
12．典典在文献阅读的过程中，遇到了一些表达年龄称谓的词，如“花甲”、“古稀”、“耄(mào)耋(dié)”……经过查阅，典典了解到：六十岁为“花甲”，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄(mào)耋(dié)”。典典)岁。的爷爷已过古稀，未及耄，且年龄既是2的倍数又有因数3，典典的爷爷最小　 　岁。
三、解决问题
13． 五年级学生参加体操表演活动，人数在 110到130人之间，如果8人一列或12人一列，都正好每列人数一样多，没有剩余。五年级有多少人参加这次体操表演
14． 小兰在文具店买了一些文具(钢笔和笔记本都有购买，但是数量未知) ，下图分别是它们的单价。她付给商家100元，找回了16元。商家找回的钱数对吗 为什么 请你用学过的知识说明你的思考过程。
15．从A市去B市，已经行120千米，余下的路比行了的1.5倍还多80千米。A、B两市相距多少千米？(先画线段图，再列式解答)
16．兴义街心花园又名“八卦金街”，由一个椭圆形广场和数条街巷构成。广场一圈的长度288米，小云走一圈用4分钟，姐姐走一圈用3分钟，妹妹走一圈用6分钟。三人以铁匠街口为起点同向同时走，至少多少分钟三人在起点再次相遇？此时，各自走了多少圈？
17．水墨面近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨酒，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨两的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？
18．请你认真阅读下面材料，再利用获得的相关信息解决以下问题。
2024年4月14日，乐清举行了半程马拉松比赛。本次比赛分为半程马拉松(21公里)和欢乐跑(5公里)两个项目，其中半程马拉松3000人、欢乐跑 2000人。路线沿途还设置“文艺赋美”助力点位，展示乐清的非遗文化。其中“乐清细纹刻纸”俗称“龙船花”，被誉为“中国剪纸的南宗代表”，展出的一件长方形细纹刻纸作品的周长是18分米，并且长和宽都是质数。赛道沿途设置了饮水补给点，并安排了若干志愿者服务。志愿者总人数在40和50之间，且可以正好分为3个人一组或4个人一组。经过激烈的角逐，张立钢获得2024乐清半程马拉松比赛男子冠军。马拉松不仅仅是一场比赛，它还是一个缩影，反映了生活中的每一次挑战和坚持。
（1）本次比赛中，参加半程马拉松的人数是参赛总人数的几分之几？
（2）赛道沿途饮水补给点安排的志愿者有多少人？请说明理由。
（3）“乐清细纹刻纸”俗称“龙船花”，被誉为“中国剪纸的南宗代表”展出的这件细纹刻纸作品的面积是多少？
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专题04 因数与倍数
知识点一：因数与倍数的意义
1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
知识点二：2、3、5倍数的特征
1.2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。
2.3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。
3.5的倍数的特征:个位上是0或5。
4.2、3、5的倍数的数的特征:个位上的数字是 0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
知识点三：奇数和偶数
1.在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。
2.最小的奇数是 1，最小的偶数是 0,没有最大的奇数和偶数。
知识点四：质数、合数和分解质因数
1.质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。
2.合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。
3.质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。
4.分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
5.互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。
知识点五：公因数和公倍数
1.公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
2.公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。
高频考点01：因数与倍数的认识
【典例精讲01】（2025二上·深圳期末）4的6倍是　 　，这个数也是3的　 　倍。
【思路点拨】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，4×6=24；求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，24÷3=8。
【标准答案】24；8
【考点评析】6的乘法口诀及应用；用2～6的乘法口诀求商；倍的认识
【举一反三01】（2025三上·白云期末）一个长方形宽2厘米，长是宽的4倍。这个长方形的周长是　 　厘米。
【标准答案】20
【考点评析】长方形的周长；倍的认识
【举一反三02】（2025三上·越秀期末）学校羽毛球队有女生6人，男生的人数是女生的5倍，男生有　 　人，男生和女生一共　 　人。
【标准答案】30；36
【考点评析】倍的认识
【举一反三03】（2024三上·龙岗期末）在一次学校组织的环保活动中，学生们通过收集可回收物品来换取积分。淘气收集了23个可回收塑料瓶，获得了相应的积分。奇思收集的塑料瓶数量比淘气的4倍还多6个，因此获得了更多的积分。请问奇思收集了　 　个塑料瓶。
【思路点拨】23×4＋6=98（个）。
【标准答案】98
【考点评析】100以内数乘法与加减法的混合运算；倍的应用
高频考点02：2、3和5的倍数特征
【典例精讲02】（2025五上·武江期末） 如果23刚好能同时被2和3整除，能填　 　； 同时是2， 3， 5的倍数的最小两位数是　 　。
【思路点拨】如果23刚好能同时被2和3整除，2+3=5，能填1、4、7； 同时是2，3，5的倍数的最小两位数是30。
【标准答案】1、4、7；30
【考点评析】2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【举一反三04】（2025·成都期中）在15，18，25，30，19这五个数中，2的倍数有　 　，5的倍数有　 　，3的倍数有　 　，同时是2，3和5 的倍数的数是　 　。
【标准答案】18、30；15、25、30；15、18、30；30
【考点评析】2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【举一反三05】（2025五上·成都期末）从数字卡片2，3，5，7中任意抽出两张，组成的两位数中，得数是3的倍数有　 　个。
【标准答案】4
【考点评析】3的倍数的特征；组合
【举一反三06】（2024.10.17·青木关）在1~100的所有整数中，能被3整除或能被5整除的数有 　 　个。
【思路点拨】100÷3=33…1
100÷5=20
3和5是15
100÷15=6…10
33+20﹣6=47（个）；
【标准答案】47
【考点评析】2、5的倍数的特征；3的倍数的特征；二量容斥（重叠）问题
高频考点03：质数与合数
【典例精讲03】（2025五上·武江期末）15的因数中，　 　是质数，　 　是合数。
【思路点拨】15的因数有1、3、5、15，3、5是质数，15是合数。
【标准答案】3、5；15
【考点评析】因数的特点及求法；合数与质数的特征
【举一反三07】（2025五上·南山期末）7、23、29、11、9、36、14、25、99这些数， 可以按照不同的分类标准分成两类， 分类标准可以是一位数和两位数，或者是　 　，还可以是　 　。
【思路点拨】7、23、29、11、9、36、14、25、99这些数， 可以按照不同的分类标准分成两类， 分类标准可以是一位数和两位数，或者是质数与合数，还可以是奇数与偶数。
【标准答案】质数与合数；奇数与偶数
【考点评析】奇数和偶数；合数与质数的特征
【举一反三08】（2025五上·龙岗期末）的分数单位是　 　，再减去　 　个这样的分数单位就是最小的质数。
【思路点拨】的分数单位是；2=，-=，再减去10个这样的分数单位就是最小的质数。
【标准答案】；10
【考点评析】合数与质数的特征；分数单位的认识与判断
【举一反三09】（2025五上·南山期末）豆包是AI智能助手，能答疑解惑。淘气和笑笑心里分别想了一个数，这两个数的和是10，请豆包来猜。先提示：两个数都是正整数。豆包给出所有答案是　 　。又提示：两个数都是质数。豆包给出所有答案是　 　。再提示：两个数的积是21，豆包最后给出答案是　 　。(答案分组呈现，两个数中间用逗号隔开)
【思路点拨】第一问：找出所有和是10的两个正整数即可；
第二问：质数是只有1和本身两个因数的数，由此从这些数中找出两个都是质数的数；
第三问：从两个质数的和是10的每组中找出乘积是21的两个质数。
【标准答案】1，9；2，8；3，7；4，6；5，5；3，7；5，5；3，7
【考点评析】合数与质数的特征
高频考点04：公因数和最大公因数
【典例精讲04】（2025五上·龙岗期末） 一张长30cm、宽24cm的长方形纸，把它剪成尽可能大的相同的正方形小纸片，且没有剩余，正方形小纸片的边长是　 　cm。
【思路点拨】
30和24的最大公因数是2×3=6，则正方形小纸片的边长是6厘米。
【标准答案】6
【考点评析】最大公因数的应用
【举一反三10】（2025五上·深圳期末） 学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有　 　个，每班分得　 　根跳绳，每班分得　 　个足球。
【思路点拨】
36和24的最大公因数是2×2×3=12，这些班级有12个；
36÷12=3（根）；24÷12=2（个）。
【标准答案】12；3；2
【考点评析】最大公因数的应用
【举一反三11】（2024.9.14·两江巴蜀）甲乙是两个不同的自然数。它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12。求甲乙两数之和是　 　。
【思路点拨】12=22×3，甲、乙至少含有两个2和一个3.
因为甲、乙有12个约数，12=2×6=3×4，
由约数个数定理得，甲、乙可能是25×3、22×33或32×23， 即甲、乙可能是96、108、 72， .
因为这两个数不相同，并且最大公因数是12，所以可以得出甲、乙只能是96和108或108和96，
故甲+乙=96+ 108= 204.
【标准答案】204
【考点评析】分解质因数；公因数与最大公因数；约分的认识与应用
【举一反三12】（2024六上·冷水滩开学考）一根长方体木料，长48厘米，宽8厘米，高12厘米，把它锯成同样大小的正方体木料，要求没有剩余，锯成的正方体木料边长最大是　 　厘米，一共可以锯　 　个。
【思路点拨】48=2×2×2×2×3；8=2×2×2；12=2×2×3；
48、8、12的最大公因数是2×2=4，
（48÷4）×（8÷4）×（12÷4）
=12×2×3
=24×3
=72（个）。
【标准答案】4；72
【考点评析】最大公因数的应用
高频考点05：公倍数与最小公倍数
【典例精讲05】（2025五上·龙岗期末）爸爸、淘气和笑笑三个人在一个环形跑道上散步，爸爸散步一圈平均用时3分钟，淘气散步一圈平均用时4分钟，笑笑散步一圈平均用时5分钟，如果三人同时从起点出发，　 　分钟之后他们可以在起点第一次相遇。
【思路点拨】他们在起点第一次相遇至少需要的时间=3、4、5的最小公倍数，因为3、4、5是互质数，最小公倍数是它们的积。
【标准答案】60
【考点评析】最小公倍数的应用
【举一反三13】（2025·成都期中）已知a，b均为小于50的非0自然数，且b是a的倍数，a的最小倍数是16，则b可能是　 　。(写出所有可能)
【标准答案】16，32或48
【考点评析】最小公倍数的应用
【举一反三14】（2025五上·成都期末）一箱梨子，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿，6个6个地拿，都正好拿完，没有剩余，这箱梨子最少有　 　个。
【标准答案】60
【考点评析】公倍数与最小公倍数；最小公倍数的应用
【举一反三15】在所有是20的倍数的正整数中， 不超过2014并且是14的倍数的数之和是　 　。
【思路点拨】20和14的最小公倍数是140，在所有20的倍数中不超过2014并且是140的倍数最小是140，最大是1960，共14个；
(140 +1960) ×14 ÷2
=2100 ×14÷2
=14700
【标准答案】14700
【考点评析】高斯求和；最小公倍数的应用
04 因数与倍数 真题演练
一、单选题
1． 一个平行四边形的底和对应的高都是质数，它的面积一定是 (　　)。
A．偶数 B．奇数 C．合数 D．质数
2． 晚饭后爸爸和淘气在环形跑道上散步，爸爸走一圈要18分，淘气走一圈要12分，如果爸爸和淘气从同一点同时同向出发，至少 (　　)分后能从这点再次一起出发。
A．18 B．30 C．36 D．72
3． 下列说法错误的是 (　　)。
A．在自然数中，2是最小的质数，4是最小的合数
B．除了2以外，其他的质数都是奇数
C．个位上是3，6，9的数都是3的倍数
D．如果a÷b=c(a、b、c均为非零自然数) ， 那么a是b和c的倍数
4． 若a表示一个非零的自然数，则(　　)表示的一定是偶数。
A．2a B．a+1 C．a-1 D．a+2
5． 下列各数中， (　　)既是2的倍数又是5的倍数。
A．8 B．40 C．45 D．75
6．把一张长24cm、宽18cm的长方形纸剪成若干张相同的正方形纸，且没有剩余，最少可以剪成(　　)张。
A．72 B．12 C．24 D．8
7． 下面能用算式“140×28”解决的问题是 (　　)。
① 体育场共有28个看台，每个看台能容纳140名观众，一共能容纳多少名观众？
②一个小型停车场可以停放140辆汽车，大型停车场停车的数量是小型停车场的28倍。大型停车场可以停放多少辆汽车？
③ 一块面积为140m2的菜地，如果每28m2安装一个洒水喷头，一共需要安装多少个洒水喷头？
④一套校服140元，买28套需要多少元？
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
8．有5个连续的偶数的和是2020，则其中最小的一个数是　 　。
9．小青今年8岁，妈妈的年龄是小青的4倍，外公的年龄是妈妈的2倍，妈妈今年　 　岁。三年后，外公的年龄比小青大　 　岁。
10．自然数a的倍数有　 　个，其中最小是　 　。
11．在两位数中，能被3整除的最大偶数是　 　，同时能被3和5整除的最小奇数是　 　。
12．典典在文献阅读的过程中，遇到了一些表达年龄称谓的词，如“花甲”、“古稀”、“耄(mào)耋(dié)”……经过查阅，典典了解到：六十岁为“花甲”，七十岁为“古稀”，八九十岁为“耄(mào)耋(dié)”。典典)岁。的爷爷已过古稀，未及耄，且年龄既是2的倍数又有因数3，典典的爷爷最小　 　岁。
三、解决问题
13． 五年级学生参加体操表演活动，人数在 110到130人之间，如果8人一列或12人一列，都正好每列人数一样多，没有剩余。五年级有多少人参加这次体操表演
14． 小兰在文具店买了一些文具(钢笔和笔记本都有购买，但是数量未知) ，下图分别是它们的单价。她付给商家100元，找回了16元。商家找回的钱数对吗 为什么 请你用学过的知识说明你的思考过程。
15．从A市去B市，已经行120千米，余下的路比行了的1.5倍还多80千米。A、B两市相距多少千米？(先画线段图，再列式解答)
16．兴义街心花园又名“八卦金街”，由一个椭圆形广场和数条街巷构成。广场一圈的长度288米，小云走一圈用4分钟，姐姐走一圈用3分钟，妹妹走一圈用6分钟。三人以铁匠街口为起点同向同时走，至少多少分钟三人在起点再次相遇？此时，各自走了多少圈？
17．水墨面近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨酒，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨两的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？
18．请你认真阅读下面材料，再利用获得的相关信息解决以下问题。
2024年4月14日，乐清举行了半程马拉松比赛。本次比赛分为半程马拉松(21公里)和欢乐跑(5公里)两个项目，其中半程马拉松3000人、欢乐跑 2000人。路线沿途还设置“文艺赋美”助力点位，展示乐清的非遗文化。其中“乐清细纹刻纸”俗称“龙船花”，被誉为“中国剪纸的南宗代表”，展出的一件长方形细纹刻纸作品的周长是18分米，并且长和宽都是质数。赛道沿途设置了饮水补给点，并安排了若干志愿者服务。志愿者总人数在40和50之间，且可以正好分为3个人一组或4个人一组。经过激烈的角逐，张立钢获得2024乐清半程马拉松比赛男子冠军。马拉松不仅仅是一场比赛，它还是一个缩影，反映了生活中的每一次挑战和坚持。
（1）本次比赛中，参加半程马拉松的人数是参赛总人数的几分之几？
（2）赛道沿途饮水补给点安排的志愿者有多少人？请说明理由。
（3）“乐清细纹刻纸”俗称“龙船花”，被誉为“中国剪纸的南宗代表”展出的这件细纹刻纸作品的面积是多少？
答案解析部分
1．C
【解析】解：两个质数的积一定是合数。
故答案为：C。
平行四边形的面积=底×高，两个质数的积一定是合数。
2．C
【解析】解：
18和12的最小公倍数是2×3×3×2=36，至少36分后能从这点再次一起出发。
故答案为：C。
再次一起出发至少需要的时间=18和12的最小公倍数，用短除法求出。
3．C
【解析】解：A项：在自然数中，2是最小的质数，4是最小的合数，原题干说法正确；
B项：除了2以外，其他的质数都是奇数，原题干说法正确；
C项：一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，原题干说法错误；
D项：如果a÷b=c(a、b、c均为非零自然数) ， 那么a是b和c的倍数，原题干说法正确。
故答案为：C。
A项：在自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4；
B项：除了2以外，其他的质数都是奇数；
C项：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或者5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
D项：在除0外的整数除法算式中，被除数是除数和商的倍数；除数和商是被除数的因数。
4．A
【解析】解：A项：2a一定是偶数；
B项：a＋1可能是奇数或者偶数；
C项：a-1可能是奇数或者偶数；
D项：a＋2可能是奇数或者偶数。
故答案为：A。
若a表示一个非零的自然数，2是偶数，偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，所以2a一定是偶数。
5．B
【解析】解：40既是2的倍数又是5的倍数。
故答案为：B。
个位上是0或者5的数是5的倍数。
6．B
【解析】解：
24和18的最大公因数是2×3=6
（24÷6）×（18÷6）
=4×3
=12（张）。
故答案为：B。
最少可以剪成的张数=长边剪成的张数×宽边剪成的张数；其中，长、宽边分别剪成的张数=长方形纸的长、宽分别÷正方形的边长，正方形的边长=24和18的最大公因数，用短除法求出。
7．B
【解析】解：①总人数：140×28=3920(名)；
②停放辆数：140×28=3920(辆)；
③安装个数：140÷28=5(个)；
④总钱数：140×28=3920(元)；
能用“140×28”解决的问题是①②④。
故答案为：B。
①观众总人数=每个看台人数×看台个数；
②大型停车场停放辆数=小型停车场停放辆数×倍数；
③安装喷头个数=菜地面积÷每个喷头所占面积；
④总钱数=每套价格×套数；据此解答。
8．400
【解析】解：2020÷5=404
404-4=400。
故答案为：400。
连续的偶数相差2，中间的一个偶数=2020÷5=404，最小的一个偶数=中间的一个偶数-4。
9．32；56
【解析】解：8×4=32（岁）
32×2＋3-（8＋3）
=67-11
=56（岁）。
故答案为：32；56。
妈妈今年的年龄=小青今年的年龄×4。三年后，外公的年龄比小青大的岁数=妈妈今年的岁数×2＋3岁-（小青今年的年龄＋3岁） 。
10．无数；a
【解析】解：自然数a的倍数有无数个，其中最小是它本身a。
故答案为：无数；a。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
11．96；35
【解析】解：在两位数中，能被3整除的最大偶数是96；
同时能被3和5整除的最小奇数是15。
故答案为：96；35。
5的倍数的特征是这个数个位上的数是0，5；3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数；不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数。
12．72
【解析】解：在71岁到79岁的范围内，既是2的倍数又是3的倍数的年龄是72岁。因为72岁既是偶数（2的倍数），同时72也能被3整除（7+2=9，9可以被3整除）。所以，根据题目的条件，典典的爷爷最小可能是72岁。
故答案为：72。
根据题干信息，典典的爷爷已过古稀，即年龄大于70岁；且未及耄耋，即年龄小于80岁。因此，爷爷的年龄范围是71岁到79岁。同时，题目要求爷爷的年龄既是2的倍数又是3的倍数。这就需要我们在这一个年龄范围内，找出同时满足这两个条件的年龄。
13．解：
8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24
24×5=120（人）
答：五年级有120人参加这次体操表演。
【解析】五年级参加这次体操表演的人数=8和12的最小公倍数×4，用短除法求出8和12的最小公倍数。
14．解：10＋5=15（元），商家找回的钱数不对，因为钢笔和笔记本的单价都是5的倍数，两种物品都有购买，找回的钱数应该是5的倍数，而16不是5的倍数，所以商家找回的钱数不对。
【解析】10和5都是5的倍数，它们的和也是5的倍数，而16不是5的倍数，所以商家找回的钱数不对。
15．解：如图：
120×1.5+80+120
=180+80+120
=380（千米）
答： A、B两市相距380千米。
【解析】用行的路程乘1.5，再加上80千米，求出余下的路程，再将行的路程加上余下的路程，即可求出A、B两市相距多少千米。
16．解：4、3、6的最小公倍数是12。
12÷4＝3（圈）
12÷3＝4（圈）
12÷6＝2（圈）
答：至少12分钟三人在起点再次相遇。此时，小云走了3圈，姐姐走了4圈，妹妹走了2圈。
【解析】再次相遇至少需要的时间=4、3、6的最小公倍数，她们分别走的圈数=广场的周长÷再次相遇至少需要的时间。
17．解：36÷2=18（分米）
18=11＋7=13＋5
11×7=77（平方分米）
13×5=65（平方分米）
77＞65
答：最大面积为 77 平方分米。
【解析】长与宽的和=周长÷2=18分米，然后写出两个质数相加等于18的数，得到18=11＋7=13＋5，分别用长×宽计算出面积后再比较大小。
18．（1）解：2000+3000=5000(人)
3000÷5000=
答：参加半程马拉松的人效是参赛总人数的。
（2）解：3和4的最小公倍数是12
在 40-50之间3和4的公倍数是 48
答：参加志愿者服务的有48人。
（3）解：长+宽的和：18÷2=9(dm)，
2+7=9(dm)
面积为7×2=14(平方分米)
答：这件细纹刻纸作品的面积是14平方分米。
【解析】（1）把参加马拉松和欢乐跑的人数相加求出参赛总人数，然后用参加马拉松的人数除以总人数即可求出占总人数的几分之几；
（2）志愿者人数一定是3和4的公倍数，因此先求出3和4的最小公倍数，然后判断40到50之间的公倍数，就是参加志愿者的人数；
（3）用长方形周长除以2求出长与宽的和，然后根据质数的特征判断长与宽的和是哪两个质数的和，这两个质数分别是长方形的长和宽，然后计算面积即可。
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